Tip:
Highlight text to annotate it
X
ลองทำตัวอย่างเรื่องลิมิตกันต่อดีกว่า
ลองดูปัญหาอีกข้อนึง
หากผมมีลิมิตเมื่อ x เข้าใกล้ 3 ของ สมมุติว่า
x กำลังสอง ลบ 6x บวก 9 ส่วน x ยกกำลังสองลบ 9
สิ่งที่แรกที่ผมจะทำเมื่อไหร่ก็ตามที่เห็นปัญหาลิมิต
พวกนี้คือการแทนค่าตัวเลขลงไป
และดูว่าผมได้อะไรที่เข้าท่าไหม ถ้าใช่
เราก็จบ
ปกติแล้วเราก็จบแล้ว
ผมไม่อยากบอกสิ่งที่เลื่อนลอยแบบนี้
แต่ถ้าฟังก์ชันมันต่อเนื่อง เราก็ทำแค่นั้นเอง
แต่หากเราใส่ 3 ลงในตัวเศษ เราได้ 3 ยกกำลังสอง
เท่ากับ 9 ลบ 18 บวก 9
ได้เท่ากับ 0
และตัวส่วนจะเป็น -- ลองดู, 3 ยกกำลังสอง ลบ
9 ได้ 0 เหมือนกัน
เราไม่ชอบที่มันเป็น 0/0
ปากกาผมเจ๊งอีกแล้ว
เราไม่ชอบ 0,0,0 ดังนั้น มันมีวิธี
ที่จะเขียนพจน์นี้ ให้มันเป็นพจน์
ที่ เมื่อเราหาค่าที่ x เท่ากับ 3 เราจะได้
สิ่งที่มันเข้าท่าไหม
อืม เมื่อไหร่ก็ตามที่ผมเห็นพหุนามสองตัวตรงนี้
และมันดู แค่ดูผ่าน ๆ ค่อนข้างง่าย
ที่จะแยกตัวประกอบ ผมอยากแยกตัวประกอบเพราะมันอาจ
มีองค์ประกอบเหมือนกับทั้งเศษและส่วน
และเราก็ลดรูปมันได้
สมมุติว่านี่ก็เหมือนกับ -- นั่น
ดูเหมือน x บวก 3 -- ไม่ใช่ ไม่ใช่ x ลบ 3 ต่างหาก
นี่คือ x ลบ 3
ที่จริงมันคือ x ลบ 3 ยกกำลังสอง แต่เราจะเขียน
มันเป็น x ลบ 3 คูณ x ลบ 3 ซึ่งเท่ากับ
แน่นอน x ลบ 3 ยกกำลังสอง
จากนั้นในตัวส่วน เรารู้วิธีแยกตัวประกอบเจ้านี่
มันคือ x บวก 3 คูณ x ลบ 3, จริงไหม
ดังนั้น ลิมิตเมื่อ x เข้าใกล้ 3 ของพจน์นี้ จึงเท่ากับ
ลิมิตเมื่อ x เข้าใกล้ 3 ของ
พจน์นี้
และแน่นอน มันไม่ได้เปลี่ยนความจริงที่ว่า
ฟังก์ชันนี้ หรือ พจน์นี้ นิยามไม่ได้
ที่ x เท่ากับ 3
แต่เราสามารถลดรูปมัน เพื่อจะหา
ว่ามันเข้าใกล้ค่าอะไรได้
หากเราสมมุติว่า x เป็นเลขอะไรก็ตามที่ไม่ใช่ 3 เราสามารถ
ตัดสองเทอมนี้ทิ้งไป เพราะมันไม่มีทางเป็น 0 จริงไหม
มันเป็น 0 เมื่อ x เท่ากับ 3 เท่านั้น -- ดังนั้นเราจึงตัดมัน
ในตัวเศษและตัวส่วนได้
และเราบอกว่า -- ผมไม่อยากทำอย่างเคร่งครัดนัก
แต่นี่คือวิธีที่เขาสอนกัน และผมว่าคุณคงเข้าใจ
หลักการ -- ว่านี่มันเหมือนกับ ลิมิตเมื่อ x เข้าใกล้
3 ของ x ลบ 3 ส่วน x บวก 3
ทีนี้ลองแทนค่า x ลงไปแล้วดูว่าเราได้อะไร
อืม ในตัวเศษ เราได้ 3 ลบ 3
เลยได้ 0 เหมือนเดิม
แต่ในตัวส่วนตรงนี้ เราได้ 6 จริงไหม
3 บวก 3 ได้ 6
ดังนั้นเราได้เลขดี ๆ ออกมาแล้ว
0 หรือ 6 นั่นเป็นจำนวนจริง เราได้ 0
0/6 เท่ากับ 0
และมันน่าสนใจทีเดียว
ตอนแรกที่เราทำ เราได้ 0/0 มา
แต่ตอนนี้เราได้ 0 มาเฉย ๆ หลังจากลดรูปแล้ว
แต่แน่นอน มันสำคัญที่ต้องจำไว้ว่า
