Tip:
Highlight text to annotate it
X
ตอนนี้หวังว่าเราคงเข้าใจความหมายของ
squeeze theorem กันดีแล้ว เราจะใช้มันพิสูจน์ว่าลิมิต-- ผมจะ
เขียนมันด้วยสีเหลือง -- ลิมิตเมื่อ x เข้าใกล้ 0 ของ sine ของ
x ส่วน x นั้นเท่ากับ 1
และคุณต้องอดทนหน่อย เพราะ
ผมพูดมันมาหลายครั้งแล้ว
งั้นมาลองกัน และที่จริง เราต้องเริ่มด้วย -- แน่นอน
เราต้องใช้ตรีโกณมิติ -- และที่จริงมันเป็นการพิสูจน์ด้วยภาพ
งั้นขอผมวาดรูปอย่างน้อยก็จตุภาคที่หนึ่งกับสี่
ของวงกลมหนึ่งหน่วยก่อน
ผมจะวาดมันด้วยสีบานเย็น
เอาล่ะ ลองดูว่าผมจะ -- ผมควรวาด
ให้ใหญ่หน่อย
ขอผมดูหน่อย
ผมควรวาดมันใหญ่สักขนาดนี้
งั้นผมจะวาดมันอย่างนั้นแหละ
ใช้ได้แล้ว
จากนั้นผมจะวาดแกน
นี่คือแกน x ออกมาเป็นแบบนี้
โทษที นั่นคือ แกน y
ได้แล้วล่ะ
จากนั้นก็แกน x ออกมาประมาณนี้
นั่นคือวงกลมหนึ่งหน่วยของเรา
ได้แล้ว
ทีนี้ขอผมวาดอย่างอื่นด้วย
ขอผมวาด -- อืม นั่นคือรัศมี แต่ผมจะ
ไปไกลเกินกว่าวงกลมหนึ่งหน่วย
ปล่อยมันออกมาอย่างนี้
ผมวาดอะไรอีกหลายอย่าง สำหรับแก้ปัญหาข้อนี้
ไม่ใช่ ๆ ผมไม่ได้อยากทำอย่างนั้น
ผมอยากทำมันจากตรงจุดนี้
ออกมาอย่างนั้น
จากนั้นจากจดนี้ ผมอยากทำอย่างนี้
จากนั้นผมจะวาดอีกอันจากจุดนั้น
ผมจะวาดแล้วนะ
และทีนี้เราก็พร้อมแล้ว
ผมพูดว่าอะไรไปนะ
นี่คือวงกลมหนึ่งหน่วย ถูกไหม
ดังนั้นหากมันคือวงกลมหนึ่งหน่วย มันหมายความว่าไง
มันคือวงกลมที่มีรัศมียาว 1 หน่วย
ดังนั้นระยะทางจากจุดนี้ถึงจุดนี้เท่ากับ 1
และทีนี้ หากนี่คือมุม x ในหน่วยเรเดียน ความยาว
ของเส้นนี้จะเป็นเท่าไหร่
ความยาวของเส้นนั้นเป็นเท่าไหร่
ตามนิยามแล้ว sine ของ x ถูกนิยามว่า
คือค่าแกน y ของจุดใด ๆ บนวงกลมหนึ่งหน่วย
ดังนั้นนี่คือ sine ของ x
ผมจะไม่มีที่แล้ว งั้นผมขอเขียนลูกศรนะ
งั้นนี่คือ -- ตรงนี้คือ sine ของ x
ทีนี้ผมจะถามคำถามที่ยากขึ้นอีกหน่อย
เส้นนี้ยาวเท่าไหร่
มาลองคิดกันดู
tangent คืออะไร
ลองกลับไปดูนิยาม SOHCAHTOA ของ tangent กัน
TOA
tangent เท่ากับ TOA นั่นคือ ด้านตรงข้ามหารด้านประชิด
ดังนั้น tangent ของ x จะเป็นเท่าไหร่
