Tip:
Highlight text to annotate it
X
ในวีดีโอนี้ ผมอยากจะให้คุณคุ้นเคยกับแนวคิดของลิมิต, ซึ่งเป็นแนวคิดที่สำคัญมาก
ที่จริงมันเป็นแนวคิดทั้งหมดของแคลคูลัสเลย
แต่แม้มันจะสำคัญมากๆ ที่จริงมันเป็นกลับเป็นแนวคิดที่ง่ายจริง ๆ
ให้ผมวาดฟังก์ชันตรงนี้นะ. -- ให้ผมกำหนดฟังก์ชัน
ตรงนี้. เป็นแบบฟังก์ชันแบบง่าย. งั้นให้ f(x) -- สมมุติว่า f(x) จะเท่ากับ (x-1)/(x-1).
แล้วคุณอาจบอก "เฮ้ แซล ดูสิ ฉันมีตัวเศษกับตัวส่วนเหมือนกัน
ถ้าฉันมีอะไรสักอย่างหารด้วยตัวเอง มันก็เท่ากับ 1 สิ ทำไมฉันไม่เขียนมันเป็น f(x) = 1 ล่ะ?"
ผมก็บอกว่า "คุณเกือบถูกแล้ว ข้อแตกต่างระหว่าง f(x) = 1 กับฟังก์ชัน
ตรงนี้คือว่า เจ้าสิ่งนี้นั้นนิยามไม่ได้ตอนที่ x=1 ดังนั้นหากคุณให้ - ขอผมเขียนตรงนี้นะ - หากคุณหา
f(1) จะเกิดอะไรขึ้น? ในตัวเศษ คุณจะได้ (1-1) ซึ่งเท่ากับ.. ขอผมเขียนลงไปหน่อย...
ในตัวเศษ คุณจะได้ 0 และตัวส่วน คุณจะได้ (1-1) ได้ 0 เหมือนกัน แล้วอะไรก็ตามหารด้วย
0 รวมถึง 0/0 นั้นนิยามไม่ได้ ดังนั้นคุณสามารถเขียนมันง่าย ๆ -- โดยบอกว่ามัน
ก็เหมือนกับ f(x) = 1 แต่คุณต้องเพิ่มข้อมแม้ว่า x เท่ากับ 1 ไม่ได้ สิ่งนี้
กับสิ่งนี้ถึงจะเทียบเท่ากัน ทั้งสองฟังก์ชันจะเท่ากับ 1 สำหรับทุกค่า x ยกเว้น x=1 และที่ x=1
มันจะนิยามไม่ได้ นี่นิยามไม่ได้ และอันนี้ก็นิยามไม่ได้ ทีนี้เราจะวาดกราฟฟังก์ชันนี้ยังไง
ลองมาวาดกราฟกัน... นี่คือแกน y= f(x) ตรงนี้คือแกน x ผม ลองสมมุติ
ว่านี่คือจุด x=1 ตรงนี้จะเป็น x=-1 นี่คือ y= 1 ตรงนี้ผมเขียน -1 ได้ แต่
มันไม่ได้เกี่ยวกับฟังก์ชันข้างบนนี้เท่าไหร่ ลองวาดกราฟกัน ที่สุดแล้วสำหรับ
x ใด ๆ ที่ไม่ใช่ 1, f(x) = 1. ดังนั้นมันจะออกมาอย่างนี้... ยกเว้นที่ 1 ที่ 1 f(x) จะไม่นิยาม ดังนั้น
ผมจะใส่วงกลมตรงช่องตรงนี้ เพื่อบอกว่าฟังก์ชัน
ไม่นิยามตรงนี้ - เราไม่รู้ว่าฟังก์ชันตรงนี้เท่ากับ 1 หรือไม่ เราไม่นิยามมัน
นิยามของฟังก์ชันนี้ไม่ได้บอกเราให้ทำอะไรที่ 1 - นั่นคือมันไม่ได้ถูกนิยามไว้ที่ x= 1
ดังนั้น นี่คือฟังก์ชันตรงนี้ และหากมีคนถามคุณว่า f(1) คืออะไร คุณก็ดู...
สมมุติว่า นี่คือฟังก์ชันที่นิยามขึ้น คุณก็ดูที่ x=1. เดี๋ยวก่อนสิ นี่มันมีช่องในฟังก์ชันนี่นา
มันไม่ได้นิยามไว้ ดังนั้นขอผมเขียนอีกที... อืม มันซ้ำไปแล้วแต่ผมจะเขียนอีกที
f(1) นั้นนิยามไม่ได้ แต่หากผมถามคุณใหม่ ว่า ค่าฟังก์ชันเมื่อ
เข้าใกล้ x=1 เป็นเท่าไหร่ ที่นี่ มันจะเริ่มใกล้แนวคิดของลิมิตแล้ว หาก x เข้าใกล้ 1 ขึ้นเรื่อย ๆ...
