Tip:
Highlight text to annotate it
X
เราได้เรียนวิธีคูณ บวก
ลบ และกลับเมทริกซ์แล้ว
ตอนนี้เราจะเจาะลงไปดูว่าเราเอาเมทริกซ์
ไปทำอะไรได้บ้าง
จำไวว้ว่า เมทริกซ์นั้น ก็คือวิธีหนึ่งในการ
แสดงข้อมูล
และกฏทั้งหมดที่เราเรียนไป คุณอาจมองว่า
มันเป็นกฏที่มนุษย์สร้างขึ้น
มันไม่มีกฏพื้นฐานในธรรมชาติที่บอกว่าเมทริกซ์
จะต้องเอามาคูณแบบที่เราเรียนอยู่
แต่ผมว่าคุณจะเห็นเองเมื่อเราเรียนการเอาไปใช้
ว่าวิธีที่เรานิยามโอเปอเรชันของเมทริกซ์นั้น
มีประโยชน์ทีเดียว
ลองกลับไปที่วิชาพีชคณิต 1 หรือ 2
ผมจำไม่ได้แล้วว่าคุณเรียนเรื่องนั้นเมื่อไหร่
แต่ลองกลับไปที่เรื่องสมการเชิงเส้น
สมการเชิงเส้นคืออะไร
ระบบสมการเชิงเส้น
สมมุติว่าคุณมีเส้นตรงสองเส้น แล้วอยากรู้ว่า
มันตัดกันตรงไหน
คุณอาจมี อย่างเช่น -- ขอผมคิด
ตัวอย่างหน่อย -- 3x บวก 2y
เท่ากับ 7
จากนั้นคุณมี ลบ 6x บวก 6y เท่ากับ -- ผม
ต้องคิดมันในหัวด้วยเพื่อที่จะได้เลข
ออกมาสวยหน่อย -- เท่ากับ 6
ผมคิดว่ามันคงใช้ได้แหละ
แล้วปัญหานี้ที่สุดแล้วคืออะไร
อันนี้เป็นเส้นตรงเส้นหนึ่ง และนี่เป็นอีกเส้นนึง
คุณต้องหาว่ามันตัดกันตรงไหน
และหาคุณวาดเส้นตรงสองเส้นนี่--
ลองวาดเลยดีกว่า
เพราะนี่เป็นเรื่องของความเข้าใจจริง ๆ และเราจะ
เห็นว่ามันเกี่ยวกับโลกของเมทริกซ์อย่างไร
คำว่า "โลกของเมทริกซ์" เพิ่งมีความหมายใหม่
หลังปี 1999 นี่เอง
เอาล่ะ หากนั่นคือแกนพิกัดของผม นี่คืออะไร
ผมต้องเขียนทุกอย่างในรูป y เท่ากับ mx
บวก b ก่อนให้เห็น -- แล้วสมการนี่คืออะไร
มันคือ y เท่ากับ 3/2 x บวก 7/2
แล้ว 7/2 เป็นเท่าไหร่
มันคือ 3 1/2 อะไรประมาณนั้น
ดังนั้นหากมันคือ 7/2 เส้นตรงนี้มีความชันเป็น 3 1/2
ดังนั้นมันจะชันกว่าเส้นตรงความชัน 1 อยู่หน่อย
มันจะออกมาหน้าตาประมาณนั้น
นี่คือเส้นตรงนั่น
จากนั้นเส้นตรงนี้จะหน้าตาเป็นอย่างไร
ผมจะใช้อีกสีนึง
มันจะดูเหมือน -- มันก็เหมือนกัน --
โอ้ คุณรู้ไหม
ผมทำผิดแหละ
เพราะเส้นตรงนี้ ผมเพิ่งรู้ ว่ามันเท่ากับ
ลบ 3x บวก 7/2
เพราะหากคุณย้ายนี่ไปไว้อีกฝั่ง มันจะกลายเป็น
ลบ 3x หารด้วย 2 ดังนั้นมันต้อง
ลาดลง
มันจะหน้าตาประมาณนี้
มันจะลาดชันกว่าเส้นที่
มีความชันเท่ากับลบ 1 ผมแค่กะเอานะ
เส้นตรงนั้นจะดูหน้าตาอย่างนั้น
ทีนี้เส้นนี้ มัันจะเท่ากับ y -- ผมแค่เขียนมันใหม่ --
y เท่ากับ x บวก 1 ถ้าผมไม่ผิด
