Tip:
Highlight text to annotate it
X
-
ผมอยากนำทุกอย่างที่เราเรียนมาเกี่ยวกับ
ความอิสระและไม่อิสระเชิงเส้น, แล้วก็สแปนของเซต
เวกเตอร์ มารวมกันในโจทย์ยุ่งเหยิงเฉพาะข้อเดียว
เพราะถ้าคุณเข้าใจว่าปัญหานี้คืออะไร, ผมว่า
คุณคงเข้าใจแล้วว่าเรากำลังทำอะไรอยู่, ซึ่งเป็นกุญแจ
สำคัญสู่ความเข้าใจพีชคณิตเชิงเส้น, หลักการสองอย่างนี้
งั้นคำถามแรกที่ผมจะถามเกี่ยวกับเซตของ
เวกเตอร์ s, และพวกมันเป็นเวกเตอร์สามมิติทั้งหมด,
พวกนี้มีองค์ประกอบ 3 ตัว, สแปนของเซต s เท่ากับ R3 หรือเปล่า?
มันดูเหมือนว่าจะใช่
แต่ละตัวเพิ่มข้อมูลใหม่เข้ามา, มันดูเหมือน
ว่าผมสามารถบรรยายเวกเตอร์ใดๆ ใน R3 ด้วย
เวกเตอร์ 3 ตัวนี้, โดยผลรวมของเวกเตอร์ 3 ตัวนี้
และคำถามที่สองที่ผมจะถามคือว่า พวกมัน
เป็นอิสระเชิงเส้นหรือไม่?
บางทีผมอาจตอบคำถามนี้ได้พร้อมกัน
ลองตอบคำถามแรกก่อน
พวกมันสแปน R3 หรือไม่?
ในการสแปน R3, นั่นมหายความว่า ผลรวมเชิงเส้นของ
เวกเตอร์สามตัวนี้ ควรสร้างเวกเตอร์ใดๆ ใน R3 ได้
ขอผมเขียนผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอรื 3 ตัวให้ดูนะ
ผมมี c1 คูณเวกเตอร์ตัวแรก, 1, ลบ 1, 2
บวกค่าคงที่ตามใจอีกตัว, c2, สเกลาร์ค่าหนึ่ง,
คูณเวกเตอร์ตัวที่สอง, 2, 1, 2 บวกค่ายืดหด
ตัวที่สาม คูณเวกเตอร์ตัวที่สาม ลบ 1, 0, 2
ผมควรสามารถ, เมื่อใช้ค่าคงที่ตามใจ, สร้าง
ผลรวมของเวกเตอร์เหล่านี้ ที่รวมกับ
แล้วได้เวกเตอร์ใดๆ ใน R3
และผมจะแทนเวกเตอร์ใดๆ ใน R3 ด้วยเวกเตอร์ a,
b, และ c, โดย a, b, และ c เป็นจำนวนจริงใดๆ
แล้วถ้าคุณให้ a, b, และ c ใดๆ ผมมา ผมจะสามารถให้สูตร
ที่บอกคุณว่า c3, c2 และ
c1 ของคุณคืออะไร, แล้วนั่นก็หมายความว่า
มันสแปน R3, เพราะถ้าคุณให้เวกเตอร์ผมมาตัวหนึ่ง, ผมสามารถ
บอกวิธีสร้างเวกเตอร์นั้นจากสามตัวนี้ได้เสมอ
งั้นลองดูผมจะทำอย่างนั้นได้ไหม
จากนิยามการคูณสเกลาร์ของ
เวกเตอร์, เรารู้ว่า c1 คูณเวกเตอร์นี้, ผมเขียนมันใหม่ได้
ถ้าผมต้องการ
ผมมักจะข้ามขั้นนี้ไป, แต่ผม
อยากทำให้มันชัดเจน
ได้ c1 คูณ, ผมก็แค่เขียนใหม่ เป็น 1 คุณ c -- มัน
คือแต่ละเทอมคูณ c1
เช่นเดียวกัน, c2 คูณนี่ก็เหมือนกับ แต่ละเทอม
คูณ c2
และ c3 คูณ นี่ก็เหมือนกับแต่ละ
เทอมคูณ c3