ค่าฟังก์ชันจะเข้าใกล้อะไร? ตลอดเวลาที่ผ่านมา มันเขยิบเข้าใกล้และเข้าใกล้อะไร
ทางด้านซ้าย ไม่ว่าคุณจะเข้าใกล้ 1 แค่นั้น ตราบใดที่คุณไม่อยู่ที่ 1 ค่าฟังก์ชัน f(x) =1
มาดูทางขวาบ้าง คุณก็ได้เหมือนกัน งั้นคุณก็บอกว่า - เดี๋ยว
คุณจะคุ้นกับแนวคิดเมื่อเราดูตัวอย่างหลาย ๆ อัน - ลิมิตเมื่อ
x (lim เป็นคำย่อของ ลิมิต (limit)) - เมื่อ x เข้าใกล้ 1 ของฟังก์ชัน f(x) นั้น เท่ากับ...
เมื่อเราเข้าใกล้ ใกล้สุด ๆ จนไม่น่าเชื่อ ตราบใดที่เรายังไม่อยู่ที่ 1....
และฟังก์ชันของเราจะเท่ากับ 1 มันจะเข้าใกล้ 1 ขึ้นเรื่อย ๆ
ที่จริงฟังก์ชันเท่ากับ 1 ตลอด ดังนั้นในกรณีนี้ เราพูดได้ว่า ลิมิตเมื่อ x เข้าใกล้ 1 ของฟังก์ชัน f(x)
เท่ากับ 1 แล้วเราก็ได้สัญลักษณ์สวยหรูมา เราบอกว่า "ดูสิ ค่าที่ฟังก์ชันเข้าใกล้
เมื่อ x เข้าใกล้ 1 ขึ้นเรื่อย ๆ คืออะไร"
ขอผมยกตัวอย่างที่เรายุ่งกับเส้นโค้งบ้าง เพื่อให้คุณเข้าใจในกรณีทั่วไป
งั้นสมมุติว่าผมมีฟังก์ชัน f(x) - ขอผม เพื่อให้มันหลากหลาย ผมเรียกมันว่า g(x) แล้วกัน
สมมุติว่าผมมี g(x) เท่ากับ - ผมสามารถนิยามมันอย่างนี้ ว่าเป็น x^2
เมื่อ x ไม่เท่ากับ 2 และบอกว่าเมื่อ x=2 ฟังก์ชันมีค่าเท่ากับ 1 และอีกครั้ง คุณจะเห็น
ว่าฟังก์ชันนี้น่าสนใจ -- คุณจะเห็นเอง - ว่ามันไม่ต่อเนื่อง มันไม่ต่อเนื่อง ขอผมวาดมันออกมาหน่อย
นี่คือแกน y = f(x) และนี่คือแกน x ของผมตรงนี้ สมมุติว่านี่คือ x=1, นี่คือ x=2,
นี่คือ -1, นี่คือ -2... ดังนั้นที่ใดก็ตามยกเว้น x=2 มันจะเท่ากับ x^2. งั้นผมจะวาดมันอย่างนี้
มันจะออกมาเป็นพาราโบลา มันดูคล้าย ๆ นะ... มันจะดูเหมือน...
ขอผมวาดพาราโบลาที่สวยกว่านี้ดีกว่า มันจะออกมาเป็นอย่างนี้ แม้จะไม่ใช่
พาราโบลาที่สวยที่สุดที่เคยวาดมาในประวัติศาสตร์การวาดพาราโบลา แต่ผมว่าคุณคงรู้ว่ามันควรออกมาเป็นยังไง
หวังว่านะ มันควรสมมาตร... ขอผมวาดใหม่แล้วกันเพราะมันน่าเกลียดไปหน่อย
นี่ดูดีขึ้นแล้ว โอเค ใช้ได้ ได้แล้วล่ะ
ทีนี้ นี่ควรเป็นกราฟของ x^2 แต่มันไม่ใช่ x^2 เมื่อ x=2. ดังนั้น เมื่อ x=2
เราจะมีความไม่ต่อเนื่องตรงนี้ งั้นผมจะวาดช่องว่างตรงนี้
เพราะที่ x=2 ฟังก์ชันจะเท่ากับ 1
ผมไม่ได้ทำทุกอย่างในสเกลเดียวกัน... ในกราฟของ f(x) =x^2 นี่ควรจะเป็น 4, นี่ควรเป็น 2,
นี่ควรเป็น 1, นี่ควรเป็น 3, ดังนั้น x=2, ฟังก์ชันเราจะเท่ากับ 1
นี่อาจเป็นฟังก์ชันที่ดูน่าเกลียด แต่คุณนิยามมันอย่างนี้ คุณจะนิยามฟังก์ชัน
ตามที่คุณอยากยังไงก็ได้ และระลึกไว้ว่า มันเหมือนกับกราฟ f(x) = x^2 ยกเว้นตรงที่ 2
มันจะมีรูโหว่ เพราะคุณไม่ได้ใช้ "g(x)=x^2" ตอนที่ x=2 แต่คุณใช้ "g(x)=1"
หากผมเผลอเรียกเป็น f(x) ผมต้องขอโทษด้วย
คุณใช้ g(x)= 1 ดังนั้น ตรงที่ 2 ค่าฟังก์ชันจะตกลงไปเป็น 1 แล้วก็กลับมาเป็น x^2
มันมีอะไรหลายอย่าง หากผมคำนวณค่าฟังก์ชัน คือ g(2)
คุณดูตามนิยามนี้เอา โอเค ที่ x=2, ผมทำตามสถานการณ์
มันบอกผมว่า มันจะเท่ากับ 1 ขอผมถามคำถามที่น่าสนใจกว่านี้หน่อย
ลิมิติเมื่อ x เข้าใกล้ 2 ของ g(x) เป็นเท่าไหร่ และนี่ก็เป็นสัญลักษณ์สวยหรูเหมือนเดิม
แต่มันถามอะไรที่พื้นฐานมาก มันบอกว่า "เมื่อ x เข้าใกล้ 2 เข้าไปเรื่อย ๆ....
