Tip:
Highlight text to annotate it
X
-
ในวิดีโอที่แล้ว เราได้เรียนนิดหน่อยเรื่อง
ค่าคาดหวังของตัวแปรสุ่ม และเราเห็นว่า
มันก็คือค่าเฉลี่ยประชากร -- เหมือนกันเลย
แต่ตัวแปรสุ่มนั้น, เนื่องจากประชากรเป็น
อนันต์, คุณไม่สามารถเอาทุกเทอมมารวมกัน
แล้วหาค่าเฉลี่ยได้
สิ่งที่คุณต้องทำคือบอกว่า โอเค, แต่ละเทอมเกิดขึ้น
ด้วยความถี่ หรือความน่าจะเป็นค่าหนึ่ง แล้วคุณก็หา
ผลรวมแบบถ่วงความน่าจะเป็น
ซึ่งเราเห็นในวิดีโอก่อนแล้วว่า มันเหมือนกับ
การบวกทุกอย่างเข้าด้วยกัน แล้วหารด้วยจำนวนของ
ทั้งหมด, ยกเว้นแต่ว่า วิธีนั้นใช้ได้ใน
กรณีที่จำนวนเป็นอนันต์ อย่างที่ตัวแปรสุ่ม
เป็นนั่นเอง
เพราะคุณสามารถทดลอง
เพื่อหาค่าตัวแปรสุ่มได้เรื่อยๆ
แล้ว, เราจะมาคำนวณค่าคาดหวัง
สำหรับการกระจายตัวแบบทวินาม อย่างที่เราศึกษาไป
โดยเฉพาะอันที่มาจากการโยนเหรียญ
ในวิดีโอนี้ เราจะหาสูตรทั่วไปสำหรับค่าเฉลี่ย,
หรือก็คือค่าคาดหวังของการกระจาย
ตัวแบบทวินามกัน
แล้วถ้าเราบอกว่า ตัวแปรสุ่ม X, เท่ากับ
จำนวนของ -- เราเรียกมันว่า ความสำเร็จ
-
จำนวนครั้งที่สำเร็จ มีควาามน่าจเป็น p จากการลอง n ครั้ง
ผมทำให้มันทั่วไปหน่อยตรงนี้
ผมหมายถึงว่า เราบอกได้ว่าจำนวนครั้งที่สำเร็จ คือได้หัว
มีความน่าจะเป็น 0.5 โยนไป 10 ครั้ง
นั่นก็เหมือนกับอันนี้, ผมแค่
ทำให้มันทั่วไปกว่า
ตอนนี้, เราจะหากันว่า
ค่าคาดหวังของอันนี้เป็นเท่าไหร่
และเราเห็นว่า ถ้าคุณหาการกระจายของ
ความน่าจะเป็นสำหรับตัวแปรสุ่มนี้ คุณจะได้
การกระจายตัวแบบทวินาม ที่ดูเหมือน
โค้งรูประฆัง
แล้วเราจะศึกษาเรื่องโค้งระฆังต่อไป
แต่ก่อนหน้าที่ผมจะทำให้ดู
ผมจะให้คำตอบก่อน
เพราะคำตอบนั้น, ถ้าคิดดู, มันก็ตรง
ตามสัญชาตญาณดี
ค่าคาดหวังของตัวแปรสุ่มนี้ คือ n คูณ p
หรือบางคนเขียนว่า p คูณ n
ขอผมทำให้มันดูจับต้องได้หน่อยนะ
ถ้าผมบอกว่า X คือ -- ขอผมใช้อีกสีนะ
ลองดู, X คือจำนวนครั้งที่ผมยิงลงตะกร้า
ผมหมายถึงบาสเกตบอล, นะไม่ใช่สานตะกร้า
จำนวนลูกที่ผมยิงได้หลังจาก 10 ครั้ง โดยผม
มีความน่าจะเป็นในการยิงลงครั้งใดๆ -- ไม่รู้สิ -- 40%