ผมอยากแสดงให้คุณเห็นว่า ทุกอย่างที่เราทำ
นั้นมาจากนิยามของการคูณ
เวกเตอร์เข้ากับสเกลาร์, ซึ่งก็คือสิ่งที่เราทำไป, หรือ
การบวกเวกเตอร์, ซึ่งก็คือสิ่งที่เรากำลังจะทำ
การบวกเวกเตอร์บอกเราว่าเทอมนี้ บวกเทอมนี้
บวกเทอมนี้ ต้องเท่ากับเทอมนั้น
ขอผมเขียนมันลงไปนะ
เราได้ c1 บวก 2 c2 ลบ c3 เท่ากับ a
เช่นเดียวกัน, เราสามารถทำเหมือนกันในแถวต่อไป
ลบ c1 บวก c2 บวก 0 c3 ต้องเท่ากับ b
แล้วเราได้ ลบ c1 บวก c2 บวก 0 c3 -- เราไม่ต้อง
เขียนมันก็ได้ -- จะเท่ากับ b
แล้วสุดท้าย, ลองดูแถวสุดท้ายกัน
2 c1 บวก 3 c2 บวก 2 c3 จะเท่ากับ c
ตอนนี้, ลองดูว่าเราจะแก้หาค่าคงที่ต่างๆ ได้ไหม
ผมจะทำโดยการกำจัดตัวแปร
ผมว่าคุณคงคุ้นเคยกับวิธีนี้แล้ว
ผมว่าผมไปก่อนหน้าในวิดีโอเรื่องพีชคณิตเชิงเส้น
ก่อนที่ผมจะเริ่มทำการนำเสนอเป็นทางการ
และผมจะทบทวนมันอีกทีในวิดีโอต่อๆ ไป
จากนี้, แต่ผมว่าคุณคงเข้าใจ
วิธีแก้มันแบบนี้แล้ว
สิ่งที่ผมจะทำ คือผมจะกำจัดสองเทอม
นี้ก่อน แล้วผมจะกำจัดเทอมนี้, แล้ว
ผมก็แก้หาค่าคงที่ต่างๆ ได้
ถ้าผมอยากกำจัดเทอมนี่ตรงนี้, สิ่งที่ผม
ทำได้ คือบวกสมการนี้เข้ากับสมการนั้น
หรือถ้าจะดีกว่านั้น, ผมสามารถแทนสมการนี้ด้วยผลบวก
ของสมการสองตัวนี้
ขอผมทำนะ
ผมอยากบวกสมการสองตัวนี้ด้วยกัน
แล้วแทนอันนี้ด้วยผลบวก
งั้น ลบ c1 บวก c1, นั่นกลายเป็น 0
ผมทิ้งมันไปได้
แล้ว c2 บวก 2 c2, นั่นคือ 3 c2
-
แล้ว 0 บวก ลบ c3 เท่ากับลบ c3
ลบ c3 เท่ากับ -- ผมจะแทนนี้ด้วยผลบวก
ของสองตัวนี้, ได้ b บวก a
มันเท่ากับ b บวก a
ขอผมเขียนสมการแรกลงไปด้านบนนั้น
แล้วสมการแรก, ผมไม่ต้องทำอะไร
ผมจึงได้ c1 บวก 2 c2 ลบ c3 เท่ากับ a
ทีนี้, ในสมการสุดท้าย, ผมอยากกำจัดเทอมนี้
ลองเอาสมการนี้มา แล้วหักออกจากมัน 2 คูณ
สมการบนนี่
-
คุณสามารถมองมันเป็นว่า บวกอันนี้ลบ 2 คูณ
สมการบนนี้
เนื่องจากเราใช้เจ้านี่เกือบเสร็จแล้ว ตอนเรา
เขียนมัน, ลองคูณนี่ด้วย ลบ 2 แล้วกัน
นี่กลายเป็น ลบ 2 c1 ลบ 4 c2 บวก 2 c3
เท่ากับ ลบ 2a
ถ้าคุณคูณเข้าไปแต่ละเทอม -- ผมต้อง
ระวังมากๆ
ผมไม่อยากทำอะไรพลาดง่ายๆ
ลบ 2 คูณ c1 ลบ 4 บวก 2 แล้วก็ลบ 2
และตอนนี้เราสามารถบวกสองตัวนี้เข้าด้วยกันได้แล้ว
แล้วเราจะได้อะไร?
