Tip:
Highlight text to annotate it
X
ที่พิกซาร์ (Pixar) งานที่เราทำทั้งหมดคือเล่าเรื่อง
แต่เรื่องหนึ่งที่ไม่มีใครเล่าให้ฟังมากนัก
คือ เราใช้คณิตศาสตร์มากมายขนาดไหน
ในการสร้างภาพยนตร์ของเรา
คณิตศาสตร์ที่พวกหนูเรียนกัน
ตอนมัธยมต้นและปลายนี่แหละ
เราใช้มันตลอดเลยที่พิกซาร์
เอาล่ะ เรามาเริ่มจากตัวอย่างง่ายๆ เลย
มีใครจำพ่อหนุ่มคนนี้ได้บ้าง (เสียงเฮ)
ใช่ นี่คือวู้ดดี้ จากทอย สตอรี่
เราลองบอกวู้ดดี้ให้เดินข้ามฝั่งเวที
จากซ้ายไปขวาแล้วกัน
เชื่อไหม ว่าหนูเพิ่งเห็นการทำงานของคณิตศาสตร์ มากมายมหาศาลเลย
อยู่ตรงไหนน่ะเหรอ
จะอธิบายเรื่องนี้ได้
เราต้องเข้าใจก่อนนะว่า
ศิลปินและนักออกแบบ
คิดเป็นรูปทรงและรูปภาพ
แต่คอมพิวเตอร์คิดเป็นตัวเลขและสมการ
การเชื่อมโลกทั้งสองนี้เข้าด้วยกัน
เราต้องใช้หลักการทางคณิตศาสตร์ที่เรียกว่า
เรขาคณิตระบบพิกัด (coordinate geometry)
นั่นคือ เราวางระบบพิกัด (coordinate system)
ให้แกน x บอกว่าวัดถุอยู่ห่างออกมาทางขวาเท่าไหร่
และแกน y บอกว่าวัตถุอยู่สูงแค่ไหน
ด้วยระบบพิกัดนี้ เราสามารถบรรยายได้
ว่าวู้ดดี้อยู่ตรงไหนในแต่ละจุดของเวลา
เช่น ถ้าเรารู้พิกัดของ
มุมซ้ายล่างของรูปนั้น
เราก็รู้ว่าส่วนอื่นๆ ของรูปอยู่ไหน
และการเคลื่อนไหวด้วยการเลื่อนที่เราเห็นเมื่อกี้
ในทางคณิตศาสตร์เราเรียกว่า การเลื่อนขนาน (translation)
เริ่มจากค่า 1 บนแกน x
ไปจบที่ค่าประมาณ 5
ถ้าเราเขียนบรรยายในภาษาคณิตศาสตร์
เราจะเห็นว่า x ที่ตอนจบมีค่ามากกว่าตอนเริ่ม
อยู่สี่หน่วย
พูดอีกอย่างคือ คณิตศาสตร์ของการเลื่อนขนาน
คือการบวก
ใช่ไหมครับ
แล้วการย่อขยายล่ะ (scaling)
นั่นคือการทำให้วัตถุใหญ่ขึ้นหรือเล็กลง
ลองทายไหมว่าเราใช้หลักคณิตศาสตร์อะไร
การเปลี่ยนขนาด การคูณ ใช่เลย
ถ้าคุณจะทำให้วัตถุใหญ่ขึ้นสองเท่า
คุณต้องคูณพิกัดบนแกน x และ y
ด้วย 2
ดังนั้น เราเห็นแล้วว่า หลักคณิตสาสตร์ของการย่อขยาย
คือการคูณ
โอเคไหม
แล้วอันนี้ล่ะ
การหมุน เอาล่ะ หมุนไปรอบๆ
หลักคณิตศาสตร์ของการหมุนคือ ตรีโกณมิติ (trigonometry)
นี่คือสมการที่บรรยายการเคลื่อนไหวเหล่านี้
แรกๆ มันอาจจะดูน่ากลัว
หนูคงเจอเลขพวกนี้ตอน ม. 2 หรือ ม. 3
ถ้าหนูนั่งอยู่ในชั้นเรียนวิชาตรีโกณมิติ
แล้วสงสัยว่าชีวิตนี้หนูจะได้ใช้มันเหรอ
ขอให้จำไว้ว่า เมื่อไหร่ก็ตามที่หนูเห็นวัตถุหมุน
ในหนังแอนิเมชั่นของเรา
นั่นคือการทำงานของตรีโกณมิติอยู่เบื้องหลัง
ผมเองตกหลุมรักคณิตศาสตร์ตอน ม. 1
ในที่นี้มีน้องๆ ม. 1 ไหมครับ มีบ้างเหมือนกันนะ
ครูวิทยาศาสตร์ ม. 1 ของผมแสดงให้ดูว่า
เราจะใช้ตรีโกณมิติเพื่อคำนวณ
ว่าจรวดที่ผมสร้างขึ้นจะพุ่งขึ้นไปได้สูงแค่ไหน
ผมคิดว่ามันน่าทึ่งมาก