ใช่
เพราะนี่ไปอยู่อีกข้างนึง
หารทุกตัวด้วย 6
y เท่ากับ x บวก 1 ดังนั้นจุดตัดแกน y จะเป็น -- เราบอก
ว่านี่คือ 3 กับ 1/2 ดังนั้นบางทีหากนี่คือ 1
และมันมีความชันเท่ากับ 1
มันก็จะออกมาเป็นแบบนี้
และหากคุณแก้ระบบสมการออกมา คุณก็
กำลังหาค่า x และ y ที่สอดคล้อง
กับทั้งสองสมการนี้
เส้นสีม่วงนี้แสดงค่า x และ y ทั้งหมด
ที่สอดคล้องกับสมการเส้นตรงอันแรก
และเส้นสีเขียวแสดงค่า x กับ y ทั้งหมดที่
สอดคล้องกับสมการที่สอง
และแน่นอนว่าที่ที่มันตัดกัน แสดง
ค่า x และ y เฉพาะที่สอดคล้องกับทั้งสองสมการ
นั่นคือที่ราเคยทำในวิชาพีชคณิต 1
เราได้แก้สมการทั้งสองมาแล้ว
เราอาจแก้ด้วยการแทนค่า หรือเราสเกล
สมการแล้วบวกกัน ฯลฯ
อย่างที่เห็น ที่สุดแล้วมันก็คือสิ่งที่
เราเรียนในเรื่อง Gauss-Jordan elimination
มันเหมือนกันเป๊ะ
ต่างกันแค่ตอนที่เราทำ Gauss-Jordan elimination นั้น เรา
เขียนในรูปที่ต่างออกไปหน่อย
แต่ผมว่าคุณคงรู้แล้ว
แต่ลองมาทำในโลกของเมทริกซ์ดูบ้าง
เราจะเขียนปัญหานี้ในรูปของเมทริกซ์อย่างไร
เราสามารถเขียนมันอย่างนี้ เราจะใช้เวลาหน่อย
ในการพิสูจน์ให้เห็นว่า ที่จริงแล้วมันหมายถึง
สิ่งเดียวกัน
หากคุณนิยามเมทริกซ์ตามที่เรานิยาม
ในเรื่องการคูณ
คุณสามารถนิยามปัญหานี้เป็น 3, ลบ 6, 2, 6
ผมแค่เอาสัมประสิทธิ์ 3, ลบ 6, 2, 6 มา
หากผมเอามาคูณกับ เวกเตอร์
คอลัมน์เมทริกซ์ x y
หากผมตั้งให้มันเท่ากับเวกเตอร์คอลัมน์
เมทริกซ์ 7,6
ตอนนี้คุณอาจอยากหยุดแล้วลองคูณมัน
ออกมา ตามวิธีที่เราเรียน
เรื่องการคูณเมทริกซ์ไป
แล้วคุณจะเห็นว่าได้ออกมาเหมือนกัน
แต่ผมจะทำให้ดูตอนนี้เลย เผื่อคุณไม่อยาก
ทำเอง
งั้นลองคูณเมทริกซ์สองตัวนี้กัน
ลองคูณเมทริกซ์นี้ดูว่าเกิดอะไรขึ้น
แล้วคุณต้องทำอะไร
คุณเอาข้อมูลแถวมาจากเมทริกซ์แรก ข้อมูล
คอลัมน์จากเมทริกซ์ที่สอง
และนี่คือ เมทริกซ์ผลคูณ
มันบอกว่า 3 คูณ x บวก 2 คูณ y ได้เท่ากับ 7
นั่นตรงกับที่เราเขียนตอนแรก
3 คูณ x บวก 2 คูณ y ได้เท่ากับ 7
เช่นเดียวกัน หากคุณคูณแถวล่าง คุณจะ
ได้ลบ 6 คูณ x บวก 6 คูณ y เท่ากับ 6
หากมันทำให้คุณงง ลองกลับไปดู
ว่าเราคูณเมทริกซ์อย่างไร
แต่หากคุณคูณมันออกมา คุณจะได้สมการ
เดียวกันเลย
หวังว่าคุณคงเข้าใจแล้วว่ามันเป็นแค่อีกวิธีนึง
ในการแสดงปัญหานี้
แม้ว่าเราจะกำจัดเครื่องหมาย
บวกลบทั้งหลาย