เรารู้ว่าจำนวนลูกที่ผมคาด
ว่าจะยิงลงหลังจาก 10 ครั้ง
เราก็รู้ว่าจำนวนลูกที่คาดกว่าจะยิงลงหลังกจา
ผ่านไป 0 ครั้ง, โดยแต่ละครั้งผมมีโอกาสลง 40% -- ทั้งหมดที่ผม
ต้องทำ คือคูณความน่าจะเป็น นี้ด้วย
จำนวนลูกที่ผมยิง
ผมก็คูณความน่าจะเป็นกับจำนวนครั้ง
หรือจำนวนตะกร้าที่ผมยิง, ซึ่งควรเท่ากับ 4
ผมรู้ ผมบอกว่า -- คุณไม่ควรมองว่า
ค่าคาดหวัง คือจำนวนลูกที่คุณคาด
ว่าจะได้ เพราะบางครั้ง การกระจายตัว
ของความน่าจะเป็นทำตัวประหลาด
แต่ในการกระจายตัวแบบทวินาม คุณสามารถมอง
มันแบบนั้นได้
นั่นก็คือจำนวนครั้งที่คุณคาดว่าจะทำได้
หรือคุณอาจมองมันเป็นผลลัพธ์ที่น่าจะเกิดขึ้นมากที่สุด
และถ้าคุณมีโอกาสยิงลง 40%, คุณยิง
10 ครั้ง, ผลลัพธ์ที่น่าจะเป็น คือ คุณยิงได้ 4 ครั้ง
คุณอาจยิงได้ 6 ลูกหรือ 3 ลูก, แต่นี่
จะเป็นผลที่น่าเกิดขึ้นที่สุด
และในหัวผม, วิธีที่ผมคิด, วิธีที่ตรง
ตามสัญชาตญาณคือว่า ทุกครั้งที่ยิง คุณมีโอกาส 40%
ที่จะยิงลง
คุณจึงบอกได้ว่า คุณยิงได้ 40% ของจำนวนที่ยิง
แล้วถ้าคุณยิง 10 ครั้ง คุณควรยิงลง 4 ลูก
นั่นก้คือวิธีคิดอย่างหนึ่ง และนั่นคือสาเหตุที่
มันตรงกับสัญชาตญาณ
แต่ตอนนี้, ลองมาพิสูจน์ด้วยตัวเองว่า
นี่เป็นจริง สำหรับตัวแปรสุ่มใดๆ ที่บรรยายด้วย
การกระจายตัวแบบทวินาม
ในการกระจายตัวทวินาม ความน่าจะเป็นคืออะไร -- ถ้า
ผมบอกว่า, ความน่าจะเป็นที่ X เท่ากับ k คืออะไร?
ผมรู้ว่ามันซับซ้อนหน่อยบางที
แต่ผมแค่บอกว่า, ความน่าจะเป็น
อย่างเช่นตัวอย่างบาสเกตบอล
คุณรู้ไหม, ความน่าจะเป็นที่ผม --
k อาจเป็น ยิงลง 3 ครั้งหรืออะไรแบบนั้น
นั่นคือสิ่งที่เรากำลังพูดถึง
และสิ่งที่เราเรียนไปคือว่า, ถ้าเรายิง n ครั้ง เราจะ
เลือก k อันขึ้นมา
และเราทำมาหลายครั้งแล้วในวิดีโอก่อนๆ
แล้วเราคูณมันด้วยความน่าจะเป็นที่
หนึ่งในผลลัพธ์เหล่านั้นเกิดขึ้น
และถ้าผมยิง k ครั้ง, มันคือความน่าจะเป็นที่ผม
ยิงลง 1 ครั้ง, ซึ่งก็คือ p ยกกำลัง k
p คูณตัวเอง k ครั้ง
นั่นคือความน่าจะเป็นที่ผมยิงได้ k ครั้ง
แล้วที่เหลือผมต้องยิงพลาด
แล้วความน่าจะเป็นที่พลาดคือ 1 ลบ p
แล้วพลาดไปกี่ครั้ง?
