Tip:
Highlight text to annotate it
X
-
ลองดูว่าจะเรียนเรื่องการกระจายเศษส่วนย่อยสักหน่อย
ได้ไหม บางครั้งมันเรียกว่าการย่อย
เศษส่วนย่อย
-
ไอเดียเรื่องนี้ก็คือการนำฟังก์ชันตรรกยะมา -- และ
ฟังก์ชันตรรกยะก็แค่ฟังก์ชันหรือพจน์ที่
มาจากพจน์หนึ่งหารด้วยอีกพจน์หนึ่ง -- นำมันมา
กระจายหรือย่อยเป็นส่วนๆ ให้ง่ายขึ้น
และอย่างแรกที่คุณทำได้, ก่อนที่คุณจะ
เริ่มกระบวนการกระจายเศษส่วนย่อย, คือการ
ทำให้แน่ใจว่าตัวเศษมีดีกรีน้อยกว่า
ตัวส่วน
ในกรณีนี้, โจทย์, ที่ผมตั้งขึ้นตรงนี้,
ผมเขียนไว้ตรงนี้, มันไม่เป็นจริง
ตัวเศษมีดีกรีเท่ากับตัวส่วน
ดังนั้นขั้นแรกที่เราอยากทำคือ จัดรูปเจ้านี่ให้
ได้ตัวเศษมีดีกรีน้อยกว่า
ตัวส่วน ด้วยการ
ทำการหารแบบพีชคณิต
ผมได้ทำวิดีโอเรื่องนี้ไปแล้ว, แต่มันไม่หนักหนาอะไรถ้า
จะทบทวนตรงนี้, ดังนั้นเพื่อเป็นการทบทวน, เราจะหารตัวส่วน
ไปยังตัวเศษ เพื่อหาเศษเหลือ, เราลยหาร x
กำลังสอง ลบ 3x ลบ 40, ด้วย x กำลังสอง ลบ 2x ลบ 37
หารได้กี่ครั้ง?
คุณดูที่เทอมดีกรีสูงสุด, x กำลังสอง หารด้วย x กำลังสอง
ได้ 1 ครั้ง, 1 คูณพจน์ทั้งหมดนี่ได้ x กำลังสอง
ลบ 3x ลบ 40, แล้วคุณต้องหักเจ้านี่ออกจาก
เจ้านั่นเพื่อหาเศษเหลือ
ลองดู, ถ้าผมลบ, ผมก็ลบ, แล้วก็
ลบ ลบ เป็นบวก, บวก, แล้วคุณก็บวกมันได้
พวกนี้ตัดกัน
ลบ 2x บวก 3x, นั่นคือ x
ลบ 37 บวก 40, นั่นคือบวก 3
ดังนั้นพจน์นี่ตรงนี้สามารถเขียนใหม่เป็น -- ขอผม
เลื่อนลงหน่อยนะ -- เป็น 1 บวก x บวก 3 ส่วน x กำลังสอง
ลบ 3x ลบ 40
ที่ผมทำไปอาจดูอัศจรรย์, แต่
นี่ไม่ต่างอะไรจากสิ่งที่คุณทำตอนอยู่ปอสี่
หรือปอห้า, โดยคุณเรียกวิธีแปลงเศษส่วนแบบเศษเกิน
มาจากจำนวนคละ
ขอผมตัวอย่างข้างๆ ตรงนี้นะ
ถ้าผมมี 13 ส่วน 2, และผมอยากเปลี่ยนมันเป็นจำนวนคละ
คุณก็ทำ -- คุณทำในใจก็ได้ตรงนี้ -- แต่สิ่ง
ที่คุณทำก็คือ, คุณเอาตัวส่วนไปหารตัวเศษ,
แบบที่เราทำตรงนี้
2 ไปหาร 13
เราจะเห็นว่า 2 ไปหาร 13 ได้ 6 ครั้ง, 6 คูณ 2 ได้ 12, คุณ
ก็ลบนั่นจากนั่น, คุณได้เลยเศษเป็น 1