อืม มันจะเท่ากับ -- เราจะเอามันมา -- หากเราบอก
ว่านี่คือมุมฉาก มันจะเท่ากับความยาว
นี้ -- ด้านตรงข้าม -- หารด้วยด้านประชิด จริงไหม
งั้นเรียกความยาวนี่หารด้วยอันนี้ เรียกด้านนี้
ว่า o แทน ตรงข้าม (opposite)
แต่ความยาวด้านประชิดล่ะ
ฐานอันนี้ของสามเหลี่ยมใหญ่เป็นเท่าไหร่
นี่คือวงกลมหนึ่งหน่วย ใช่ไหม
ดังนั้นระยะทางระหว่างจุดนี้ถึงจุดนี้ -- ระยะนั่น
จะเท่ากับ 1 จริงไหม
เพราะนี่ก็คือรัศมีอีกอัน
เลยเท่ากับ 1
ดังนั้นด้านตรงข้ามหารด้านประชิด เท่ากับ tangent ของ x
แต่ ด้านตรงข้ามส่วนด้านประชิด -- ด้านประชิดเท่ากับ 1 จริงไหม
ดังนั้นความยาวด้านตรงข้าม ด้านนี้ตรงนี้ จะเท่ากับ
tangent ของ x พอดี
หรือพูดอีกอย่างคือว่า tangent ของ x เท่ากับ ด้านนี้
ส่วนด้วย 1 หรือ tangent ของ x เท่ากับด้านนี้นั่นเอง
งั้นขอผมเขียนลงไปนะ
ด้านนั้นเท่ากับ tangent ของ x
ทีนี้ ลองดูพื้นที่ของส่วนต่าง ๆ
ในภาพที่ผมวาดไปกันบ้าง
บางทีผมควรวาดให้ใหญ่หน่อย แต่ผมว่า
มันใช้ได้แล้ว
งั้นอย่างแรก ขอผมเลือกสามเหลี่ยมรูปเล็กนี่
ลองคิดสามเหลี่ยมอันนี้ดู
ผมจะลอกมันด้วยสีเขียว
สามเหลี่ยมนี้ที่ผมวาดทับด้วยสีเขียว -- มันมี
พื้นที่เท่าไหร่
มันจะเท่ากับ 1/2 คูณฐาน คูณสูง
ดังนั้นมันเท่ากับ 1/2 คูณ ฐาน เท่ากับ 1
จริงไหม
นั่นคือสามเหลี่ยมทั้งหมดนี่
แล้วความสูงล่ะ
เราเพิ่งหาความสูงตรงนี้ไป
ความสูงนี่ก็คือ sine ของ x
คูณ sine ของ x
นั่นคือสามเหลี่ยมสีเขียวนี่ จริงไหม
ทีนี้ พื้นที่ของ -- ไม่ใช่สามเหลี่ยมสีเขียวนะ
ขอผมใช้อีกสีนึงแล้วกัน
ขอผมใช้ -- โอ้ ผมใช้สีแดงแล้วกัน
พื้นที่ของชิ้นพายนี่เท่ากับเท่าไหร่
ชิ้นพายตรงนี้
พายนั่น
หวังว่าคุณคงเห็น -- อืม สีอาจใกล้เกินเกินไป
มันคือพายตรงนี้
ผมจะไปตามนี้
แล้วผมจะไปตามเส้นโค้ง
ดังนั้นมันจะใหญ่กว่าสามเหลี่ยมที่เรา
เพิ่งหาไป จริงไหม
มันจะใหญ่กว่านิดหน่อยเสมอ เพราะมันรวม
พื้นที่ระหว่างสามเหลี่ยมนั่นกับเส้นโค้ง ถูกไหม
แล้วพื้นที่ของรูปโค้งนั่นเป็นเท่าไหร่
อืม หากมุมนี้เท่ากับ x -- มันคือ x เรเดียน -- ส่วนนี้
จะเป็นสัดส่วนเท่าไหร่ของวงกลมหนึ่งหน่วยทั้งอัน