2 c1 ลบ 2 c1, นั่นคือ 0,
ผมไม่ต้องเขียนมัน
3 c2 ลบ 4 c2, นั่นคือ ลบ c2
-
แล้วคุณมี 2 c3 บวก 2 c3 อีกตัว, นั่นก็
เท่ากับ บวก 4 c3 เท่ากับ c ลบ 2a
สิ่งที่ผมทำก็แค่ผมแทนนี่ ด้วยนี่ลบ 2 คูณอันนั้น,
แล้วผมได้เจ้านี่มา
-
ตอนนี้ผมจะเก็บสมการบนคงที่เหมือนเดิม
ผมจะทำอะไรกับมัน, แล้วผม
จะย้ายมันไปทางขวา
ผมจะได้ c1 บวก 2 c2 ลบ c3 เท่ากับ a
ผมยังเก็บสมการที่สองเหมือนเดิมด้วย, ผม
ได้ 3 c2 ลบ c3 เท่ากับ b ลบ a
ขอผมเลื่อนลงมาหน่อยนะ
แล้วสมการสุดท้ายนี้ที่ผมอยากกำจัด
เป้าหมายผมคือการกำจัดเทอมนี่ตรงนี้
สิ่งที่ผมอยากทำคือผมอยากคูณสมการล่างนี้
ด้วย 3 แล้วบวกมันเข้ากับสมการกลางนี่ เพื่อกำจัด
เทอมนี่ตรงนี้
แล้วถ้าผมคูณสมการล่างนี่ด้วย 3 -- ขอผม
ทำนะ -- อืม, ที่จริง, ผมไม่อยากมันเลอะกว่านี้,
นี่กลายเป็น ลบ 3 บวก 3, พวกนี้ตัดกัน
นี่กลายเป็น 12 ลบ 1
นี่กลายเป็น 12 c3 ลบ c3, ซึ่งก็คือ 11 c3
แล้วนี่กลายเป็น -- โอ้, ขอโทษที, ผมทำไปแล้ว
ตอนผมคูณ 3 เข้ากับเจ้านี่บวกอันนั้น, พวกมันหักล้างกันไป
แล้วเมื่อผมคูณ 3 เข้ากับเจ้านี่, ผมได้ 12 c3 ลบ
c3, นั่นก็คือ 11 c3
แล้วผมคูณเจ้านี่ด้วย 3 บวกอันนี้, ผมจึงได้ 3c ลบ
6a -- ผมแค่คูณนี่ด้วย 3 -- บวก
เจ้านี่, บวก b ลบ 3
แล้วผมสามารถเขียนนี่ได้ว่าอะไร?
ที่จริง, ขอผมบอกอะไรสักอย่างให้ชัด
c นี่ไม่เหมือนกับ c1, c2 และ c3
ที่ผมมีบนนี้นะ
ผมว่าคุณคงรู้อยู่แล้ว
แต่ผมเพิ่งสังเกตว่าผมใช้อักษร c สองครั้ง,
ผมไม่อยากให้คุณงงตรงนี้
ดังนั้น c นี้ที่ไม่มีตัวห้อยนั้น ต่างจาก
ค่าคงที่ทั้งหมดนี่ตรงนี้
ลองดูว่าเราจะจัดรูปนี่ได้ไหม
เรามี a กับ ลบ 6a, ลองบวกมันกัน
ลองกำจัด a นั่น และนี่กลายเป็นลบ 5a
ถ้าผมหารทั้งสองข้างของสมการนี้ด้วย
11, ผมจะได้อะไร?
เราได้ c3 เท่ากับ 1/11 คูณ 3c ลบ 5a
แล้วคุณให้ค่า a หรือ c ใดๆ มา ผมก็จะ
บอกคุณได้ว่า c3 คืออะไร
แล้ว c2 คืออะไร?
c2 เท่ากับ -- ขอผมจัดรูปสมการนี่
ตรงนี้หน่อย
ขอผมทำตรงนี้นะ
แล้วถ้าผมบวก c3 ทั้งสองข้างของสมการ, ผมจะได้
3 c2 เท่ากับ b บวก a บวก c3
แล้วถ้าผมหารทั้งสองข้างนี้ด้วย 3, ผมจะได้ c2
เท่ากับ 1/3 คูณ b บวก a บวก c3
ผมจะปล่อยมันอย่างนั้นไปก่อน
แล้ว c1 เท่ากับอะไร?
ผมก็แค่เขียนสมการบนนี้ใหม่ ถ้าผมลบ 2 c2
และบวก c3 ทั้งสองข้าง, ผมจะได้ c1 เท่ากับ
a ลบ 2 c2 บวก c3
แล้วผมแสดงอะไรออกไป?