2 หาร 1 ไม่ได้, นั่นเลยเป็นเศษเหลือ
ดังนั้ถ้าคุณอยากเขียนเจ้านี่ใหม่, มันจะเป็นจำนวน
คูณตัวส่วน ไปหาตัวเศษ, นั่นคือ 6, บวก
เศษเหลือ หารด้วยส่วน
บวก 6 -- บวก 1 ส่วน 2
และตอนคุณทำตอนเรียนประถม, คุณ
ก็เขียน 6 1/2, แต่ 6 1/2 ก็เหมือนกับ 6 บวก 1/2
นั่นเหมือนกับที่เราเพิ่งทำไปเลย
ตัวส่วนไปหารตัวเศษได้ 1 ครั้ง, แล้ว
มันมีเศษเหลือเป็น x บวก 3, มันเลยเป็น 1 บวก x
บวก 3 ส่วนพจน์นี้
ทีนี้เราเห็นว่าตัวเศษในพจน์ตรรกยะนี่
มีดีกรีน้อยกว่าตัวส่วนแล้ว
ดีกรีสูงสุดตรงนี้คือ 1, ดีกรีสูงสุดตรงนี้คือ 2,
เราเลยทำการย่อยเป็นเศษส่วนย่อยได้แล้ว
และวิธีคือ, การเอาพจน์นี้มาและเปลี่ยน
เป็นพจน์ที่ง่ายกว่าสองพจน์, โดยที่ตัวส่วน
เป็นตัวประกอบของเทอมข้างล่างนี่
จากแนวคิดนั้น, ลองแยกตัวประกอบเทอมล่างก่อน
ลองดูกัน
เลขสองตัวไหนบวกกันได้ลบ 3 และคูณกัน
ได้ลบ 40?
ลองดูกัน
พวกมันต้องมีเครื่องต่างกัน, เพราะเวลา
คุณคูณพวกมันคุณจะได้ลบ, มันเลยต้อง
เป็นลบ 8 กับบวก 5
เราก็เขียนเจ้านี่ใหม่ตรงนี้ว่า -- ผมจะเปลี่ยนสีนะ --
1 บวก x บวก 3 ส่วน x บวก 5 คูณ x ลบ 8
5 คูณ 8 ได้ลบ 40 -- 5 คูณลบ 8 ได้ ลบ 40, บวก
5 ลบ 8 ได้ลบ 3, เราได้คำตอบแล้ว
ทีนี้ผมจะสนใจเจ้านี่ตรงนี้แล้ว
เราแค่จำว่ามี 1 นั่นอยู่
ข้างหน้าตรงนี้
นี่คือพจน์ที่เราอยากย่อยหรือกระจายออกมา
เราอยากขยายมันเป็นพจน์ที่ง่ายกว่าสองพจน์
โดยแต่ละพจน์มีตัวส่วน -- ผมจะ
อ้างว่า, ถ้าเลขออกมาใช้ได้, ถ้าสิ่งที่เราอ้าง
เป็นจริง -- ผมจะอ้างว่าผมสามารถกระจายเจ้านี่ หรือ
ย่อยเจ้านี่เป็นเศษส่วนสองตัวโดยที่เศษส่วนตัวแรก
ก็แค่ตัวเลข a ส่วนตัวประกอบแรก, ส่วน x บวก 5, บวก
เลขอีกตัว b ส่วนเศษส่วนตัวที่สอง, ส่วน x ลบ 8
นั่นคือคำกล่าวอ้างของผม, และถ้าผมสามารถแก้หา a กับ b
โดยที่มันรวมกันได้เท่ากับเจ้านี่จริงๆ, ผมก็บอกว่าผมทำได้ และผม
สามารถย่อยเศษส่วนนี่ได้แล้วจริง
ผมว่ามันคือวิธี -- ผมไม่รู้ว่ามัน
เป็นคำพูดที่ถูกต้องจริงไหม
ลองทำดูก่อนดีกว่า
งั้นถ้าผมบวกสองเทอมนี้เข้า, ผมจะได้อะไร?
