Calculus Bc 2008 2 a

- ลองทำโจทย์ Calculus BC ปี 2008 อัตนัยกันต่อดีกว่า เราอยู่ที่ข้อ 2 แล้ว แล้วผมตัดและวางตารางที่เขาให้มาในโจทย์มา ผมจะอ่านโจทย์ที่เหลือให้ฟัง ลองดูว่าเราจะทำอะไรได้บ้าง เขาบอกว่า ตัวคอนเสิร์ตเริ่มขายตอนเที่ยง, t เท่ากับ 0, และขายหมดภายใน 9 ชั่วโมง จำนวนคนที่รอเข้าแถวซื้อตั๋วที่ เวลา t, จำลองขึ้นโดยฟังก์ชัน ที่หนาอนุพันธ์ได้สองครั้งคือ L, L ของ t นี่คือจำนวนคนที่รอในแถวที่เวลาใดๆ และนี่คือตอนเที่ยง 12:00, 1:00 นาฬิกา, 9:00 นาฬิกา ตั๋วขายหมดตอน 9.00 นาฬิกา แล้วเขาบอกเราว่ามันหาอนุพันธ์ได้สองครั้ง นั่นหมายความว่าไม่ว่าฟังก์ชันที่เราจำลองขึ้นมาคืออะไร, L ของ t นี่, มันจะต่อเนื่องเพราะ มันหาอนุพันธ์ได้ และเนื่องจากมันหาอนุพันธ์ได้สองครั้ง, เราจึงรู้ อีกว่าอนุพันธ์ของมันก็ต่อเนื่องด้วย เพราะ อนุพันธ์อันดับสองมีอยู่สำหรับทุกจุด แล้วเขาบอกว่า ข้อ a -- ขอผมตรวจหน่อยว่าผมไม่ได้เขียน หนาไป -- ใช้ข้อมูลจากตารางเพื่อประมาณอัตรา -- ขอผมลองแล้ววางนี่ลงไปแล้วกัน, ผมเพิ่ง หาวิธีทำได้ ผมเพิ่งรู้ว่ามันไม่แย่นัก - ได้แล้ว คุณอาจอ่านมันไม่ออก แต่เขาบอกว่า จงใช้ข้อมูลในตารางหาอัตรา ที่คนรอในแถวว่าเปลี่ยนไปเท่าไหร่ ตอน 5.30 นาฬิกา เขาไม่ได้บอกข้อมูลตอน 5:30 นาฬิกา เขาบอกเราตอน 4:00 นาฬิกา แล้วก็ 7:00 นาฬิกา, หรือ t เท่ากับ 5.5 จงแสดงการคำนวณที่ให้คำตอบคุณมา จงระบุหน่วยการวัดด้วย แล้วเขาอยากรู้อะไร? เขาอยากรู้ค่าประมาณอัตราที่ จำนวนคนในแถวเปลี่ยนไป แล้วเขาไม่ได้กำหนดฟังก์ชันต่อเนื่องให้เรามา เขาให้แค่ตัวอย่างจุดของ ฟังก์ชัน L ของ t นี้ ดังนั้นค่าประมาณที่ดีที่ผมหาได้, อัตราที่ L ของ t นี่เปลี่ยนแปลงที่เวลา 5.5 -- และ 5.5 อยู่ระหว่างสองตัวนี้ -- ผมก็แค่หาอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ย ระหว่าง 4 นี่กับ 7 นี่ แล้วเราจะหามันได้อย่างไร? อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยก็แค่ความชัน ลองเขียนมันดู - เราก็เขียนอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ย หรือเดลต้า L ส่วนเดลต้า t ที่ 5.5 คุณสามารถเขียนมันยังไงก็ได้, ตามแต่คุณจะคิด