ผมก็เลยหลงใหลในคณิตศาสตร์ตั้งแต่นั้น
นั่นเป็นคณิตศาสตร์แบบเก่า
คณิตศาสตร์ที่เรารู้จักกันมานาน
และสร้างขึ้นโดยชาวกรีกโบราณที่เสียชีวิตไปหมดแล้ว
แล้วก็มีความเชื่อผิดๆ ว่า
โจทย์คณิตศาสตร์ที่น่าสนใจ มีคนแก้ไปหมดแล้ว
ที่จริงโจทย์คณิตศาสตร์ทั้งหมดก็ถูกแก้ไปหมดแล้วล่ะ
แต่จริงๆ คือ ยังมีคณิตศาสตร์ใหม่ๆ
ถูกสร้างขึ้นใหม่ตลอดเวลา
และบางอย่างก็เกิดขึ้นที่พิกซาร์
ผมจะเล่าตัวอย่างให้ฟัง
นี่คือตัวละครบางส่วน
จากหนังเรื่องแรกๆ ของเรา
ไฟนดิ้ง นีโม, มอนสเตอร์ อิงค์, และทอย สตอรี่ 2
มีใครรู้บ้างว่าตัวการ์ตูนสีฟ้าตรงมุมซ้ายบนคืออะไร
นั่นคือ ดอรี่ โอเค อันนั้นง่าย
อันนี้ยากกว่าหน่อย
มีใครรู้บ้างว่าตัวการ์ตูนตรงมุมขวาล่างคืออะไร
อัล แม็กวิกกิน จากเรื่อง อัล'ส์ ทอย บาร์น ใช่เลย
สิ่งที่น่าสังเกตเกี่ยวกับตัวการ์ตูนเหล่านี้
คือมันซับซ้อนมาก
รูปทรงพวกนี้ซับซ้อนมาก
ตัวอย่างเช่น ตัวนักทำความสะอาดของเล่น
ที่อยู่ตรงกลางนั่น
นี่คือมือของเขา
หนูคงนึกออกนะว่ามันจะสนุกแค่ไหนเวลาเอาไอ้นี่
ผ่านด่านรักษาความปลอดภัยของสนามบิน
มือของเขาเป็นรูปทรงที่มีความซับซ้อนมาก
ไม่ใช่แค่รูปทรงกลมและกรวยมาปะติดปะต่อกัน
และไม่ใช่แค่มีรูปทรงซับซ้อนเท่านั้น
มันยังเคลื่อนไหวอย่างซับซ้อนด้วย
ผมจะเล่าให้ฟังว่าทำยังไง
ก่อนอื่นผมต้องอธิบายเรื่อง จุดกึ่งกลาง (midpoints) ก่อน
เอาล่ะ นี่คือจุด A กับ B
และเส้นที่เชื่อมระหว่างมัน
เราจะเริ่มจากภาพสองมิติก่อน
จุดกึ่งกลาง คือ M
คือจุดอยู่ตรงกลางเส้นนี้พอดี ใช่ไหมครับ
นั่นคือเรขาคณิต
เพื่อสร้างสมการและตัวเลข
เราก็เอาระบบพิกัด (coordinate system) เข้ามาใช้
ถ้าเรารู้พิกัดของ A และ B
เราก็คำนวณพิกัดของ M ได้ง่ายๆ
เพียงแค่หาค่าเฉลี่ย
เอาล่ะ พวกหนูมีความรู้พอจะทำงานที่พิกซาร์แล้ว
เดี๋ยวผมจะทำให้ดู
ผมจะทำอะไรที่น่ากลัวขึ้นหน่อย
เรามาดูการสาธิตสดๆ กัน
เอาล่ะ นี่เรามีสี่เหลี่ยมอยู่รูปหนึ่ง
ที่ผมจะทำคือ
สร้างโค้งเรียบจากสี่เหลี่ยมรูปนี้
โดยใช้หลักการของจุดกึ่งกลางเท่านั้นเอง
สิ่งแรกที่ผมจะทำ
ผมเรียกว่าการแบ่งแยก
โดยเพิ่มจุดกึ่งกลางลงไปทุกด้าน
จึงเปลี่ยนจากสี่จุดเป็นแปดจุด
แต่มันก็ยังไม่เรียบขึ้น
ผมจะทำให้มันเรียบขึ้นอีก
โดยย้ายจุดเหล่านี้จากจุดเดิม
ตามเข็มนาฬิกาไปยังจุดกึ่งกลางถัดไป
เดี๋ยวจะทำเป็นอนิเมชั่นให้ดูนะ
ผมจะเรียกขั้นตอนนี้ว่าการเฉลี่ย
ทีนี้ผมก็มีจุดแปดจุด
รูปก็เรียบขึ้นนิดหนึ่ง
งานของผมคือทำให้เส้นโค้งเรียบ
ผมต้องทำไงต่อ
ก็ทำซ้ำ แบ่งแยกแล้วหาค่าเฉลี่ย
ทีนี้ผมก็มีสิบหกจุดแล้ว
ผมจะเอาสองขั้นตอนนี้
คือการแบ่งแยกและหาค่าเฉลี่ย มารวมกัน
เป็นกระบวนการที่เรียกว่า แบ่งส่วนย่อย (subdivide)