เวลาคุณบวกอะไรก็ตาม, คุณต้องหาตัวส่วนร่วม, และ
ตัวส่วนร่วม, ตัวส่วนร่วมที่ง่ายที่สุด, คือ
คูณตัวส่วนสองตัวเข้าด้วยกัน, ขอผมเขียนไว้ตรงนี้นะ
งั้น a ส่วน x บวก 5 บวก b ส่วน x ลบ 8 เท่ากับ --
ทีนี้, ลองหาตัวส่วนร่วมกัน -- มันเท่ากับ
x บวก 5 คูณ x ลบ 8
แล้วเทอม a, เราก็ -- a ส่วน x บวก 5 ก็เหมือน
กับ a คูณ x ลบ 8 ส่วนทั้งหมดนี่
ผมหมายความว่า, ถ้าผมแค่เขียนเจ้านี่ตรงนี้, คุณก็
แค่ตัดสองเทอมนี้ทิ้งไปแล้วคุณจะได้ a ส่วน x บวก 5
แล้วคุณก็เพิ่มเจ้านั่นเข้ากับตัวส่วนร่วม, x บวก
5 คูณ x ลบ 8, แล้วมันก็เป็น b คูณ x บวก 5
สิ่งสำคัญคือ, ดูสิ
เทอมนี้เหมือนกับเทอมนี้เลย ถ้าคุณตัด
x ลบ 8 ทิ้งไป, และเทอมนี้ก็เหมือนกับ
เทอมนี้เลยถ้าคุณตัด x บวก 5 ทิ้งไป
แต่ตอนนี้เรามีตัวส่วนร่วมเหมือนกันแล้ว, เราสามารถ
รวมมันเข้าด้วยกัน, เราเลยได้ -- ขอผมเขียนทางซ้ายมือ
ตรงนี้ -- a ส่วน x บวก 5 -- ขอโทษที
ผมอยากเขียนเจ้านี่ตรงนี้
ผมอยากเขียน x บวก 3 ส่วน x บวก 5 คูณ x ลบ 8 เท่ากับ
เท่ากับผลบวกของสองตัวบนนี่
a คูณ x ลบ 8 ส่วน b คูณ x บวก 5, ทั้งหมดนั่นส่วน
ตัวส่วนร่วมของพวมกัน, คือ x บวก 5 คูณ x ลบ 8
ดังนั้นตัวส่วนเหมือนกัน, แล้วเรารู้ว่าเจ้านี่,
เวลาบวกเข้าด้วยกัน, คุณต้องได้เท่านี้
แล้วถ้าเราอยากแก้หา a กับ b, ลอง
จับมัเนท่ากันดู
เราลืมตัวส่วนไปได้
เราก็บอกได้ว่า x บวก 3 เท่ากับ a คูณ x ลบ
8 บวก b คูณ x บวก 5
ทีนี้, มันมีวิธีแก้หา a กับ b จากจุดนี้
ไปได้ สองวิธี
วิธีหนึ่งคือวิธีที่ผมเรียนตอนชั้นเกรด 7
หรือเกรด 8, ซึ่งมักใช้เวลานานกว่า, แล้ว
มีวิธีหาที่เร็วกว่า มันไม่หนักหนา
ถ้าจะทำวิธีเร็วก่อน
ถ้าคุณอยากแก้หา a, ลองเลือกค่า x ที่ทำให้
เทอมนี้หายไปดู
ค่า x อะไรที่ทำให้เทอมนี้หายไป?
เอาล่ะ, ถ้าผมบอกว่า x เท่ากับลบ 5, แล้วเจ้านี่กลายเป็น 0,
แล้ว b หายไป
ถ้าเราบอกว่า x เป็นลบ 5 -- ผมเลือก x อะไรก็ได้
เพื่อแก้หาเจ้านี่ -- แล้วนี่กลายเป็นลบ 5
บวก 3 -- ขอผมเขียนออกมานะ, ลบ 5 บวก 3 -- เท่ากับ
a คูณ ลบ 5 ลบ 8 -- ขอผมเขียนออกมานะ,
ลบ 5 ลบ 8 -- บวก b คูณ ลบ 5 บวก 5
และผมเลือกลบ 5 เพื่อให้พจน์นี้เป็น 0
แล้วคุณจะได้ -- เลือกสีสว่างหน่อย -- ลบ 5 บวก
3 เป็นลบ 2 -- เท่ากับ -- นี่คืออะไร? -- ลบ 13a
บวก -- นี่คือ 0, จริงไหม?