ว่าคนตรวจอยากเห็นแบบไหนมากที่สุด เราบอกว่า ที่ เวลา 5.5 เราบอกว่ามันประมาณเท่ากับ, อะไรก็ช่าง แต่มันจะเท่ากับความชันระหว่างจุดสองจุดนี้ นั่นก็คือ L ของ 7 ลบ L ของ 4, ทั้งหมดนั่นส่วน 7 ลบ 4 ขึ้นส่วนขวาง หรือการเปลี่ยนแปลงของค่าฟังก์ชัน หารด้วยการเปลี่ยนแปลงของค่าตัวแปรอิสระ L ของ 7 คือ 154 เขาให้เรามา L ของ 4 คือ 126 เราหารมันด้วย 7 ลบ 4 นั่นก็เท่ากับ 54 ลบ 126 บวก 26 ได้ 50 มันจึงเท่ากับ 28 - ใช่แล้ว, ถ้านี่น้อยกว่าอยู่ 2, มันจะเป็น 30 และ 7 ลบ 4 คือ 3 คุณจึงบอกได้ว่า อัตราการ เปลี่ยนแปลงเฉลี่ย คือ 28 ส่วน 3 หรือคุณเขียนมันได้ว่า 9 1/3 แล้วเขาอยากให้เราระบุหน่่วยที่ใช้ ระบุหน่วยการวัด ตัวเศษ, นี่คือคน - แล้วตัวส่วนล่ะ? มันคือชั่วโมง, คนต่อชั่วโมง ดังนั้นค่าประมาณที่ดีที่สุด, หรือค่าประมาณที่ดีที่สุดของอัตรา ที่คนรอในแถวเปลี่ยนไป ตอน 5:30 นาฬิกา, อยู่ระหว่างสองจุดนี้, คือความชัน เฉลี่ยระหว่างสองจุดนี้ ซึ่งก็คือ 9 1/3 คนต่อชั่วโมง แค่นั้นแหละ ลองทำตอน b กัน ขอผมลบพวกนี้ทั้งหมดนะ เราจะได้มีที่พอสำหรับตอน b ผมจะลอกลงไป ไม่รู้ว่าคุณจะอ่านมันได้หรือเปล่า บางทีคุณอาจอ่านได้นะ มันไม่ผิดที่จะลอกแล้ววางดู - โอเค ตอน b บอกว่า, จงใช้การรวมสี่เหลี่ยมคางหมู จากช่วงย่อย 3 ช่วงนี้ บางทีผมควรทำให้มันใหญ่หน่อย ขอผมดูหน่อยว่าจะขยายมันได้ไหม ผมไม่อยากให้มันกินที่หมด ไม่ มันดูไม่ดีเลย - โอเค เอาล่ะ ผมจะอาจมันออกมาเผื่อคุณมองไม่เห็น จงใช้ผลบวกสี่เหลี่ยมคางหมู กับช่วงย่อย 3 อันนี้ เพื่อ ประมาณจำนวนคนที่รอในแถว ใน 4 ชั่วโมงแรกที่ขายตั๋วโดยเฉลี่ย ถ้าคุณทำเร็วๆ, คุณไม่ต้องวาดกราฟ ก็ได้ แต่ผมจะวาดกฟรามัน เพราะผมอยากให้คุณ เข้าใจวิธีทำโจทย์นี้ ถ้าคุณเข้าใจมัน, คุณไม่ต้องวาดกราฟก็ได้ ลองวาดกราฟจุดพวกนี้ดู เราแค่ต้องทำ 4 ชั่วโมงแรก ที่จริง ขอผมวาดหมดเลยดีกว่า, เพราะ มันอาจมีประโยชน์ในตอนที่เหลือของโจทย์ ถ้าคุณไม่วาดกราฟมันตอนบันทึกวิดีโอ, มัน อาจเร็วกว่าหน่อย - นั่นน่าจะดีพอนะ - แล้วจุดข้อมูลเรามีอะไรบ้าง? เรามี 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 คุณไม่ต้องทำเนี๊ยบนักก็ได้ ทีนี้ คุณอาจต้องทำดีๆ เวลาอยู่ในห้องสอบ, เพราะไม่อย่างนั้น คุณอาจงงเอง ลองดูัน, ค่า L ของผมสูงเท่าไหร่บ้าง? นี่คือ เวลา ตรงนี้ นี่คือแกน L ของ t มันขึ้นไปประมาณ, 176 คือค่าสูงสุด, อย่างน้อย ก็จากข้อมูลที่รามี สมมุติว่านี่คือ 200 ครึ่งหนึ่งก็คือ 100 นี่คือ 150 นี่ก็คือ 50 ผมไม่รู้ว่าเสียงนั้นมาจากไหน แต่ทำต่อไปดีกว่า ลองพลอตจุดกัน ที่ t เท่ากับ 0 มีคนในแถว 120 คน มันอยู่ตรงนี้ นั่นคือ t เท่ากับ 1, 156 ผมแค่ประมาณ มันอยู่ตรงนี้ ที่ t เท่ากับ 3 -- เขาข้าม 2 ไป -- ที่ t เท่ากับ 3 มี คนอยู่ 176 คนในแถว นั่นก็จะอยู่แถวนี้, แค่คร่าวๆ นะ ที่ t เท่ากับ 4, เรามีคนในแถว 126 คน มันมากกว่าตอน t เท่ากับ 0 หน่อย ที่ t เท่ากับ 7, เรามีคนในแถว 150 คน ประมาณแถวนี้ ที่ t เท่ากับ 8 เรามี 80 มันอยู่แถวนี้ และ t เท่ากับ 9, แถวหมดแล้ว ทุกคนได้ตั๋วหมด, หรือบางที เขาขายตั๋วหมดแล้ว ลองต่อจุดพวกนั้นดู ลากเส้นต่อจุด จากนี่ถึงนี่ และจากนั่นถึงนั่น ตรงนั้นถึงตรงนั้น ตรงโน้นถึงตรงโน้น, ใกล้เสร็จแล้ว โอเค, อย่างน้อยเราได้พลอดจุดตัวอย่างพวกนั้น และลากเส้นเชื่อมจุดไป เรารู้ว่า L ของ t จริงๆ, อะไรที่เราจะประมาณ, มันจะไม่มีขอบอย่างนี้ เพราะ ฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้ ที่จริงมันหาอนุพันธ์ได้สองครั้ง มันจะเป็นเส้นโค้งที่เรียบกว่านี้, จริงไหม? เพราะเราหาอนุพันธ์ที่จุดใดๆ ได้ ถ้านี่คือฟังก์ชันจริง, คุณไม่มีทาง หาอนุพันธ์ที่จุดนี้ได้ เพราะมันมีความชันเป็นบวกตรงนี้ แล้วมัน ก็เปลี่ยนความเป็นลบตรงนี้ในทันใด เหมือนกับ ฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์ คุณจึงไม่สามารถหาอนุพันธ์ ตรงจุดนั้นได้ แต่เอาล่ะ กลับมาที่โจทย์ จงใช้ผลบวกจากช่วงย่อย 3 อันเพื่ประมาณ จำนวนคนที่รอในแถว ตลอด 4 ชั่วโมงแรก 4 ชั่วโมงแรก, นั่นคือตรงนี้ ทีนี้, มันอาจดูน่าท้อใจ ผลบวกสี่เหลี่ยมคางหมูถึงชั่วโมงที่ 4 ผมเพิ่งรู้ตัว ว่าด้วยเหตุผลบางอย่าง, ยูทูปเคยให้ผมทำวิดีโอยาวขึ้น เพราะผมว่าผมกลายเป็นผู้ร่วมมือไปแล้ว แต่ไม่รู้เพราะอะไร, เขาจำกัดเวลาผมอีกแล้ว ผมจึงจะมาต่อตอน b ในวิดีโอหน้าแล้วกัน แล้วพบกันครับ -