แต่แน่นอนคุณต้องรู้วิธีการเขียนแบบนี้
แต่ทำไมมันถึงมีประโยชน์ล่ะ
ทำไมการเขียนแบบนี้ถึงมีประโยชน์
ลองเรียกเมทริกซืนี้ว่า a
และเรียกเวกเตอร์นี้ว่า x
นี่ไม่ใช่ตัวแปรธรรมดา
มันคือเวกเตอร์
บางทีเราควรทำตัวหนา หรือไม่ก็ใส่สัญลักษณ์เวกเตอร์
อะไรพวกนั้น
ช่างเถอะ
คุณจะเห็นเองในหนังสือเรียน
มันตัวหนาเลยล่ะ
จากนั้นเราจะเรียกเวกเตอร์นี้ว่า b
และสัญลักษณ์โดยทั่วไป -- ถ้าผมจำไม่ผิด -- คือ
ว่าอะไรก็ตามที่เป็นเมทริกซ์หรือเวกเตอร์จะเป็นตัวหนา
และเมทริกซ์ที่ไม่ใช่เวกเตอร์ ที่มีไดเมนชัน
นึงมีขนาดมากกว่าหนึ่ง
มันจะเป็นตัวพิมพ์ใหญ่
ขณะที่ตัวพิมพ์เล็กใช้แทนเวกเตอร์
ดังนั้นนี่คือเมทริกซ์ แต่มันก็เป็นเวกเตอร์ด้วย
นั่นคือสาเหตุที่มันเป็นตัวพิมพ์เล็ก
และนั่นคือสาเหตุที่อันนี้เป็นตัวพิมพ์ใหญ่
นั่นเป็นแค่ข้อตกลงร่วมกัน
ดังนั้นสมการนี้อยู่ในรูป ax เท่ากับ b เมื่อ a คือ
เมทริกซ์นี้ x คือเวกเตอร์นี้ -- หรือเมทริกซ์นี้ เหมือนกัน และ
b คือเวกเตอร์คอลัมน์
แล้วมันให้อะไรเรา
จะเกิดอะไรขึ้นหากเรารู้อินเวอร์ส
ที่จริง ขอผมถอยกลับมาก่อน
หากพวกนี้เป็นตัวเลขทั้งหมด เราจะทำยังไง
หากผมให้สมการมาหนึ่งสมการ ax เท่ากับ b
คุณจะแก้มันยังไง
คุณก็แค่หารทั้งสองข้างของสมการด้วย a
หรืออีกวิธีหนึ่งคือ คุณคูณทั้งสองข้าง
ของสมการด้วยอินเวอร์สของ a
นั่นคือคุณกำลังบอกว่า 1/a คูณ ax เท่ากับ
1/a คูณ b
จากนั้นมันก็ตัดกัน แล้วได้ x เท่ากับ
b/a
นี่คือที่เราทำในสมการเชิงเส้น
ง่าย ๆ เดิม ๆ
แล้วคุณจะทำยังไงในกรณีนี้
มันมีการหารในเมทริกซ์ไหม
ผมจะบอกคำตอบกับคุณตอนนี้แล้ว
อะไรเหมือนกับการคูณด้วยอินเวอร์ส
มันก็คือการคูณด้วยอินเวอร์สนั่นแหละ
งั้นถ้ารู้ว่าอินเวอร์สของเมทริกซ์คืออะไร
เราก็แค่คูณทั้งสองของ
สมการด้วยอินเวอร์ส
และจำไว้ว่า ลำดับนั้นสำคัญ
มันไม่เหมือนกับตอนคุณแก้สมการเชิงเส้น
คูณสามารถคูณ 1/a ทางด้านนี้
หรือไม่ก็ทางด้านขวานี่ก็ได้
แต่ไม่ใช่ในกรณีนี้
จำไว้ว่า ผมใส่มันข้างหน้าตัวเลขทั้งสองกรณี
ดังนั้นคุณต้องคูณทางด้านหน้าตัวเลขทั้งสองกรณี
แต่ถ้าเรารู้อินเวอร์ส ถ้าอินเวอร์สมีอยู่
แล้วเราคูณทั้งสองข้้าง -- อาจบอกว่าทางซ้าย
ของทั้งสองข้างของสมการด้วยอินเวอร์ส
a อินเวอร์สคูณ a คูณเวกเตอร์ x เท่ากับ a อินเวอร์ส
คูณ b
ที่ผมทำคือผมเอาก้อนนี้มา แล้วคูณทั้งสอง
ข้างด้วย a อินเวอร์ส