-
คุณให้เวกเตอร์ใดๆ ใน R3 ที่คุณอยากหาให้ผม
คุณให้จำนวนจริง a ใดๆ, จำนวนจริง b ใดๆ,
จำนวนจริง c ใดๆ ให้ผม
และถ้าคุณเห็นเลขเหล่านั้นผมมา, ผมกำลังบอกว่าตอนนี้
ผมสามารถบอกผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์
สามตัวนี้ ที่รวมกันเป็นเวกเตอร์นั้นได้
แล้วผมได้แก้หาค่าที่ผมต้อง
คูณกับเวกเตอร์แต่ละตัว เพื่อให้รวมกัน
แต่เวกเตอร์ตัวที่สามแล้ว
คุณให้ค่า a, b, c ให้ผม. ผมแต่ต้อง
แทนมันลงใน a กับ c ตรงนี้
โอ้, ขอโทษที
ผมลืม b นี่ตรงนี้ไป
มันมี b ด้วย
มันดูน่าสงสัย ถ้าผมไม่เกี่ยวกับ b เลย
มันมี b ตรงนี้อยู่
นี่ก็คือ 3c ลบ 5a บวก b
ขอผมเขียนมันลงไปนะ
มันมี b ตรงนี้ในวงเล็บ
แต่ผมว่าคุณคงเข้าใจแนวคิดทั่วไปแล้ว
คุณให้ค่า a, b และ c มา,
จำนวนจริงใดๆ ได้หมด
มันไม่มีการหารตรงนี้, คุณจึงไม่ต้องกังวล
เรื่องการหารด้วย 0
นี่ก็คือผลรวมเชิงเส้นของจำนวนจริง
ใดๆ, ผมจึงหาจำนวนจริงอีกตัวได้
แล้วคุณให้ค่า a, b และ c ผมมา, ผมก็จะ
ให้ค่า c3 คุณได้
ทีนี้, คุณให้ค่า a, b และ c ผมมา
ผมได้ c3
นี่ก็แค่จำนวนจริงอีกตัว
ผมจะใช้มันกับค่า a กับ b เดิม
ผมก็สามารถหา c2 ให้คุณได้
เราก็สามารถแก้หา c2 กับ c3 ได้, แล้วผม
ก็ใช้ a อีกที, แล้วผม
จะหาค่า c1 ให้คุณได้
-
หวังว่า, คุณจะเห็นแล้วว่า, ไม่ว่า a, b และ c ที่คุณ
ให้ผมจะเป็นอะไร, ผมจะให้ค่า c1, c2 กับ c3 คุณได้เสมอ
มันไม่มีเหตุผลใดที่มี a, b หรือ c ใดจะทำให้
สูตรเหล่านี้ใช้ไม่ได้
เราไม่ได้หาร, มันจึงไม่มี 0
มาทำให้สูตรใช้ไม่ได้
ผมบอกได้แน่นอนว่าเซตของเวกเตอร์, ของเวกเตอร์
3 ตัวนี้, สแปน R3 จริงๆ
ขอผมถามคุณอีกอย่างหนึ่ง
ผมถามไปแล้ว
เวกเตอร์พวกนี้เป็นอิสระเชิงเส้นหรือไม่?
-
เราบอกไปว่า ในการทำให้มันอิสระเชิงเส้น,
คำตอบเดียวที่ c1 คูณเวกเตอร์แรก, 1, ลบ 1, 2,
บวก c2 คูณเวกเตอร์ตัวที่สอง, 2, 1, 3, บวก c3
คูณเวกเตอร์ที่สาม, ลบ 1, 0, 2
ถ้ามีอะไรสักอย่างที่เป็นอิสระเชิงเส้น นั่นหมายความว่า
คำตอบเดียวของสมการนี้ -- ผมอยากหา
ชุดผลรวมของเวกเตอร์พวกหนึ่ง ที่รวมกัน
แล้วได้เวกเตอร์ 0, และผมทำไปแล้วในวิดีโอก่อน
ถ้าพวกมันไม่อิสระเชิงเส้น, มันต้องเป็นคำตอบ
ที่ไม่เป็นศูนย์ทั้งหมด
ค่าคงที่หนึ่งในนี้, อย่างน้อยตัวหนึ่งในนี้,
จะเป็นไม่ 0 สำหรับคำตอบนี้
คูณสามารถทำให้มันเป็น 0, ไม่ว่ายังไง, แต่ถ้ามัน
ไม่อิสระเชิงเส้น, อย่างน้อย
ตัวหนึ่งจะไม่เป็น 0 ได้
ถ้าพวกมันเป็นอิสระเชิงเส้น แล้วพวกมันทั้งหมด
ต้อง -- คำตอบเดียวของสมการนี้
คือ c1, c2, c3
ทั้งหมดต้องเท่ากับ 0. c1, c2, c3 ทั้งหมด
ต้องเท่ากับ 0
ความอิสระเชิงเส้น หมยถึงอันนั้น, มันบ่งชี้ว่าเป็นอิสระ
เชิงเส้น
ตอนนี้, นี่ก็เหมือนกับที่เราทำตรงนี้, แต่ใน
กรณีนี้, ผมอยากเลือก a กับ b และ c ให้เป็น 0
นี่คือ a, นี่คือ b และ นี่คือ c, จริงไหม?