ถ้าผมยิงได้ k ครั้ง, ที่เหลือผมต้องเสีย
ผมจะยิงพลาดไป n ลบ k ครั้ง
ดังนั้นในการกระจายตัวแบบทวินามใดๆ
ที่คุณยิงได้ k ครั้ง
ตอนนี้เรารู้ว่า ค่าคาดหวัง, วิธีที่คุณคำนวณ
ค่าคาดหวังของตัวปรกสุ่ม คือคุณหา
ผลบวกแบบถ่วงความน่าจะเป็น
ผมไม่อยากทำให้คุณงงเกินไป และถ้าคุณ
เข้าใจวิดีโอนี้ถึงตอนนี้แล้ว, มันก็ดีพอแล้ว
คุณควรรู้สึกดีแล้ว
ตอนนี้มันจะเป็นเรื่องเทคนิคดมากขึ้น, แต่หวังว่า
คุณจะคุ้นเคยกับซิกม่า และเครื่องหมาย
ผลบวกด้วย
มันจะช่วยให้คุณรู้สึกสบาย
เวลาใช้สัมประสิทธิ์ทวินาม อะไรพวกนั้น
ลองกลับไป, ค่าคาดหวังคือ
ผลบวกถ่วงความน่าจะเป็นของแต่ละเทอมเหล่านี้
แล้วสิ่งที่คุณอยากทำ คือคุณเอาความน่าจะเป็น
ที่ X เท่ากับ k, คูณ k แล้วบวกมันเข้า
ทุก k ที่เป็นไปได้
แล้วผมจะเขียนมันอย่างไร?
ค่าคาดหวังของ X, ค่าคาดหวังของตัวแปรสุ่ม
ซึ่งบรรยายโดยการกระจายตัวแบบทวินาม --
เท่ากับผลบวกนี้
-
แล้วเราจะบวก k ทุกตัวที่เป็นไปได้
k เริ่มได้ตั้งแต่ 0 -- ในกรณ๊ของบาสเกตบอล, คือผม
ทำแต้มไม่ได้ -- ไปจนถึง n, ซึ่งหมายความว่าผมยิงได้ n ครั้ง
แล้วแต่ละเทอมคุณต้องคูร k, คือผลลัพธ์,
ผมยิงได้ k ครั้ง, คูณความน่าจะเป็น
ที่ผมยิงได้ k ลูก
แล้ว, ความน่าจะเป็นที่ผมยิงได้ k ลูกเป็นเท่าไหร่?
นั่นคือเจ้านี่ตรงนี้
มันก็คือ k คูณ n เลือก k คูณ p กำลัง k ลบ 1
ลบ p กำลัง n ลบ k
แล้วเราจะใช้พีชคณิต ทำพีชคณิตนิดหน่อย,
เรียกว่าพีชคณิตของซิกม่าก็ได้ ถ้าจะเรียกอย่างนั้น
การลดรูปอย่างแรกที่เราทำได้ คือว่า เรากำลังบวก
จาก k เท่ากับ 0 ถึง n
อย่งแรกตรงนี้ เรามี k เท่ากับ 0 ตรงนี้
นี่จะเป็น 0 ในเทอมแรก
เทอมแรกนี้เป็น 0, แล้วทั้งหมดนี่จะเป็น 0
แล้ว k เท่ากับ 0 ไม่มีผลอะไรกับผลบวก
เพราะทั้งหมดนี้จะเป็น 0
ขอผมเขียนลงไป เพราะผมว่า -- ผลบวกนี้
สามารถเขียนเป็น 0 คูณ n เลือก 0 คูณ p กำลัง 0 คูณ
1 ลบ p กำลัง n ลบ 0
บวก 1 คูณ n เลือก 1 คูณ p กำลัง 1 คูณ 1 ลบ
p กำลัง n ลบ 1
แล้วคุณก็ทำต่อไป, จนกระทั่งคุณ
ได้ k เท่ากับ n
มันก็คือ n เลือก n p กำลัง n, คูณ