ในวงกลมหนึ่งหน่วย มีมุมรวม 2 pi เรเดียน ใช่ไหม
ดังนั้นพื้นที่ดังกล่าวจะเท่ากับเท่าไหร่
มันจะเท่ากับสัดส่วน x ของพื้นที่ทั้งหมดใน
วงกลมหนึ่งหน่วย จริงไหม
ดังนั้น มันคือ x เรเดียน ส่วน 2 pi เรเดียน ของวงกลม
หนึ่งหน่วยทั้งหมด
นั่นคือสัดส่วนที่เป็น -- คุณก็รู้ หาก
คุณคิดมันในหน่วยองศา -- อัตราส่วนก็เทียบเอาจาก
360 องศา คูณกับพื้นที่วงกลมทั้งหมด จริงไหม
นี่บอกเราว่าอัตราส่วนจากวงกลมนี้เป็นเท่าไหร่ แล้ว
เราก็จะคูณมันกับพื้นที่
ของวงกลมทั้งอัน
ทีนี้ พื้นที่ของวงกลมทั้งอันเป็นเท่าไหร่
พื้นที่ เท่ากับ pi r ยกกำลังสอง รัศมีเท่ากับ 1 ถูกไหม
ดังนั้นพื้นที่ของวงกลมทั้งอันก็แค่ pi
pi r กำลังสอง r คือ 1 ดังนั้นพื้นที่วงกลม -- ดังนั้น
พื้นที่ของชิ้นเตรงนี้ มันก็จะเท่ากับ --
pi พวกนี้ตัดกัน -- มันเลยเท่ากับ x ส่วน 2
โดยที่สามเหลี่ยมเล็กอันแรก สามเหลี่ยมสีเขียว
ที่เราทำไป คือ sine ของ x
1/2 sine ของ x นั่นคือ พี้นที่ของสามเหลี่ยมสีเขียว
จากนั้นพื้นที่ชิ้นพายที่ใหญ่ขึ้นมาหน่อย -- เราได้แล้ว
เมื่อสักครู่ -- ว่าคือ x ส่วน 2
ทีนี้ลองหาพื้นที่สามเหลี่ยมอันใหญ่
สามเหลี่ยมอันใหญ่นี่
และนั่นก็หาได้ไม่ยาก
มันคือ 1/2 ฐานคูณสูง
นั่นคือ 1/2 -- ฐานเท่ากับ 1 เหมือนเดิม -- 1 คูณ
ความสูง นั่นคือ tangent ของ x
เท่ากับ 1/2 tangent ของ x
ทีนี้ มันก็ชัดเจนแล้วแค่มองจากรูปว่า
ไม่ว่าผมจะวาดเส้นด้านบนนี้ยังไง สามเหลี่ยมสีเขียวนี่
จะมีพื้นที่เล็กกว่าลิ่มพายนี้ ซึ่งมีพื้นที่เล็กกว่า
สามเหลี่ยมใหญ่นี่
จริงไหม
งั้นลองเขียนอสมการนี้ว่ามันเป็นยังไง
สามเหลี่ยมสีเขียว -- พื้นที่ของสามเหลี่ยมสีเขียว -- คือ 1/2
sine ของ x นั่นคือพื้นที่ของสามเหลี่ยมสีเขียว -- มัน
น้อยกว่าพื้นที่ของลิ่มอันนี้
นั่นคือ x ส่วน 2
และทั้งคู่ก็น้อยกว่าพื้นที่ของสามเหลี่ยม
อันใหญ่ จริงไหม
ซึ่งเท่ากับ 1/2 tangent ของ x
ทีนี้ มันเป็นจริงเมื่อไหร่
มันเป็นจริง ตราบใดที่เรายังอยู่ในจตุภาคแรก จริงไหม
ตราบใดที่เรายังอยู่ในจตุภาคแรก
และมันก็เกือบจริง หากเราคิดในจตุภาคที่สี่เช่นกัน
