Tip:
Highlight text to annotate it
X
สิ่งผมอยากทำในวิดีโอนี้คือกลับมาพูดถึง
สิ่งที่เรารู้เกี่ยวกับไพ และวิธีที่เราวัดมุม
กับเรเดียน จากนั้นค่อยมาคิดว่าไพ
เป็นตัวเลขที่ดีที่สุดที่เราควรสนใจหรือเปล่า
งั้นลองคิดถึงสิ่งที่ผมเพิ่งพูดไปสักหน่อย
ไพ เรารู้ว่ามันนิยามยังไง -- ผมจะเขียนนิยาม เป็นเครื่องหมายเท่ากับสามเส้น
ผมเดาว่าคุณเรียกมันอย่างนั้นได้
ไพ นิยามว่าเป็นอัตราส่วนของเส้นรอบวงของวงกลม
ต่อเส้นผ่านศูนย์กลาง ซึ่งก็เหมือนกับอัตราส่วน
ของเส้นรอบวงของวงกลม ต่อสองเท่าของรัศมี
หรือจากที่เราได้สูตรมาจาก
วิชาเรขาคณิต
หากคุณมีรัศมีและคุณอยากหาเส้นรอบวง
คูณทั้งสองของนิยามนี้ด้วยสองคูณรัศมี
คุณก็ได้ สองคูณรัศมีคูณไพ เท่ากับ เส้นรอบวง
หรือให้คุ้นกว่านี้ คือ
เส้นรอบวง เท่ากับ สอง ไพ r
นี่คือเรื่องพื้นฐานที่สุดเรื่องหนึ่งที่คุณเรียน
ตั้งแต่แรก และคุณใช้มันหาเส้นรอบวงโดยปกติ
หรือเพื่อหารัศมีหากคุณรู้เส้นรอบวง
และจากนั้น เราก็รู้วิธีวัดมุมในหน่วยเรเดียน
เมื่อเรามาถึงวิชาตรีโกณมิติ เพื่อ
ทบทวนตรงนี้ ขอผมวาดวงกลมขึ้นมาหนึ่วง...
ขอผมวาดวงกลมสวยๆ หน่อย..
นี่ก็คือ -- มันใช้ได้แล้วล่ะ -- นี่คือแกนบวก x
และผมจะวาดมุมตรงนี้ ผมจะทำมุมให้ชัด
จะได้.. ขอผมวาดมุมนี้
และวิธีที่เราวัดมุมตอนเราพูดถึงเรเดียน
คือว่าเราพูดถึงมุมที่รองรับด้วย
ส่วนโค้งเส้นหนึ่ง และเราวัดความยาวส่วนโค้ง --
เอาล่ะ วิธีที่ผมชอบคิดคือว่า -- มุมอยู่ในหน่วยเรเดียน
และส่วนโค้งเองอยู่ในหน่วยเรเดียส (จำนวนเท่ารัศมี) ซึ่งไม่ใช่
คำที่ถูกต้องแต่ผมชอบคิดแบบนั้น ส่วนโค้งที่รองรับมุม
ในหน่วยเรเดียนยาวเป็นกี่เท่าของรัศมี?
ขอผมแสดงให้คุณดูว่าผมพูดถึงอะไรอยู่
ส่วนโค้งนี่ตรงนี้, หากรัศมีคือ r, ความยาวของ
ส่วนโค้งเป็นเท่าไหร่? ทีนี้, เรารู้จากเรขาคณิตพื้นฐานแล้ว
ว่าเส้นรอบวงทั้งหมดตรงนี้จะเท่ากับ 2 ไพ r
เส้นรอบวงทั้งหมดนี้ -- ที่จริงแล้วตามนิยาม --
เส้นรอบวงทั้งหมดนี้คือ 2 ไพ r ดังนั้น
ความยาวส่วนโค้งนี้เป็นเท่าไหร่? ผมคิดว่ามันคือหนึ่งในสี่
ของวงกลม มันจะได้ 2 ไพ r ส่วน 4 ดังนั้นส่วนโค้ง
นี่ตรงนี้ ส่วนโค้งนี้จะยาว 2 ไพ r ส่วน 4
ซึ่งก็เท่ากับ ไพ ส่วน 2 r หรือคุณอาจบอกว่า
นี่เท่ากับ ไพ ส่วน 2 เรเดียสก็ได้
นี่ก็คือ -- คุณก็รู้ ไม่ใช่คำที่ถูกแแต่มันเป็นวิธีที่ผม
ชอบคิด หรือคุณอาจบอกว่ามันรองรับมุม
ไพ ส่วน 2 เรเดียน ดังนั้นตรงนี้ทีต้าเท่ากับ ไพ ส่วน 2 เรเดียน
และที่จริง ตอนคุณกำลังวัดมุมเป็นเรเดียน
คุณก็กำลังบอกว่า "โอเค มุมนั้นรองรับโดย
ส่วนโค้ง -- ที่ยาวเป็นกี่เท่าของรัศมี.. หรือ
ผมไม่รู้คำพหุพจน์ของรัศมี...