1 ลบ p, n ลบ n
นั่นก็คือวิธีเขียนผลบวกนี่ตรงนี้อีกอย่างหนึ่ง
แล้วสิ่งที่ผมเพิ่งบอกคือว่า, เทอมแรก, ซึ่งก็คือเทอมนี้,
จะเท่ากับ 0 เพราะ k เท่ากับ 0
0 คูณอะไรก็ตามได้ 0
เราจึงลืมเทอมนั้นได้ แล้วเราเขียนพจน์นี้ใหม่ว่า
เป็นผลบวกนี่ตรงนี้
-
แล้วถ้าเราทำอย่างนั้น เราก็เขียน
เจ้านี่ใหม่ตรงนี้
ค่าคาดหวังของตัวแปรสุ่มเรา
เท่ากับผลบวกนี้
และเราไม่ได้บวกจาก k เท่ากับ 0 แล้ว, เรา
เริ่มจาก k เท่ากับ 1 ตอนนี้
จาก k เท่ากับ 1 ถึง n ของอันเดิม, k คูณ n เลือก
k คูณ p กำลัง k, คูณ 1 ลบ p, n ลบ k
ลองดูว่าเราทำอะไรได้จากตรงนี้
ที่เราทำถึงตอนนี้ คือเรากำจัดเทอมแรกได้ เพราะนั่นคือ
กลที่เราใช้เพื่อจัดรูปเจ้านี่
จนได้ผลที่เราอยากได้
ลองเขียนสัมประสิทธิ์ทวินามออกมา แล้วดูว่า
เราจะทำอะไรได้ไหม
โอ้, ลองดู
ไอพอดอยากซิงก์
ขอผมเอาออกนะ
เอาล่ะ, ผมอยู่ไหนแล้ว?
โอเค, นี่เท่ากับ -- ผมแค่เขียน
สัมประสิทธิ์ทวินามออกมา
k เท่ากับ 1 ถึง n
k คูณ -- เจ้านี่ตรงนี้คือ n แฟคทอเรียล ส่วน k
แฟคทอเรรียล ส่วน n ลบ k แฟคทอเรียล
คูณ p กำลัง k คูณ 1 ลบ p กำลัง n ลบ k
และตรงนี้ เราสามารถจัดรูปมันได้หน่อย
เพราะ k หารด้วย k แฟคทอเรียลเป็นเท่าไหร่?
บางทีผมอาจเขียนมันอีกแบบได้. k แฟคทอเรียล คือ
k คูณ k ลบ 1 คูณ k ลบ 2, ไปเรื่อยๆ, จน
กระทั่งคุณได้ 1
นี่คือ k แฟคทอเรียล
แล้ว k แฟคทอเรียล สามารถเขียนเป็น k คูณ k คูณ k ลบ 1 แฟคทอเรียล
มันคือ k คูณ, แล้วค่า k ลบ 1 คูณ
จำนวนที่น้อยกว่าลงไปทั้งหมด
ขอผมเขียนใหม่นะ
นี่สามารถเใหม่เป็น k คูณ k ลบ 1 แฟคทอเรียล
แล้วสาเหตุที่ผมทำอย่างนั้น เพราะผมจะได้ตัด
k นี่ออกจาก k นั้น
แล้วถ้าผมตัดกัน นี่ก็ทำให้ต้องเขียน
ทั้งหมดใหม่อีกที
ตอนนี้, ผมว่าคุณสามารถจัดรูปมัน, มันเท่ากับผลบวก
จาก k เท่ากับ 1 ถึง n ของ n แฟคทอเรียล ส่วน k
ลบ 1 แฟคทอเรียล
คูณ n ลบ k แฟคทอเรียล คูณ p กำลัง k คูณ 1 ลบ p
กำลัง n ลบ k
ลองทำการจัดรูปอีก
ตอนนี้, สิ่งที่ผมอยากทำคือ เราต้องรู้ว่า
เรากำลังอยากได้อะไร, จริงไหม?