ผมเลือกเวกเตอร์ใดๆ ใน R3 สำหรับ a, b, และ c
ตอนนี้ผมจะเลือกเวกเตอร์ 0
ลองดูว่า c1, c2 และ c3 คืออะไร
งั้น a เท่ากับ b เท่ากับ c เท่ากับ 0
ผมจับมันเท่ากับเวกเตอร์ศูนย์
แล้วผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์สามตัวนี้ แบบใด
เท่ากับเวกเตอร์ศูนย์?
ทีนี้, ถ้า a, b และ c เท่ากับ 0 หมด, เทอมนั้นเป็น 0,
นั่นเป็น 0, นั่นเป็น 0
คุณได้ 1/11 คูณ 0 ลบ 0 บวก 0
นั่นก็แค่ 0
c3 จึงเท่ากับ 0
ตอนนี้, ถ้า c3 เท่ากับ 0, เรารู้ว่า a เท่ากับ 0
และ b เท่ากับ 0
c2 เป็น 1/3 คูณ 0, มันจึงเท่ากับ 0
แล้ว c1 คืออะไร?
ทีนี้, มันคือ c3, ซึ่งก็คือ 0
c2 เป็น 0, ได้ 2 คูณ 0 เป็น 0
แล้ว c1 จะเท่ากับ a
ผมแค่บอกว่า a เท่ากับ 0
ดังนั้นคำตอบเดียวของสมการนี่ตรงนี้,
ผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์สามตัวนี้
ที่สร้างเวกเตอร์ศูนย์ คือ ตัวที่คุณถ่วงน้ำหนักทุกตัวเป็น 0
ผมเพิ่งแสดงให้คุณเห็นว่า c1, c2 และ c3 ทุกตัวต้องเท่ากับ 0
และเพราะพวกมันเป็น 0 หมด, เรารู้ว่านี่
เป็นเซตเวกเตอร์อิสระเชิงเส้น
หรือไม่มีเวกเตอร์ตัวใดในนี้ สามารถแทนได้ด้วย
ผลรวมเชิงเส้นของอีกสองตัว
-
นี่น่าสนใจดี
ผมมีเวกเตอร์ 3 ตัวพอดีที่สแปน R3 และ
พวกมันเป็นอิสระเชิงส้น
และอิสระเชิงเส้น, ในสมองผมมันหมายความว่า, ดูสิ,
ผมไม่มีเวกเตอร์เกิน, อะไรก็ตาม
ที่สามารถสร้างได้จากเวกเตอร์ที่เหลือ, ผมได้
เวกเตอร์สามตัวพอดี, และมันสแปน R3
ดังนั้นโดยทั่วไป, ผมยังไม่ได้พิสูจน์ให้คุณดู, แต่ผม
ทำได้, ว่าถ้าคุณมีเวกเตอร์สามตัวพอดี และ
พวกมันสแปน R3, พวกมันต้องอิสระเชิงเส้น
ถ้าพวกมันไม่อิสระเชิงเส้น, แล้วเวกเตอร์
หนึ่งในนี้จะเกินมา
สมมุติว่าเจ้านี่เป็นตัวที่เกินมา
ผมเลือกตัวที่สามตลอด, แต่สมมุติว่าเจ้านี่
เกินมา, ซึ่งหมายความว่าสแปนของอันนี้
เท่ากับสแปนของสองตัวนี้, จริงไหม?
เพราะถ้าเจ้านี่มันเกินมา, มันจะเป็น
ส่วนหนึ่งของสแปนของเจ้าสองตัวนี้
และสแปนของเวกเตอร์สองตัว ไม่มีทางสแปน R3 ได้
หรือคุณอาจทำอีกวิธีหนึ่ง, ถ้าคุณมีเวกเตอร์
สามตัวอิสระเชิงเส้น -- ชุดอันดับ 3 ค่า, และพวกมันเป็นอิสระเชิงเส้น
คุณก็บอกได้ว่า มันสแปน R3
ผมยังไม่ได้พิสูจน์ให้คุณเห็น, แต่หวังว่าคุณคง
พอเข้าใจว่า แต่ละตัวสร้าง
ทิศขึ้นมาใหม่, จริงไหม?
มันจะเป็นแบบนั้น
พวกมันไม่ได้ตั้งฉากกันและกัน, แต่
พวกมันให้ทิศมากพอ ที่คุณสามารถ
สร้างมิติให้มันไปได้
หวังว่า, นั่นคงช่วยคุณมาก, แล้วพบกันใหม่
ในวิดีโอหน้าครับ