ยกเว้นตอนที่ sine ของ x กลายเป็นลบ tangent ของ
x กลายเป็นลบ และ x กลายเป็นลบ
แต่หากเราใส่ค่าสัมบูรณ์ให้ทุกตัว มันก็
จะยังเป็นจริงในจตุภาคที่สี่เช่นกัน
เพราะหากคุณเปลี่ยนเป็นเครื่องหมายลบ ตราบใดที่เรายังคิด
ค่าสัมบูรณ์ ระยะทางยังคงใช้ได้ และเรายังคง
มีพื้นที่เป็นบวก และอื่น ๆ ตามมา
ดังนั้น หากเป้าหมายผมคือ ใส่ลิมิตเมื่อ x เข้าใกล้ 0 และผม
อยากใส่ลิมิต -- เพื่อที่จะให้ลิมิตนี้ใช้ได้
โดยทั่วไป มันต้องเป็นจริงทั้งจากทางค่าบวก
และทางค่าลบ
งั้นเราจะใช้ค่าสัมบูรณ์ของทั้งสองข้างนี่
และหวังว่าคุณคงเข้าใจนะ
หากผมวาดเส้นลงไปตรงนี้ -- และนี่จะเป็น
sine ของ x และ มันจะเป็น tangent ของ x -- ตราบใด
ที่คุณใส่เครื่องหมายค่าสัมบูรณ์ของทุกอย่าง ที่สุดแล้วเราก็
ทำทุกอย่างเหมือนกับที่ทำในจตุภาคแรก
งั้นลองใส่เครื่องหมายค่าสัมบูรณ์ให้ทุกอย่างลงไปกัน
และมันไม่ควรจะเปลี่ยนอะไร โดยเฉพาะหาก
คุณอยู่ในจตุภาคแกร
เราคุณอาจอยากลองคิดดูอีกหน่อย ว่า
ทำไมมันถึงไม่เปลี่ยนอะไรในจตุภาคที่สองเช่นกัน
งั้นตอนนี้เรามีอสมการนี้แล้ว
ลองดูว่าเราสามารถเล่นอะไรกับมันได้บ้าง
งั้นอย่างแรกเลย ลองคูณทุกอย่างด้วย 2
เพื่อกำจัด 1/2 ออกไป
เราจะได้ค่าสัมบูรณ์ของ sine ของ x น้อยกว่า ค่าสัมบูรณ์
ของ x ซึ่งน้อยกว่าค่าสัมบูรณ์ของ
tangent ของ x
ผมหวังว่าคุณคงไม่งงตอนคิดค่าสัมบูรณ์นะ
อสมการเดิมที่ผมเขียนนี่ใช้ได้
ในจตุภาคแรก แต่เนื่องจากผมอยากให้อสมการนี้เป็นจริง
ในจตุภาคแรกและจตุภาคที่สี่ เพราะผมกำลัง
ให้ลิมิตเมื่อ x เข้าใกล้ 0 จากทั้งสองด้าน ผมเลย
ใส่เครื่องหมายค่าสัมบูรณ์ตรงนี้
งั้นคุณอยากวาดเส้นลงไป และทำทุกอย่างที่เราได้ทำไป
กับจตุภาคที่สี่เช่นกัน แค่ใส่ค่าสัมบูรณ์
ลงไป แล้วมันก็ควรออกมาเหมือนกัน
เอาล่ะ กลับมาที่โจทย์กันต่อ
ทีนี้เรามีอสมการนี้อยู่
ผมไม่มีที่เขียนแล้ว ขอผมลบ
พวกข้างบนนี้หน่อยนะ
ลบ
ลบ
ไม่ อันนี้ไม่ต้องลบ
โอเค
ลบนี่ด้วย
โอเค
ทีนี้เราได้ลบทุกอย่างที่พาเรามาถึงตรงนี้ไป
แต่เราลืมมันไม่ได้นะ
ได้ที่เยอะเลย
โอเค
ลองเอาอันนี้มา และเอาพจน์นั้นมา