นี่ควรลดรูปเหลือ n คูณ p
ลองดูว่าเราสามารถดึง n คูณ p ได้ไหม แล้วลองดูว่า
เราสามารถแปลงทุกอย่างเป็น 1 ได้ไหม,
ถ้าได้ก็จบ
เราก็เสามารถเขียน n แฟคทอเรียลใหม่ ด้วยกลดิมตรงนี้
n แฟคทอเรียล สามารถเขียนใหม่เป็น n ลบ 1 แฟคทอเรียล
ด้วยหลักการเดียวกัน
แล้ว p กำลัง k สามารถเขียนใหม่ได้เป็น p
คูณ p กำลัง k ลบ 1
แล้วเราสามารถแยก n นี่กับ p นี่ แล้วเราจะได้
มันเท่ากับ np คูณผลบวกจาก k เท่ากับ 1 ถึง
n ของ -- ลองดู
เราแยก n กับ p ออกมา
n ลบ 1 แฟคทอเรียล ส่วน k ลบ 1 แฟคทอเรียล คูณ
n ลบ k แฟคทอเรียล
คูณ p ยกกำลัง k ลบ 1
นั่นไม่ใช่ตัวส่วน
นั่นเป็นแค่เลขธรรมดา -- คูณ 1 ลย p กำลัง n ลบ k
เราใกล้ได้แล้ว
จำไว้, เราอยากได้ผลว่า ค่าคาดหวังของ
ตัวแปรเรา, และนั่นคือสิ่งที่เราอยากได้
นั่นควรเท่ากับอันนี้
แล้วเราจะได้คำตอบ ถ้าเราสามารถแสดงได้ว่า ทั้งหมด
นี่ตรงนี้เท่ากับ 1
ถ้าเป็นอย่างนั้น ผมจะทำการแทนตัวแปรง่ายๆ
ขอผมทำการแทนตัวแปร -- ไม่รู้สิ -- สมมุติว่า
a เท่ากับ k ลบ 1
และ b เท่ากับ n ลบ 1
แล้ว n ลบ k จะเท่ากับอะไร?
ลองดู
ถ้า a เท่ากับ k ลบ 1 แล้ว a บวก 1 เท่ากับ k
และตรงนี้, b บวก 1 เท่ากับ n, งั้น n ลบ k
จะเท่ากับเจ้านี่, a บวก 1 ลบเจ้านี่
ลบ b ลบ 1, พวกนี้ตัดกัน
ซึ่งเท่ากับ a ลบ b
ลองดูว่าเราจะจัดรูปอันนี้ได้ไหม
แล้วผลบวกทั้งหมดนี้ จะกลายเป็น np คูณผลบวก
จาก -- โอเค, เมื่อ k เท่ากับ 1, นี่ก็เหมือนกับ --
เมื่อ k เท่ากับ 1, a เท่ากับอะไร?
a เท่ากับ 0
จาก a เท่ากับ 0 -- ตอนนี้เมื่อ k เท่ากับ n,
a จะเท่ากับอะไร?
ถ้านี่เท่ากับ n, ถ้า k เท่ากับ n, แล้ว a
เท่ากับ n ลบ 1
เราก็จได้ a เท่ากับ, a เท่ากับ n ลบ 1
แต่ n ลบ 1 ก็เหมือนกับ b
เราจึงเขียนผลบวกใหม่ได้ตรงนี้
มันจะงงๆ หน่อย
คุณอาจหยุดแล้วคิดดูสักพัก
แต่ผมเพิ่งรู้ตัวว่าผมเลยเวลาแล้ว, ผมจะ
ทำต่อไปอีกหน่อย
แล้วเราได้ b เท่ากับ n ลบ 1
นั่นคือ b แฟคทอเรียล ส่วน k ลบ 1, เรา
ได้กำหนดไว้ว่ามันเท่ากับ a
นั่นคือ a แฟคทอเรียล
แล้วตรงนี้, n ลบ k ควรเป็น --
โอ้, คุณรู้ไหม?
ผมเขียนมันกลับกัน, n ลบ k เควรเท่ากับ b ลบ a
n ลบ k -- ใช่แล้ว
n คือ b บวก 1, มันจึงเป็น b บวก 1 ลบ a บวก 1
ลบ a, ลบ 1
1 ตัดกันแล้วคุณจะได้ b ลบ a
แล้ว n ลบ k จะกลายเป็น b ลบ a แฟคทอเรียล
แล้ว p กำลัง k ลบ 1 -- k ลบ 1 คือ p กำลัง a
แล้วคูร 1 ลบ p กำลัง n ลบ k
เราได้แสดงไปแล้วว่า n ลบ k นั้น
เท่ากับ b ลบ a
แล้วตรงนี้, เราก็เสร็จแล้ว -- เจ้านี่
ตรงนี้, นี่คืออะไร?