แล้ว a อินเวอร์สคูณ a ได้เท่าไหร่
มันก็แค่ identity matrix
นั่นคือ identity matrix คูณ x เท่ากับ
a อินเวอร์ส b
และฝั่งนี้ก็แค่ x
identity matrix คูณมทริกซ์ใด
ก็ได้เมทริกซ์นั้น
ดังนั้นมันจะเท่ากับเมทริกซ์ x หรือเวกเตอร์ x
เท่ากับ a อินเวอร์ส b
ดังนั้นหากคุณได้สมการเชิงเส้นมา หากคุณ
รู้อินเวอร์สของเมทริกซ์นี่ ถ้าหากหา x กับ y คุณก็แค่
ต้องคูณเลขนี้ด้วยอินเวอร์ส
คุณอาจบอกว่า แซล มันหนักอยู่นะ
เพราะนี่มันเป็นสมการเชิงเส้นง่าย ๆ
ทำไมฉันต้องไปนั่งหาอินเวอร์ส
แล้วค่อยเอาอินเวอร์สมาคูณกับตัวเลขนี่ล่ะ
ที่จริงผมก็เห็นด้วยอยู่
สำหรับระบบสมการขนาด 2 คูณ 2 มันง่ายกว่า
ที่จะแก้แบบที่คุณทำในพีชคณิต 1 หรือพีชคณิต 2
แต่หากคุณแก้สำหรับ 2 คูณ 3 การหาเมทริกซ์
ก็ยังยากกว่าสำหรับ 3 คูณ 3
มันยังยากอยู่
แต่เมื่อคุณยุ่งกับตัวเลขจำนวนมากขึ้น บางคร้้ง
-- อืม การหาเมทริกซ์อาจยากไปด้วย --
แต่ที่จริง ที่ที่คุณต้อง
ใช้แรงเยอะคือ สมมุติคุณมีสมการเชิงเส้น
หลายชุดที่ต้องแก้
และทางซ้ายยังคงเหมือนเดิม
แต่คุณเปลี่ยนทางขวามือไปเรื่อย ๆ
เช่นคุณมี ax เท่ากับ b
แล้วก็มีอีกระบบหนึ่งบอกว่า ax เท่ากับ c
แล้วก็ ax เท่ากับ d
และเลขพวกนี้เปลี่ยนไปเรื่อย ๆ
ในขณะที่เลขพวกนี้อยู่เหมือนเดิม
มันต้องเหนื่อยหน่อยในการหาอินเวอร์ส
แต่ต่อไปที่คุณหาคำตอบของสมการชุดใหม่
คุณก็แค่คูณทางขวาอันใหม่ด้วยอินเวอร์ส
ที่มี แล้วก็ได้คำตอบเลย
และนั่นถือว่าคุ้มเมื่อเรามอง
มันในแง่นี้
แต่เอาล่ะ ผมแค่อยากแสดงให้เห็น
ว่ามันคือสิ่งเดียวกัน
ลองมาแก้มันโดยใช้
ความรู้เรื่องเมทริกซ์กัน
ขอผมลบตรงนี้หน่อย ผมรู้ว่าผมใช้เวลาเยอะ
แต่หวังว่าผมจะไม่ทำให้คุณเบื่อนะ
งั้นผมจะเก็บตรงนี้ไว้ เพราะผมว่า
มันดีที่มีภาพให้เห็นว่า
เรากำลังทำอะไรอยู่
จำไว้เสมอว่ามันเกิดอะไรขึ้น
เอาล่ะ a อินเวอร์สเป็นเท่าไหร่
เริ่มแรก a อินเวอร์สเท่ากับ 1 ส่วน
ดีเทอร์มีแนนต์ของ a คูณแอดจอยต์ของเมทริกซ์นี้
ผมไม่อยากให้ศัพท์ยุ่งยากพวกนั้น แต่มัน
คืออะไรกันบ้าง
2 คูณ 2 มันง่ายหน่อย
คุณแค่สลับสองเทอมนี้ คุณจะได้ 6 กับ 3
จากนั้นคุณก็ใส่เครื่องหมายลบให้สองเทอมนี้
นั่นคือลบ 6 กลายเป็น 6
ส่วน 2 กลายเป็น ลบ 2
แล้วดีเทอร์มีแนนต์ของ a เป็นเท่าไหร่
ดีเทอร์มีแนนต์ของ a เท่ากับ นี่คูณนี่ ลบ นี่
คูณนี่
นั่นคือ 3 คูณ 6