พจน์นี้นิยามไม่ได้ ที่ x เท่ากับ 3
มันนิยามค่าได้ทุกที่ ยกเว้น หากเราวาดกราฟออกมา
ผมแนะนำให้คุณวาดดู คุณจะเห็นว่าเมื่อคุณเข้าใกล้
x เท่ากับ 3 มากขึ้นและมากขึ้นเรื่อย ๆ ค่าของ
พจน์นี้จะเท่ากับ 0
ผมรู้ว่าคุณคิดอะไรอยู่
นี่คือ 0/0
ทุกครั้งที่ฉันได้ 0/0 ตอนแรก มันจะกลายเป็น 0 ตอนจบ
ทุกครั้งที่ฉันแทนค่าลงในพจน์หรือเปล่า
ลองดูกัน
ขอผมลบกระดานหน่อยนะ
สมมุติว่า นี่คือ -- ปากกาเสียอีกแล้ว -- ลิมิตเมื่อ x
เข้าใกล้ 1 ของ x ยกกำลังสอง ลบ x ลบ 2
ไม่ใช่สิ สมมุติว่า x ยกกำลังสอง บวก x ลบ 2
อย่างที่คุณเห็น ผมคิดทั้งหมดนี่ในหัว มัน
เลยผิดพลาดได้ง่าย ๆ
และทั้งหมดนั้นส่วนด้วย x ลบ 1
อีกครั้ง หากเราแค่แทนค่ามัน ลองดูว่า
เกิดอะไรขึ้นหาก x เท่ากับ 1
คุณจะได้ 1 ยกกำลังสองบวก 1 ได้เป็น 2 ลบ 2
คุณได้ 0/0
และอีกครั้ง เราได้ 0/0 แล้วเราต้องทำอะไรสักอย่าง
เพื่อให้ลดรูปมันลง
ลองแยกตัวประกอบข้างบนดู
มันก็คืออย่างเดียวกับ ลิมิตเมื่อ x เข้าใกล้ 1
นั่นคือ x ลบ 1 คูณ x บวก 2, จริงไหม
ผมว่าคุณคงพบว่าเมื่อคุณเห็น
ปัญหาลิมิตเยอะ ๆ ที่ถึงแม้ตัวประกอบข้างบนนี่ หากพจน์ข้างบน
นี่ มันแยกตัวประกอบยาก โอกาสที่
สิ่งที่อยู่ในตัวส่วนที่ทำให้ทั้งพจน์นนี้
นิยามไม่ได้ อาจจะเป็นตัวประกอบอันนี้ก็ได้
ดังนั้นบางครั้งคุณอาจได้เทอมซับซ้อนที่แยกตัวประกอบ
ได้ไม่ง่ายอย่างนี้ แต่มันเป็นจุดเริ่มต้นที่ดี
ในการเดาว่าตัวประกอบตัวนึงจะปรากฏอยู่ใน
พจน์ข้างล่างด้วย เพราะนั่นคือกลเม็ดในปัญหาพวกนี้
คือ การลดรูปพจน์ลงให้ง่ายขึ้น
และอีกครั้ง หากเราถือว่า x ไม่เท่ากับ 1
งั้นพจน์นี้จะไม่มีทางเป็น 0 และนี่ก็ไม่เป็น 0
ดังนั้นสองตัวนี้เลยตัดกันได้
และเมื่อเราได้มันมา มันก็เหมือนกับ ลิมิตเมื่อ
x เข้าใกล้ 1 ของ x บวก 2
ทีนี้มันก็ง่ายแล้ว
ลิมิตเมื่อ x เข้าใกล้ 1 ของ x บวก 2 คืออะไร
คุณก็แค่ใส่ 1 ลงไป แล้วได้ 3 นั่นเอง
นี่น่าสนใจดี
เมื่อเราพยายามแทนค่าพจน์ด้วย x
เท่ากับ 1 เราได้ 0/0
แต่ในตัวอย่างที่แล้ว เราพบว่าเมื่อเราลดรูป
และแทนค่ามันได้ 0 ส่วนในตัวอย่างนี้ มันออกมาเป็น 3
และผมแนะนำว่า หากคุณมีเครื่องคิดเลขที่วาดกราฟได้
ลองวาดกราฟพวกนี้ที่เราคิดอยู่ดู และดูว่า
มันจริงไหม ว่าลิมิตที่คุณหา
เช่น เมื่อ x เท่ากับ 1 มันเข้าใกล้
ค่าลิมิตตามที่เราแก้ได้หรือเปล่า
และลองตั้งโจทย์ของคุณเองด้วยก็ได้
โอ้ย นั่นคือสิ่งที่ผมทำอยู่
และคุณควรพิสูจน์ด้วยตัวเองนะ
ลองดูอีกข้อนึง
ลองทำอันที่ผมว่าน่าสนใจกันดู
ตัวอย่างเช่น ลิมิตเมื่อ x เข้าใกล้อนันต์ คืออะไร
ลิมิตเมื่อ x เข้าใกล้อนันต์ของ สมมุติว่า x
