Tip:
Highlight text to annotate it
X
เราอยากหาลิมิต เมื่อ x เข้าใกล้อนันต์ ของ 4x
กำลังสอง ลบ 5x ทั้งหมดส่วน 1 ลบ 3x กำลงสอง
อนันต์เป็นเลขที่แปลกอยู่
คุณไม่สามารถแทนค่าอนันต์ลงไปแล้วดูว่าเกิดอะไรขึ้น
แต่หากคุณอยากหาลิมิตนี้ ที่คุณอาจลอง
คือการหาค่า -- หากคุณอยากหาลิมิตเมื่อ
ตัวเศษเข้าหาอนันต์ คุณอาจใส่เลขที่เยอะมา
ลงไป และคุณจะเห็นว่ามันเข้าหาอะไรที่อนันต์
ตัวเศษเข้าใกล้อนันต์เมื่อ
x เข้าใกล้อนันต์
และหากคุณใส่เลขที่โตมากในตัวส่วน
คุณจะเห็นว่านั่นก็ --
ไม่ใช่อนันต์ทีเดียว
3x กำลังสองจะเข้าหาอนันต์ แต่เรา
ลบมัน
-
หากคุณลบอนันต์จากเลขที่ไม่ใช่อนันต์
มันจะกลายเป็นลบอนันต์
ดังนั้นหากคุณหากหาค่ามันที่อนันต์
ตัวเศษ คุณจะได้บวกอนันต์
ตัวส่วน คุณจะได้ลบอนันต์
ผมจะเขียนมันอย่างนี้นะ
ลบอนันต์
และนั่นคือหนึ่งในรูปที่สรุปไม่ได้
โดยกฏของโลปิตาลสามารถใช้ได้
และคุณอาจบอกว่า เฮ้ ซาล ทำไมเราถึงต้องใช้
กฏของโลปิตาลด้วย?
ฉันรู้ว่าวิธีทำโดยที่ไม่ต้องใช้กฏของโลปิตาลด้วยซ้ำ
คุณอาจทำได้ หรือคุณควรทำ
และเราจะทำมันในไม่ช้า
แต่ผมอยากแสดงให้เห็ฯว่า กฏของโลปิตาล
ใช้ได้สำหรับโจทย์ประเภทนี้ด้วย และผมอยาก
ยกตัวอย่างให้คุณเห็นว่ามีรูปแบบที่สรุปไม่ได้แบบอนันต์
ส่วนลบหรือบวกอนันต์
แต่ลองใช้กฏของโลปิตาลก่อน
ถ้าลิมิตนี้มีจริง หรือลิมิตของอนุพันธ์ของพวกนี้
มีจริง แล้ว ลิมิตนี้จะเท่ากับ ลิมิตเมื่อ x
เข้าใกล้อนันต์ของอนุพันธ์ของตัวส่วน
แล้วอนุพันธ์ของตัวเศษคือ -- อนุพันธ์
ของ 4x กำลังสอง คือ 8x ลบ 5 ส่วน -- อนุพันธ์
ของตัวส่วน คือ อนุพันธ์ของ 1 เท่ากับ 0
อนุพันธ์ของลบ 3x กำลังสอง คือ ลบ 6x
และอกีครั้ง เมื่อคุณแทนค่าที่อนันต์
ตัวเศษจะเข้าหาอนันต์
และตัวส่วนก็เข้าหาลบอนันต์
ลบ 6 คูณอนันต์ ได้ ลบอนันต์
แลละนี่คือลบอนันต์
งั้นลองใช้กฏของโลปิตาลอีกที
ทีนี้หากลิมิตของอนุพันธ์ของพวกนี้มีอยู่ -- หรือ
ฟังก์ชันเศษส่วนของอนุพันธ์ของพวกนี้ หารด้วย
อนุพันธ์ของตัวนี้ -- หากมันมีจริง ลิมิตนี้
จะเท่ากับ ลิมิตเมื่อ x เข้าใกล้
อนันต์ของ -- เปลี่ยนสีตามใจนะ -- อนุพันธ์
ของ 8x ลบ 5 ก็คือ 8
อนุพันธ์ของลบ 6x เท่ากับ ลบ 6
และนี่ก็จะเป็น -- นี่ก็แค่ค่าคงที่ตรงนี้
มันไม่สำคัญว่าลิมิตอะไรที่คุณเข้าหา
นี่จะเท่ากับค่านี้เสมอ
ซึ่งก็คืออะไร?