แล้วก็หารทุกตัว
คุณก็รู้ มันมีสามตัว ทางซ้าย
ตรงกลาง ทางขวา
ลองหารทุกพจน์ด้วยค่าสัมบูรณ์ของ sine ของ x
และเนื่องจากเรารู้ว่า ค่าสัมบูรณ์ของ sine ของ x
เป็นจำนวนบวก เรารู้ว่าเครื่องหมายน้อยกว่า
ไม่เปลี่ยนทาง จริงไหม
งั้นลองทำดู
ดังนั้น ค่าสัมบูรณ์ของ sine ของ x หารด้วย
ค่าสัมบูรณ์ของ sine ของ x อืม นั้นเท่ากับ 1
ซึ่งน้อยกว่าค่าสัมบูรณ์ของ x หารด้วย
ค่าสัมบูรณ์ของ sine ของ x
และน้อยกว่า -- นั่นคือ ค่าสัมบูรณ์ของ tan -- ดังนั้น
ที่ผมทำไปนั้น คือ ผมเอาค่าสัมบูรณ์ของ sine ของ x
ค่าสัมบูรณ์ของ sine ของ x, ค่าสัมบูรณ์ของ sine ของ x มา
แล้วค่าสัมบูรณ์ของ tangent ของ x หารด้วย
ค่าสัมบูรณ์ของ sine ของ x คืออะไร
tangent ก็แค่ sine ส่วน cosine
มันเลยเท่ากับ -- ลองมาทำส่วนนั้นตรงนี้กัน
นั่นเท่ากับ sine ส่วน cosine หารด้วย sine
และคุณก็รู้ คุณบอกได้ว่า มันเท่ากับ
ค่าสัมบูรณ์
และค่าสัมบูรณ์หารด้วยค่าสัมบูรณ์
แล้วคุณจะเหลืออะไร
คุณก็เหลือแค่ 1 ส่วน -- นี่ตัดกับนี่
เลยกลายเป็น 1 -- 1 ส่วนค่าสัมบูรณ์
ของ cosine ของ x
คุณอาจรู้สึกว่าเราใกล้เสร็จแล้ว
เพราะมันดูเหมือนกับว่า เราแค่ต้องกลับเศษส่วน
งั้นเราลองกลับเศษส่วนกัน
เมื่อเรากลับเศษส่วน จะเกิดอะไรขึ้น
อย่างแรกคือ เกิดอะไรขึ้นหากคุณกลับเศษส่วน 1?
1/1 ก็คือ 1
แต่เมื่อคุณกลับเศษส่วนทั้งสองข้างของอสมการ คุณต้อง
สลับเครื่องหมายอสมการด้วย จริงไหม
หากคุณไม่เข้าใจ ลองคิดอย่างนี้
คุณก็รู้ว่า หากผมบอกว่า 1/2 น้อยกว่า 2 และผมกลับเศษส่วนทั้งสองข้าง
ผมต้องได้ 1 มากกว่า 1/2
หวังว่ามันคงช่วยคุณได้นะ
งั้นหากผมกลับเศษส่วนทุกตัวในอสมการนี้ ผม
ต้องสลับเครื่องหมายอสมการด้วย
ดังนั้น 1 มากกว่าค่าสัมบูรณ์ของ sine ของ x ส่วน
ค่าสัมบูรณ์ของ x ซึ่งมากกว่าค่าสัมบูรณ์ของ
cosine ของ x
ทีนี้ขอผมถามคำถามคุณหน่อย
ค่าสัมบูรณ์ของ sine ของ x ส่วน -- อืม
อย่างแรกเลย sine ของ x ส่วน x
มันจะมีโอกาสไหมที่ sine ของ x ส่วน x --
ในจตุภาคแรกหรือจตุภาคที่สี่ -- จะมีสักครั้งไหมที่
sine ของ x ส่วน x จะออกมาเป็นลบ?
