Tip:
Highlight text to annotate it
X
ลองดูว่าเราหาอินทิกรัลของโคไซน์ของ 5x ส่วน e กำลังไซน์ของ 5x dx ได้ไหม
แล้วมันมีอีการ้องข้างนอกหน้าต่างด้วย ผมจะพยายามตั้งสมาธินะ
ลองคิดดูว่าการแทนตัว u มันเหมาะสมหรือไม่. สิ่งที่คุณอยากลอง คือบอกว่า,
"เฮ้, บางทีเราให้ u เท่ากับไซน์ของ 5x, และถ้า u เท่ากับไซน์ของ 5x,
เราควรมีอะไรที่ใกล้กับ du ตรงนี้" ลองทดสอบดู
แล้ว du จะได้เท่ากับ -- du/dx (อนุพันธ์ของ u เทียบกับ x),
แล้วเราก็ใช้กฎลูกโซ่ได้. อนุพันธ์ของ 5x เป็น 5
คูณอนุพันธ์ของไซน์ของ 5x เทียบกับ 5x, นั่นก็คือโคไซน์ของ 5x
ถ้าเราอยากเขียนนี่ในรูปดิฟเฟอเรนเชียล, ซึ่งมีประโยชน์ถ้าเราแทนตัว u ลงไป
เราก็บอกได้ว่า du เท่ากับ 5 โคไซน์ 5x
ทีนี้เวลาคุณดูตรงนี้, เรายังไม่ได้ du เสียทีเดียว. เรามีแค่โคไซน์ของ 5x dx --
ขอโทษที, ผมอยากได้โคไซน์ของ 5x dx, แบบนั้น. แล้วเมื่อเราดูตรงนี้,
คุณมี โคไซน์ของ 5x dx, แต่เราไม่มี 5 โคไซน์ของ 5x dx,
แต่เรารู้วิธีแก้ปัญหานั้นได้. เราก็คูณด้วย 5 และหารด้วย 5 ได้
1/5 คูณ 5 ก็แค่ 1. เราจึงไม่เปลี่ยนค่าของพจน์นี้
แต่เมื่อเราทำแบบนี้, เราเห็นได้ชัดเจน, เรามี u และเรามี du
du เราเป็น 5 -- ขอผมวงกลมมันไว้ แล้วผมจะทำด้วยสีฟ้า --
คือ 5 โคไซน์ของ 5x dx. แล้วเราก็เขียนพจน์นี้ทั้งหมดใหม่ได้ว่า --
ผมจะเขียน 1/5 ด้วยสีม่วงนะ -- นี่จะเท่ากับ 1/5 --
ผมหวังว่าคุณคงไม่ได้ยินเสียงกานะ, มันดูน่ารังเกียจทีเดียว --
1/5 คูณอินทิกรัลของ, ทีนี้เจ้าพวกนี้สีฟ้า คือ du ผม,
แล้วนั่นคือ ส่วน e กำลัง u. แล้วเราจะหาแอนติเดริเวทีฟของเจ้านี่ยังไง?
ทีนี้, คุณอาจอยากลอง -- ทีนี้, คุณจะทำอะไรตรงนี้?
ทีนี้, เรายังไม่พร้อมจะจัดรูปแอนติเดริเวทีฟตรงนี้
ถ้าผมเขียนนี่ใหม่ได้, ผมก็เขียนเจ้านี่ใหม่ได้ว่า (นี่เท่ากับ)
1/5 คูณอินทิกรัลของ e กำลังลบ u du
แล้ว, สิ่งที่คุณอาจเห็นได้ทันทีคือว่า, บางทีเราทำการแทนได้อีกที,
และเราใช้ตัวอักษร u ไปแล้ว, บางทีเราเรียกมันว่า w ก็ได้. เราจะใช้ "การแทนตัว w"
แล้วคุณอาจทำอย่างนี้ได้ในใจ, แต่เราจะทำการแทนตัว w เพื่อให้มันง่ายขึ้นหน่อย
แล้วลอง -- นี่มีประโยชน์จริงๆ ถ้านี่เป็นแค่ e กำลัง u,
เพราะเรารู้ว่าแอนติเดริเวทีฟของ e กำลัง u ก็แค่ e กำลัง u
ทีนี้ลองทำมันในรูปของ e กำลังลบอะไรสักอย่าง
งั้นลองตั้ง -- แล้วผมไม่มีสีอื่นแล้ว -- w เท่ากับลบ u
และในกรณีนั้น, แล้ว dw (อนุพันธ์ของ w เทียบกับ u) เท่ากับลบ 1,
หรือถ้าเราเขียนประโยคนี้ในรูปดิฟเฟอเรนเชียล,
dw เท่ากับ du คูณลบ 1 ได้ ลบ du
เจ้านี่ตรงนี้จึงได้ w ของเรา, แล้วเราได้ dw ตรงนี้หรือเปล่า?