หากเราเขียนในรูปทั่วไป หรือรูปที่ง่าย
ที่สุด มันก็คือ ลบ 4/3
-
ดังนั้นลิมิตมีจริง
นี่คือรูปที่ยังสรุปไม่ได้
และลิมิตของอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้ ส่วนอนุพันธ์
ของฟังก์ชันนี้ มีอยู่ ดังนั้นลิมิตนี้ต้อง
เท่ากับลบ 4/3
และด้วยเหตุผลเดียวกัน ลิมิตนี้ก็ต้อง
เท่ากับลบ 4/3 ด้วย
และสำหรับคนที่บอกว่า เฮ้ เรารู้
แล้วว่าจะหายังไง
เราก็แค่ดึงตัวร่วม x กำลังสองออกมาไง
คุณถูกแล้ว
และผมจะแสดงให้ดู
แค่ให้คุณเห็นว่ามันไม่ใช่แค่ -- คุณก็รู้
กฏของโลปิตาลไม่ใช่แค่เกมเดียวในนี้
และที่จริง สำหรับปัญหาแบบนี้ ปฏิกิริยาแรกของผม
อาจไม่ใช่การใช้กฏของโลปิตาลก่อน
คุณอาจบอกว่า นั่นคือลิมิตแรก -- ดังนั้นลิมิตเมื่อ x
เข้าใกล้อนันต์ของ 4x กำลังสอง ลบ 5x ส่วน 1 ลบ
3x กำลังสอง เท่ากับลิมิตเมื่อ x เข้าใกล้อนันต์
ขอผมลากเส้นเล็ก ๆ ตรงนี้ เพื่อแสดงให้คุณเห็นว่านี่มันเท่ากับ
อันนี้ ไม่ใช่สิ่งนี้ตรงนี้
นี่เท่ากับลิมิตเมื่อ x เข้าใกล้อนันต์
ลองดึง x กำลังสองออกมาทั้งเศษ
ลแะส่วน
ดังนั้นคุณมี x กำลังสอง คูณ 4 ลบ 5 ส่วน x
จริงไหม? x กำลังสอง คูณ 5 ส่วน x จะเท่ากับ 5x
หารด้วย -- ลองดึง x ออกมาจากตัวเศษ
ได้ x กำลังสอง คูณ 1 ส่วน x กำลังสอง ลบ 3
แล้วก็ x กำลังสองพวกนี้ตัดกัน
งั้นนี่จะเท่ากับลิมิตเมื่อ x เข้าใกล้
อนันต์ของ 4 ลบ 5 ส่วน x ลบ 1 ส่วน x กำลังสอง ลบ 3
แล้วนั่นจะเท่ากับอะไร?
เมื่อ x เข้าใกล้อนันต์ -- 5 หารด้วย
อนันต์ -- เทอมนี้กลายเป็น 0
ตัวส่วนที่ใหญ่โตมโหฬาร
นี่จะเท่ากับ 0
นั่นก็กลายเป็น 0
และเหตุผลเดียวกัน
สิ่งนี้ตรงนี้ก็เข้าหา 0
ที่เหลือก็แค่ 4 และ ลบ 3
-
ดังนั้นนี่จะเท่ากับ ลบ หรือ 4 ส่วน
ลบ 3 หรือ ลบ 4/3
ดังนั้นคุณไม่ต้องใช้กฏของโลปิตาล
สำหรับโจทย์นี้ก็ได้