ยกกำลังสองบวก 3 ส่วน x ยกกำลังสาม
วิธีที่ผมคิดปัญหาพวกนี้เมื่อมันเข้าใกล้อนันต์ ก็
แค่คิดว่าเกิดอะไรขึ้นหากคุณ
ให้ค่า x โตมาก ๆๆๆๆ
และวิธีการขี้โกงคือว่า หากคุณมี
เครื่องคิดเลข หรือแม้คุณจะไม่มีเครื่องคิดเลข คุณก็แค่
แทนค่าเลขโต ๆ ลงไป
ดูว่าเกิดอะไรขึ้นเมื่อ x เท่ากับหนึ่งล้าน ดูว่าเป็นยังไง
เมื่อ x เป็นพันล้าน ดูว่าเป็นยังไงเมื่อ x เป็นล้านล้าน
ผมว่าคุณคงเข้าใจแล้วล่ะ
คุณจะเห็นว่า -- หากมันมีลิมิต คุณจะ
เห็นว่ามันกำลังเข้าใกล้อะไร
แต่วิธีที่ผมคิดนี้ ในตัวส่วน
เทอมที่โตเร็วที่สุดขึ้นตรงนี้ คือ x ยกกำลังสองตรงนี้
นี่คือเทอมที่โตเร็วที่สุดในนี้
ในตัวส่วน เทอมที่โตเร็วที่สุดคือตัวไหน
อืม ในตัวส่วน เทอมที่โตเร็วที่สุด
คือ x ยกกำลังสาม
แล้วอะไรโตเร็วกว่ากัน ระหว่าง x ยกกำลัง
สาม กับ x กำลังสอง
ใช่แล้ว x ยกกำลังสามจะโตเร็วกว่า
x ยกกำลังสองเยอะเลย
ดังนั้นในตัวส่วนนี้ เมื่อคุณให้ x โตขึ้น โตขึ้น โตขึ้น
มันจะโตเร็วกว่าตัวเศษมาก
คุณคงนึกภาพออกเมื่อตัวส่วนโตเร็วกกว่า
ตัวส่วนมาก ๆๆๆๆ เมื่อคุณใช้เลขโตขึ้นเรื่อย ๆ
คุณจะได้เศษส่วน
ที่น้อยลง น้อยลง น้อยลง จริงไหม
มันจะเข้าใกล้ 0
และเมื่อคุณไปถึงอนันต์ มันจะเข้าใกล้ 0
ผมรู้ว่าผมค่อนข้างเล่นกลไปหน่อย แต่นี่คือ
วิธีที่คุณใช้คิดเรื่องนี้
อีกวิธีที่นึงที่คุณทำได้ คือ คุณอาจ
หารเศษส่วนนี้
คุณสามารถหารพจน์เศษส่วนนี้ แล้ว
จะได้อะไรประมาณว่า 1/x บวก อะไรสักอย่าง กับอะไรสักอย่าง
กับอะไรอีกอย่าง แล้วคุณจะเห็นว่า โอ้ ลิมิตเมื่อ x
เข้าใกล้อนันต์ของ 1/x เป็น 0 เช่นกัน
ลองทำดูกัน
ผมจะทำเร็ว ๆ ให้คุณงงเล่นนะ
ลิมิตเมื่อ x เข้าใกล้อนันต์ของ 3x ยกกำลังสอง บวก
x ส่วน 4x ยกกำลังสอง ลบ 5
ปัญหาพวกนี้บางทีชวนสับสน แต่บางที
มันก็ง่ายจริง ๆ
คุณแค่ต้องคิดว่าเกิดอะไรขึ้นเมื่อ คุณให้
x โตมากจริง ๆ
เมื่อคุณให้ x โตมาก ๆ เทอมเล็ก ๆ พวกนี้
พวกมันไม่โตเร็วเท่ากับเทอมใหญ่ ๆ
จึงไม่สำคัญอีกต่อไป ใช่ เพราะคุณกำลัง
ให้ x โตมากจริง ๆ
และในกรณีนี้ เทอมพวกนี้ไม่เกี่ยวอีกต่อไป แล้ว
เทอม x สองเทอมนี้ก็โตเร็วพอ ๆ กัน จริงไหม
และพวกมันโตตามขึ้นด้วย
อัตรา 3 ต่อ 4 นี่
ดังนั้น ลิมิตตรงนี้ ที่จริงมันง่ายมาก
มันก็คือ 3/4 นั่นเอง
ดังนั้นสิ่งที่คุณทำคือ คุณแค่หาว่า เทอมไหนโตเร็วที่สุด
ในตัวเศษ และเทอมไหนโตเร็วที่สุด
ในตัวส่วน แล้วจึงหาว่ามันเข้าใกล้ค่าไหน
หากมันหน้าตาเหมือนกัน มันก็ประมาณว่าตัดกัน
แล้วคุณก็บอกว่า ค่าลิมิตเข้าใกล้ คือ 3/4
นี่คือวิธีแบบไม่จริงจังในการหาค่า แต่มัน
ก็ให้คำตอบที่ถูกต้องเหมือนกัน
แล้วเจอกันในวิดีโอหน้าครับ