3 คูณ 6 ได้ 18 ลบ นี่คูณนี่
6 คูณ 2 ได้ 12
นั่นคือลบ 6
นั่นคือ ลบ 12
จะได้ ลบ ลบ 12
มันกลายเป็นบวก
ดังนั้น 18 บวก 12 ได้เท่ากับ 30
แล้ว a อินเวอร์สจะเท่ากับเท่าไหร่
1 ส่วน 30 คูณกัับอันนี้
ดังนั้น a อินเวอร์สเท่ากับ -- เราเก็บ 1/30 ไว้
ข้างนอกได้
มันอาจทำให้ง่ายขึ้น
ที่จริงผมจะใส่มันลงไป --
a อินเวอร์สเท่ากับอะไรนะ
มันหารด้วย 30
นั่นเท่ากับ 1/5, ลบ -- ที่จริงผมอยากเก็บ
มันไว้ข้างหน้า เพราะมันจะทำให้
การคูณทีหลังง่ายขึ้น
แต่ช่างเถอะ เราได้เท่ากับ 1/30 คูณ 6, ลบ 2, 6, 3
นั่นคือ a อินเวอร์ส
ทีนี้มาแก้หา x กับ y กัน
เราบอกว่า x กับ y เท่ากับ a อินเวอร์สคูณ b
เราบอกว่า x -- วิธีนึงที่ใช้เขียน x คืออย่างนี้
x ก็คือเวกเตอร์นี่
x กับ y
อย่าเพิ่งงงนะ x นี่ไม่เหมือนกับ x นั่น
แม้ว่าผมจะเขียนมันเหมือนกัน
หากผมพิมพ์มัน ผมจะทำตัวนี้หนา ๆ
เพื่อให้คุณรู้ว่ามันเป็นเวกเตอร์
บางทีผมควรใส่เครื่องหมายเวกเตอร์ด้วย
ไม่รู้สิ
คุณอาจลองทำอะไรสักอย่าง
มันเท่ากับ a อินเวอร์สคูณนี่
นั่นคือ 1/30
ผมทำอย่างนั้นไว้สำหรับคิดเมทริกซ์
ผมไม่ได้หารทุกอย่างด้วย 30 เพื่อให้คูณเมทริกซ์
ได้ง่ายหน่อย
ลบ 2, 3, คูณ 7/6
แล้วมันเท่ากับเท่าไหร่
มันเท่ากับ 1/30 คูณ -- ผมรู้ผมกำลังยัด
มันอยู่ -- ลองดู
6 คูณ 7 ลบ 2 คูณ 6
6 คูณ 7 ได้ 42
ลบ 2 คูณ 6 ได้ ลบ 12
นั่นเท่ากับ 30
จากนั้น 6 คูณ 7 บวก 2 คูณ 6
6 คูณ 7 ได้เท่ากับ 42
บวก 2 คูณ 6
จะได้ 42 บวก 12 ได้ 50
ถูกหรือเปล่า
6 คูณ 7 -- โอ้ ผมขอโทษ
นี่คือ 3
มิน่า ผมถึงได้งง
เห็นไหม การเขียนดี ๆ นั้นสำคัญนะ
มันคือ 6 คูณ 7 ได้ 42 บวก 3 คูณ 6
ดังนั้นได้ 42 บวก 18 เท่ากับ 60
และแน่นอนคุณต้องหารทั้งคู่ด้วย 30
แล้วคุณจะได้คำตอบ x y
ผมจะเขียนไว้ตรงนี้
ผมไม่อยากลบทุกอย่างไป
ดังนั้นเราได้ x y เท่ากับ -- หารทั้งคู่ด้วย 30 --
เท่ากับ 1 และ 2
ดังนั้นมันบอกเราว่า สมการเส้นตรงสองอันนี้
ตัดกันที่จุด x เท่ากับ 1 และ y เท่ากับ 2
มันอาจดูเป็นงานหนัก แต่
นั่นเป็นเพราะผมต้องใช้เวลาอธิบายทุกอย่าง
แต่หากคุณแค่ทำมัน เขียนมันอย่างนี้
หาอินเวอร์ส และคูณ มันจะ
ไม่ใช้เวลาคุณมากนักหรอก
และผมอยากให้คุณลองทำเป็นการบ้าน
เอาล่ะ แล้วพบกันใหม่ในวิดีโอหน้า
ในวิดีโอหน้า เราจะทำปัญหาเดิมนี้
แต่เราจะเห็นว่าข้อมูลนี้แสดง
ปัญหาที่อย่างนึง
เจอกันครับ