ในจตุภาคแรก sine ของ x นั้นเป็นบวก
และ x เป็นบวก
ดังนั้น ค่าบวกหารด้วยค่าบวก
ย่อมออกมาเป็นบวก
และในจตุภาคที่สี่ sine ของ x เป็นลบ ค่า y
เป็นลบ และมุมก็เป็นลบ ดังนั้น x
ก็เป็นลบ
ดังนั้นในจตุภาคที่สี่ sine ของ x ส่วน x จะเป็น
เป็นลบ หารด้วยค่าลบ
ดังนั้นมันจะออกมาเป็นบวกเหมือนเดิม
ดังนั้น sine ของ x ส่วน x จะเป็นบวกเสมอ
ดังนั้นเครื่องหมายค่าสัมบูรณ์นี่ไม่จำเป็น
ดังนั้นเราสามารถเขียน 1 มากกว่า sine ของ x ส่วน x
และด้วยหลักเดียวกัน ในจตุภาคแรกและจตุภาคที่สี่ --
นั่นคือจตุภาคที่เราสนใจ
เรากำลังสนใจกรณี ลบ pi ส่วน 2 น้อยกว่า x
ซึ่งน้อยกว่า pi ส่วน 2
นั่นคือเราไปจาก ลบ pi ส่วน 2 ยาวไป
จนถึง pi ส่วน 2
ดังนั้นเรากำลังอยู่ในจตุภาคที่สี่กับจตุภาคที่หนึ่ง
cosine ของ x เป็นลบได้ไหม?
cosine คือค่าตามแกน x และค่าแกน x -- ตามนิยามแล้ว
ในจตุภาคที่หนึ่งและที่สี่ -- ค่าตามแกน x
เป็นบวกเสมอ
ดังนั้นหากนี่เป็นบวกเสมอ เราก็เอาเครื่องหมาย
ค่าสมบูรณ์ออกได้ และเขียนมันแค่นั้น
ตอนนี้ เราพร้อมแล้วที่จะใช้ squeeze theorem
ขอผมลบข้างล่างนี่ออกก่อนนะ
ขอผมถามอะไรคุณสักหน่อย
ลิมิต เมื่อ x เข้าใกล้ 0 ของ
ฟังก์ชัน 1 คืออะไร
ฟังก์ชัน 1 นั้นเท่ากับ 1 เสมอ
ดังนั้นผมจะคิดลิมิตเมื่อ x เข้าใกล้อนันต์ ลิมิต
x เข้าใกล้ pi อะไรก็ได้
มันจะเท่ากับ 1 เสมอ
งั้นเมื่อ x เข้าใกล้ 0 นี่จะเท่ากับ 1
ทีนี้ ลิมิต เมื่อ x เข้าใกล้ 0 ของ cosine ของ x เป็นเท่าไหร่
นั่นก็ง่ายเหมือนกัน
เมื่อ x เข้าใกล้ 0 cosine ของ 0 ก็แค่ 1 -- และเมื่อ
คุณก็รู้ มันเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง ลิมิตจะออกมาเป็น 1
แล้วเราก็ใช้ squeeze theorem ได้แล้ว
เมื่อเราเข้าใกล้ 0 เมื่อ x เข้าใกล้ 0 ฟังก์ชันนี้
จะเข้าใกล้ 1
ค่าฟังก์ชันนี่เข้าใกล้ 1
และฟังก์ชันนี้ พจน์นี้
อยู่ระหว่างสองตัวนี้
และหากมันอยู่ระหว่างสองตัวนี้ เมื่อเราเข้าใกล้ --