นั่นคือ 0
ลบ 5 บวก 5 เป็น 0, 0 คูณ b ได้ 0, แล้วคุณก็หาร
ทั้งสองข้างด้วยลบ 13, คุณจะได้ -- ลบตัดกันไป -- คุณจะ
ได้ 2 ส่วน 13 เท่ากับ a, แล้วเราก็ทำแบบเดียวกัน
ตรงนี้เพื่อกำจัดเทอม a ได้โดยให้ x เท่ากับ 8
ถ้า x เท่ากับ 8, คุณจะได้ x บวก 3 เท่ากับ 11, เท่ากับ
a คูณ 0 บวก b คูณ -- 5 อะไร -- 8 บวก 5
-- บวก b คูณ 13
b นี่ดูเหมือน 13 นะ
แล้วคุณได้ 11 เท่ากับ 13b, หารทั้งสองข้างด้วย 13,
คุณจะได้ b เท่ากับ 11 ส่วน 13
เราเลยสามารถแก้หา a กับ b ได้
แล้วเราก็กลับไปที่สมการตอนแรก
แล้วเราบอกว่า, ว้าว
นี่ต้องเท่ากับ 2 ส่วน 13, และนี่
ต้องเท่ากับ 11 ส่วน 13
-
ในตอนแรก, พจน์แรกดั้งเดิมที่เราเขียนขึ้น
มาตรงนั้น, สามารถย่อยเป็น 1, นั่นคือ 1 ตรงนี้, บวก
เจ้านี่, ซึ่งก็คือ 2 ส่วน 13 -- ผมเขียนแบบนี้
ไปก่อน -- 2 ส่วน 13, ส่วน x บวก 5
คุณก็เอา 13 ลงมาตรงนี้ก็ได้ถ้าคุณอยากเขียน
ไม่ให้เศษส่วนทับเศษส่วน
บวก 11 ส่วน 13 คุณ -- ส่วน x ลบ 8
และเหมือนเดิม, คุณเอา 13 ลงมาได้ถ้าคุณไม่อยากเขียน
เศษส่วนซ้อน
แต่เราแยกมันได้สำเร็จแล้ว -- ผม
ไม่อยากบอกว่าเราได้ลดรูปมัน,
เพราะคุณอาจบอกว่า, โอ้, ตรงนี้เรามีแค่พจน์เดียว,
แต่ตอนนี้ฉันมีตั้งสามพจน์แน่ะ -- แต่ผมได้ลดดีกรี
ของเศษและส่วนลง
แล้วคุณอาจถามว่า, เอาล่ะ, ซาล, ทำไมฉัน
ต้องทำแบบนี้ด้วย?
ที่คุณพูดก็ใช่
ในพีชคณิต คุณไม่จำเป็นต้องทำ
แต่มันเป็นเทคนิคที่มีประโยชน์มากต่อไป เวลา
คุณเรียนแคลคูลัส, โดยเฉพาะสมการ
อนุพันธ์, เพราะบ่อยครั้งมันง่ายกว่า --
ผมจะบอกคำที่คุณไม่เข้าใจ -- เวลา
หาอินทิกรัลหรือแอนติเดริเวทีฟของ
อะไรพวกนี้, ง่ายกว่าอะไรแบบนี้
ต่อไป, เวลาคุณเรียนเรื่องอินเวอร์สการแปลงลาปลาซ แล้วก็
สมการอนุพันธ์, การหาอินเวอร์สการแปลงลาปลาซ
ของอะไรแบบนี้จะง่ายกว่า
อะไรแบบนั้น
เอาล่ะ, หวังว่าผมคงสอนวิธีการอีกอย่าง --
วิธีอีกอย่างในกล่องเครื่องมือคุณ -- และผม
จะทำวิดีโอเพิ่มอีกเพราะตัวอย่าง
เรื่องการย่อยเศษส่วนย่อยนั้น
ยังไม่หมดเพียงแค่นี้
-