เมื่อคุณใกล้เข้าและใกล้เข้า - และนี่ไม่ใช่นิยามชัดเจน แต่เราจะให้นิยามดี ๆ ทีหลัง -
เมื่อ x เข้าใกล้ 2 ไปเรื่อย ๆ g(x) จะเข้าใกล้ค่าอะไร ดังนั้นหากคุณไปที่ 1.9 แล้วก็ 1.999 แล้วก็ 1.999999
แล้วก็ 1.9999999 g(x) จะเข้าใกล้ค่าใด หากคุณเริ่มจากทิศบวก
คือหากคุณบอกว่าที่ 2.1 ค่า g(2.1) เป็นเท่าไหร่ แล้วค่า g(2.01) ล่ะ แล้ว g(2.001) เป็นเท่าไหร่
มันจะเข้าหาค่าใดเมื่อเราเข้าใกล้ไปเรื่อย ๆ
คุณคงเห็นภาพแล้วแค่วาดกราฟดู เมื่อ g เข้าใกล้ 2 ขึ้นเรื่อย ๆ...
และหากเราดูตามกราฟไปเรื่อย ๆ เราจะเห็นว่ามันเข้าใกล้ 4
แม้ว่ามันไม่ใช่ค่าฟังก์ชัน ณ ตรงนั้น -- ฟังก์ชันจริง ๆ ตกลงไปที่ 1 - ลิมิตของ g(x) เมื่อ
x เข้าใกล้ 2 นั้นเท่ากับ 4 คุณสามารถคิดมันเป็นตัวเลขได้ด้วยเครื่องคิดเลข
และผมจะทำให้ดู เพราะผมว่ามันน่าสนใจดี งั้นขอผมเอาเครื่องคิดเลขออกมานะ...
ขอผมเอาเครื่อง TI-85 ออกมา... นี่คือเครื่องคิดเลขผม... และคุณสามารถบอกเป็นตัวเลขว่า
โอเค ฟังก์ชันจะเข้าใกล้ค่าใดเมื่อคุณเข้าใกล้ x=2? ลองเลข 1.9 ดู สำหรับ x=1.9 คุณจะใช้สัญลักษณ์ชั้นบน
ตรงนี้ คุณจะได้ 1.9^2 และมันเท่ากับ 3.61
ทีนี้ เกิดอะไรขึ้นหากเราเข้าใกล้ 2 เข้าไปอีก งั้น 1.99 ผมจะยกกำลังสองมัน
ผมได้ 3.96 แล้วหากผมใช้ 1.999 ผมก็ยกกำลังมัน
ผมจะได้ 3.996 สังเกตว่าผมกำลังเข้าใกล้จุดของเรามากขึ้นและมากขึ้น
หากผมเข้าใกล้มาก ๆ เช่น 1.999999999999^2? ผมจะได้ค่าเท่าไหร่ มันจะไม่เท่ากับ
4 เป๊ะ - แต่เครื่องคิดเลขนี่จะปัดตัวเลข - เพราะเราจะได้เลขที่
ใกล้ 4 แบบสุด ๆ แล้วเราก็ทำแบบเดียวกันในทิศบวกได้เช่นกัน และ
ค่ามันจะเท่ากับตอนที่เราใกล้เข้าจากข้างล่าง สิ่งที่เราพยายามจะเข้าใกล้
จากด้านล่าง หรือจากด้านบน งั้นหากเราลอง 2.1^2 เราจะได้ 4.4....
ขอผมทำข้ามขึ้นไปหน่อย...
2.0001^2 มันเข้าใกล้ 2 มากแล้ว ทีนี้เราก็เข้าใกล้ 4 เข้าไปอีก
ยิ่งเราเข้าใกล้ 2 มากเท่าไหร่ ค่าฟังก์ชันก็ยิ่งเข้าใกล้ 4 มากเท่านั้น
และอีกครั้ง นี่คือวิธีแทนค่าให้เห็นว่า ลิมิตเมื่อ x เข้าใกล้ 2 ไม่ว่าจากทางไหน
ของ g(x) - แม้ว่าตรงที่ 2 พอดี ค่าฟังก์ชันจะเท่ากับ 1 เนื่องจากฟังก์ชันไม่ต่อเนื่อง -
ลิมิตเมื่อเราเข้าใกล้ 2 เราจะเข้าใกล้ 4 ไปอีก