ทีนี้เรามีแค่ du, เราไม่มีลบ du ตรงนี้
แต่เราสามารถสร้างลบ du ได้โดยการคูณข้างในนี้ด้วยลบ 1,
แล้วเราก็คูณตัวนอกด้วยลบ 1
ลบ 1 คูณลบ 1 ได้บวก 1, เรายังไม่เปลี่ยนค่ามัน
เราต้องทำทั้งสองอย่างนี้เพื่อให้มันยังถูกต้อง
หรือผมทำแบบนี้ได้. แล้วลบ 1 ตรงนี้, และลบ 1 ตรงนี้
และถ้าเราทำในรูปนั้น, แล้วลบ 1 นี่คูณ du --
นั่นก็เหมือนกับ ลบ du -- นี่ก็คือนี่ตรงนี้
แล้วเราก็สามารถเขียนอินทิกรัลใหม่ได้ -- มันจะเท่ากับ --
ทีนี้ มันจะเท่ากับลบ 1/5 -- พยายามใช้สีให้ผมดีที่สุด --
คูณอินทิกรัลไม่จำกัดเขตของ e กำลัง -- ทีนี้แทนที่จะเป็นลบ u, คุณก็เขียน w ได้
e กำลัง w. แล้วแทนที่จะเป็น du คูณลบ 1 หรือ ลบ du, เราเรียกมันว่า "dw" ได้
ทีนี้ เจ้านี่ก็จัดรูปมันได้หน่อย. เรารู้ว่าแอนติเดริเวทีฟของนี่ ในรูปของ w
นี่จะเท่ากับ ลบ 1/5 e กำลัง w, แล้วเราก็มีค่าคงที่ตัวหนึ่งตรงนี้,
ผมก็แค่ใส่บวก c ลงไป. แล้วเราต้องแทนค่าคืนไป
เราก็รู้ว่า w เท่ากับลบ u, แล้วเราก็เขียนมันได้ --
นี่ก็เท่ากับ ลบ 1/5 -- ผมอยากใช้สีให้ถูก -- e กำลังลบ u,
นั่นคือ w, บวก c. แต่เรายังไม่ได้แทนค่าคืน
เรารู้ว่า u เท่ากับไซน์ของ 5x. เราก็เขียนนี่ว่าเท่ากับ
ลบ 1/5 คูณ e กำลัง ลบ u, ซึ่งก็คือ ลบ u คือไซน์ของ 5x,
แล้วุดท้าย, เราได้บวก c มา. ทีนี้, มันมีวิธีที่เราทำเจ้านี่ได้
ง่ายๆ โดยการแทนค่าอีกครั้ง. แต่คุณต้องมองมันล่วงหน้าหน่อย
แล้วสังเกตว่ามันไม่ได้ง่าย -- แต่ไม่แย่นักที่จะหาแอนติเดริเวทีฟของ e กำลังลบ u
ตัวข้างในที่คุณอาจมี แม้ว่าคุณไม่ควรคิดมาก
เวลาคุณรู้สึกแย่ เวลาคุณไม่เห็นตัวข้างใน
เราสามารถเขียนมันใหม่ว่าอินทิกรัลตตัวเดิม -- ขอผมเขียนมันใหม่นะ --
มันคือโคไซน์ของ 5x ส่วน e กำลังไซน์ของ 5x dx. เราเขียนอินทิกรัลทั้งหมดนี่ได้ ว่าเท่ากับ
โคไซน์ของ 5x คูณ e กำลังลบไซน์ของ 5x dx. และในกรณีนี้, เราบอกได้
ว่า u เท่ากับลบ 5x, แล้วเราบอกว่า, เอาล่ะ, ถ้า u เท่ากับ --
หรือลบไซน์ของ 5x, แล้ว du จะเท่ากับ ลบ 5 โคไซน์ของ 5x,
แล้วเราไม่มีลบ 5 -- โอ้, dx, เราไม่มีลบ 5 ตรงนี้,
แต่เราสามารถสร้างมันได้โดยใส่ลบ 5 ตรงนี้, แล้วคุณมันด้วยลบ 1/5,
แล้วมันจะจัดรูปได้เป็น อินทริกลนี่ตรงนี้ เท่ากับ
ลบ 1/5 คูณอินทิกรัลของ -- ตรงนี้, เรามี du เรา -- ขอผมใช้อีกสีนะ --
นั่นคือลบ 5 -- ขอผมทำแบบนี้นะ -- ลบ 5 โคไซน์ของ 5x dx
นั่นก็คือ du เรา -- ผมแค่เปลี่ยนลำดับการคูณ -- คูณ e กำลัง u
พจน์ทั้งหมดนี่ตรงนี้ คือ u เป็นครั้งที่สอง. แล้วถ้าเราทำแบบนี้, แค่แทนครั้งเดียว,
เราก็ได้ผลที่อยากได้ในทันที. คุณก็หาแอนติเดริเวทีฟของเจ้านี่ --
ผมจะทำใช้สีเดียวตรงนี้, เพราะผมว่า คุณคงเข้าใจ -- นี่เท่ากับ
ลบ 1/5 e กำลัง u บวก c. u เท่ากับลบไซน์ของ 5x,
แล้วนี่เท่ากับลบ 1/5 e กำลังลบไซน์ของ 5x บวก c. แล้วเราก็เสร็จแล้ว
อันนี้เร็วกว่า, มันง่ายกว่า, เมื่อเวลาผ่านไป, คุณจะเริ่มสามารถทำในใจได้แล้ว
อันบนนี้, คุณยังไม่ได้ทำอะไรเลอะเทอะ โดยให้ u เท่ากับไซน์ของ 5x,
เราแค่ต้องทำการแทนตัวแปรเพิ่ม เพื่อทำให้ได้จนเสร็จ
และผมสามารถทำวิดีโอนี้ได้ แม้ว่าจะมีอีกาข้างนอก -- อีการ้องกวนก็ตาม