นี่คือความน่าจะเป็นของ -- ขอผมเขียน
มันในรูปที่ง่ายขึ้นหน่อย
นี่เท่ากับ np คูณผลบวกจาก a เท่ากับ 0 ถึง b
นี่คืออะไร?
นี่คือ b เลือก a
ผมมีของ b อย่างแล้วผมอยากเลือกมา a อย่าง,
มีกี่วธิีที่ผมจะเเลือกได้ -- แล้วคูณ p กำลัง a คูณ
1 ลบ p กำลัง b ลบ a
แล้วสิ่งนี้ตรงนี้คืออะไร?
นี่คือผลรวมการกระจายแบบ
ทวินามทุกตัว
คุณกำลังบอกว่า, ความน่าจะเป็น
ที่ a เท่ากับ 0 เป็นเท่าไหร่?
นี่คือความน่าจะเป็นของ a แต่ละค่าจริงไหม?
คุณบวกทั้งหมดเข้าด้วยกัน a ทุกตัวที่เป็นไปได้
ถ้าผมวาดการกระจายแบบเร็วๆ เลอะๆ แบบนี้
ถ้า a เท่ากับ 0 คุณได้ความน่าจะเป็นค่าหนึ่ง
แล้วมีโอกาสแน่นอน ว่า a เท่ากับ 1 แล้ว
ความน่าจะเป็น, มันจะเพิ่มขึ้น
มันเป็นเหมือนเส้นโค้งระฆัง อะไรแบบนั้น
เทอมนี่ตรงนี้คือแต่ละอัน
แท่งแต่ละอันพวกนี้ คุณบอกว่ามันแทน
เทอมแต่ละตัว
เมื่อ a เท่ากับ 0 มันคือเทอมนี้
เมื่อ a เท่ากับ 1 มันคือเทอมนี้
เมื่อ a เท่ากับ 2 มันคือเทอมนี้, ไปจนครบ b เทอม
แต่เรารวมมันเข้า, เรากำลังรวม
ความน่าจะเป็นทั้งหมด
เรากำลังรวมจากทุกค่าที่ตัวแปรสุ่ม
จะเป็นได้
แล้วถ้าเราแก้หาความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่ม
จะเป็นได้ทั้งหมด, หรือเรารวมค่าทุกค่า
นี่จะรวมกันเป็น 1
นี่ก็เหมือนบอกว่า นี่คือความน่าจะเป็นของหัว
บวกความน่าจะเป็นของก้อย
หรือคุณอาจใช้เรื่องการโยนเหรียญมาเปรียบเทียบ,
นี่คือโอกาสที่คุณจะได้หัวครั้งหนึ่ง บวก
ความน่าจะเป็นที่คุณได้หัว 2 ครั้ง, บวกความน่าจะเป็นที่คุณได้
หัว 3 ครั้ง, บวกความน่าจะเป็นที่คุณได้หัว 4 ครั้ง, ไปจนถึง
ความน่าจะเป็นที่ได้หัว b ครั้ง
มันก็คือกรณีทุกอย่างที่เกิดขึ้นได้
นี่ก็คือผลบวกทั่วการกระจายตัวของ
ความน่าจะเป็น, แล้วนั่นจะเท่ากับ 1
แล้ว, เราจะเหลือแค่ค่าคาดหวังของ
ตัวแปรสุ่ม, X เท่ากับ n คูณ p
โดย n คือจำนวนครั้ง และ n คือความน่าจะเป็น
ที่สำเร็จในแต่ะลครั้ง
และนี่เป็นจริงเฉพาะการกระจายตัวแบบทวินาม
มันไม่จริงสำหรับตัวแปรสุ่ม X ใดๆ
มันจริงเฉพาะตัวแปรสุ่ม X ที่มีการกระจายตัวของ
ความน่าจะเป็นแบบทวินาม
เอาล่ะ, ผมหมดเวลาแล้ว
ไว้พบกันใหม่ในวิดีโอหน้านะครับ
-