ซึ่งก็หมายถึงการแบ่งแยกและหาค่าเฉลี่ยนั่นแหละ
ทีนี้ผมก็มีจุด 32 จุดแล้ว
ถ้าโค้งยังไม่เรียบพอ ผมก็ทำซ้ำอีก
ก็จะได้ 64 จุด
หนูเห็นเส้นโค้งเรียบเกิดขึ้นจาก
จุดสี่จุดแรกไหม
นั่นแหละ วิธีที่เราสร้างรูปทรงต่างๆ
ของตัวการ์ตูนของเรา
แต่จำไว้นะว่า อย่างที่ผมพูดไปเมื่อกี้
การรู้วิธีสร้างรูปทรงเป็นภาพนิ่ง
ไม่เคลื่อนไหว แค่นั้นยังไม่พอ
เราต้องทำให้มันเคลื่อนไหวด้วย
การทำให้เส้นโค้งเหล่านี้เคลื่อนไหว
คือความเจ๋งของการแบ่งส่วนย่อย
พวกหนูเคยเห็นมนุษย์ต่างดาวในทอย สตอรี่ไหม
รู้ไหมมันทำเสียงยังไง
"อู้ววว" พร้อมไหม
เอาล่ะ วิธีทำให้โค้งนี้เคลื่อนไหว
ก็แค่ทำให้จุดตั้งต้นสี่จุดนั้นเคลื่อนไหว
"อู้ววว"
เอาล่ะ เจ๋งใช่ไหม
ถ้าหนูว่ามันไม่เจ๋ง ประตูทางออกอยู่โน่นนะ
มันไม่มีอะไรน่าสนใจกว่านี้แล้วล่ะ
หลักการแบ่งแยกและเฉลี่ย
ยังใช้ได้กับพื้นผิวด้วย
ผมจะแบ่งแยก และจะหาค่าเฉลี่ย
แล้วแบ่งแยกอีก แล้วก็เฉลี่ยอีก
เอาสองขั้นตอนนี้มารวมกัน เป็นการแบ่งส่วนย่อย
นี่แหละวิธีที่เราใช้สร้างรูปทรง
และพื้นผิวของตัวการ์ตูนสามมิติ
วิธีการแบ่งส่วนย่อย (subdivision) นี้
เรานำมาใช้ครั้งแรกในการ์ตูนสั้น เมื่อปี ค.ศ. 1997
เรื่อง เกมของเจรี่ (Geri's game)
แล้วเจรี่ก็มาเป็นดารารับเชิญ
ในเรื่อง ทอย สตอรี่ 2 ในบทคนทำความสะอาดของเล่น
การวาดมือแต่ละข้างของเขา
เป็นครั้งแรกที่เราใช้เทคนิคการแบ่งส่วนย่อย
มือแต่ละข้างของเขาเป็นพื้นผิว ที่สร้างด้วยการแบ่งส่วนย่อย
ใบหน้าของเขาก็สร้างด้วยการแบ่งส่วนย่อย
เสื้อแจ็กเก็ตของเขาก็เหมือนกัน
นี่คือมือของเจรี่ก่อนทำการแบ่งส่วนย่อย
และนี่คือมือของเจรี่หลังการแบ่งส่วนย่อย
การแบ่งส่วนย่อยช่วยทำให้พื้นผิวเรียบขึ้น
ในทุกด้านทุกมุม
และสร้างพื้นผิวที่สวยงาม
ที่พวกหนูเห็นบนจอและในโรงหนัง
ตั้งแต่นั้นมา เราก็สร้างตัวการ์ตูนของเราทุกตัวด้วยวิธีนี้
นี่คือเมริดา นางเอกในเรื่องเบรฟ
ชุดของเธอสร้างด้วยการแบ่งส่วนย่อย
มือของเธอ ใบหน้าของเธอ
ใบหน้าและมือของคนในเผ่า
ก็เป็นพี้นผิวที่สร้างด้วยการแบ่งส่วนย่อย
เอาล่ะ วันนี้เราได้เห็นว่าการบวก การคูณ
ตรีโกณมิติ และเรขาคณิต มีบทบาทในหนังของเราอย่างไร
ถ้ามีเวลามากกว่านี้
ผมจะบอกให้ด้วยว่าพีชคณิตเชิงเส้น (linear algebra)
แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ (differential calculus) แคลคูลัสเชิงปริพันธ์ (integral calculus)
มีบทบาทอย่างไรในงานของเรา
สิ่งที่ผมอยากให้พวกหนูเก็บกลับบ้านไปวันนี้
คือ ขอให้จำไว้ว่าคณิตศาสตร์ทั้งหมด ที่พวกหนูกำลังเรียนอยู่
ในโรงเรียนมัธยมไปจนถึงมหาวิทยาลัยปีสอง
เป็นสิ่งที่เราใช้กันที่พิกซาร์กันเสมอๆ และทุกๆ วัน ขอบคุณครับ