นี่เข้าใกล้ 1 เมื่อเราเข้าใกล้ 0 และนี่ก็เข้าใกล้ 1 เมื่อ
เราเข้าใกล้ 0 เช่นกัน และนี่อยู่ระหว่่างสองตัวนัั้น ดังนั้นมันก็
ต้องเข้าใกล้ 1 เมื่อเราเข้าใกล้ 0 เช่นกัน
นั่นคือ เราใช้ squeeze theorem ตามนี่กับนี่
และคุณก็บอกได้ว่า คุณก็รู้ ด้วย squeeze theorem
เพราะนี่เป็นจริง นี่เป็นจริง และนี่เป็นจริง
ดังนั้น sine ของ x ส่วน x ลิมิตเมื่อ x เข้าใกล้ 0 นั้นเท่ากับ 1
หวังว่านั่นคงทำให้คุณได้แนวคิดไป
วิธีมองอีกอย่างนึงคือ เมื่อเส้นนี่เล็กลงเรื่อย ๆ
เมื่อมันเข้าใกล้ 0 คือ เมื่อ x เข้าใกล้ 0
พื้นที่นี่กับพื้นที่นี่ เข้าหากัน ดังนั้น พื้นที่ขนาดระหว่างสองพื้นที่นี้
ก็จะเข้าหาค่าทั้งสองเช่นกัน
และหากคุณอยากเห็นเป็นกราฟ ผมก็ได้
เขียนกราฟไว้แล้ว
ขอผมดูหน่อยว่าผมจะวาดกราฟนี่ได้ไหม
ผมจะแสดงกราฟให้ดู
เชื่อผมแล้วกัน
เราบอกว่า 1 มากกว่า sine ของ x ซึ่ง
มากกว่า cosine ของ x เสมอ เมื่อ x อยู่ระหว่าง
ลบ pi ส่วน 2 กับ pi ส่วน 2
และแน่นอน นี่นิยามไม่ได้เมื่อ x เท่ากับ 0
แต่เราหาลิมิตของมันได้
มาแล้ว ๆ
เส้นสีฟ้านี่ มันคือฟังก์ชัน 1
นั่นคือ y เท่ากับ 1
ส่วนเส้นสีฟ้าอ่อนตรงนี้คือ cosine ของ x
และนี่คือกราฟของ sine ของ x ส่วน x
หวังว่าคุณคงเห็นว่าผมพิมพ์มันจริง ๆ
sine ของ x ส่วน x ระหว่าง ลบ pi ส่วน 2 กับ pi ส่วน 2
คือ จตุภาคที่สี่กับจตุภาคที่หนึ่ง เส้นสีแดง
จะอยู่ตรงกลางเสมอ
มันระหว่างเส้นสีน้ำเงิน กับสีฟ้าอ่อนเสมอ
และนี่คือเบื้องหลังว่าเกิดอะไรขึ้น
เมื่อใช้ squeeze theorem
เรารู้ว่าลิมิต เมื่อเส้นสีฟ้าอ่อน
เข้าใกล้ 0 นั้น เท่ากับ 1
และเรารู้ว่าลิมิตเมื่อเส้นสีน้ำเงินด้านบน
เข้าใกล้ 0 นั้น เท่ากับ 1 เช่นกัน
เส้นสีแดงอยู่ระหว่างสองเส้นนั้นเสมอ ดังนั้น
มันก็เข้าหา 1 เช่นกัน
และเราก็ได้ผลเช่นนั้น
บทพิสูจน์ โดยใช้ squeeze theorem และตรีโกณมิติ
จากภาพนิดหน่อย ว่าทำไมลิมิตเมื่อ x เข้าใกล้ 0
ของ sine ของ x ส่วน x เท่ากับ 1 ก็เสร็จสิ้น
ผมหวังว่าผมคงไม่ทำให้คุณงงนะ