ที่จริงผมว่ามันคือ "เรดิไอ" แต่มันชอบคำว่าเรเดียสเซสมากกว่า
"เรดิไอ" ที่จริงผมควรใช้คำนั้น จะได้ไม่มีคนมาว่าได้ว่า "ซาล
คุณสอนคนให้ใช้คำพหุพจน์ของคำว่ารัศมีผิดนะ!"
"เรดิไอ" ดังนั้นส่วนโค้งนี้เท่ากับ ไพ ส่วน 2 เรดิไอ และ
มันรองรับมุมขนาด ไพ ส่วน 2 เรเดียน เราอาจลอง
อีกตัวอย่างเพื่อให้เข้าใจชัดเจน...
หากคุณไปจนครบรอบกวงลม -- หากคุณ
ไปรอบวงกลมแล้วกลับมา
ตรงแกนบวก x ตรงนี้, ส่วนโค้งเป็นเท่าไหร่?
ตรงนี้ความยาวส่วนโค้งเท่ากับเส้นรอบวงทั้งหมด
ของวกลม, มันก็คือ 2 ไพ r, ซึ่งก็เหมือนกับ
2 ไพของรัศมี และเราบอกว่ามุมที่รองรับ
ด้วยส่วนดค้งนี้ มุมที่เราสนใจ
ไปจนครบรอบวงกลมนั้น คือ 2 ไพเรเดียน
และทั้งหมดนี้มีเรื่องตามมา
อย่างที่เรารู้ว่าเราวาดกราฟฟังก์ชัน
ตรีโกณมิติ หรืออย่างน้อยวิธีที่เราวาดกราฟ
บนแกน x และผมยังพูดถึงสูตรของออยเลอร์
ซึ่งเป็นสูตรที่ผมว่าสวยที่สุดในวิชาคณิตศาสตร์
และลองดูของพวกนั้นอีกที เพื่อให้
เรารู้ว่าไพเข้ากับของพวกนั้นยังไงบ้าง หากผมคิด
ถึงฟังก์ชันตรีโกณมิติ จำไว้ หากมันเป็นบท
เรื่องฟังก์ชันตรีโกณมิติ, เราจะถือว่าเรามี
วงกลมหน่วยตรงนี้ ในฟังก์ชันตรีโกณฯ นี่
คือนิยามวงกลมหน่วยของฟังก์ชันตรีโกณฯ นี่เป็นการ
ทบทวนเรื่องทั้งหมดที่ดี สมมุติว่าคุณมีวงกลมหน่วย
วงกลมรัศมียาว 1 หน่วย แล้วฟังก์ชันตรีโกณฯ เรา
นิยามสำหรับมุมใดๆ ก็ตามที่มี สำหรับมุมทีต้าใดๆ
โคไซน์ของทีต้าคือระยะที่คุณเคลื่อนไป..
คือพิกัด x ของจุดบนส่วนโค้งที่
อยู่ตรงมุมนั้น นั่นก็คือโคไซน์ทีต้าแล้วก็ไซน์ทีต้า
คือค่า y ของจุดนั้น โคไซน์ของทีต้าคือค่า x,
ไซน์ของทีต้าคือค่า y และหากคุณวาดกราฟ
ของฟังก์ชันหนึ่งในนั้น ผมจะทำไซน์ทีต้าเพื่อความสะดวก
แต่คุณจะลองโคไซน์ของทีต้าก็ได้... งั้นลอง
วาดกราฟไซน์ของทีต้าดู ลองทำไซน์
ทีต้าหนึ่งรอบ เรามักกำกับค่า, ตอนมุมเป็น 0,
ไซน์ของทีต้าเป็น 0 -- ขอผมวาดแกน x กับ y
คุณคงยังจำได้, นี่คือแกน y และนี่
คือแกน, ตรงนี้คือแกน x ดังนั้นเมื่อมุมเป็น 0,
เราอยู่ตรงนี้บนวงกลมหน่วย, ค่า y เป็น 0
ดังนั้นไซน์ของทีต้าจะอยู้่ตรงนั้น
ขอผมวาดแบบนี้นะ...
แล้วนี่คือทีต้าและนี่คือ -- ผมจะวาด
ไซน์ของทีต้าตามแนก y, เราจะบอกว่า y เท่ากับ
ไซน์ของทีต้าในกราฟนี้ที่ผมวาด
ตรงนี้ แล้วเราก็ทำ, ผมทำจุดง่ายๆ แล้วกัน
แล้วก็ให้มุมไป -- ถ้าเราทำในหน่วยองศา
90 องศา, หรือหากเป็นหน่วยเรเดียนก็คือ ไพ ส่วน 2 เรเดียน
ไซน์ของทต้าเป็นเท่าไหร่?
ทีนี้, ตรงนี้มันคือ 1, นี่คือวงกลมหน่วย, มีรัศมีเป็น 1
แล้วเมื่อเราไปที่ ไพ ส่วน 2, เมื่อทีต้าเท่ากับไพ ส่วน 2
ไซน์ของทีต้าก็เท่ากับ 1 นี่คือ 1ตรงนี้,
ไซน์ของทีต้าเท่ากับหนึ่ง, แล้วเมื่อเราไปที่ 180 องศา
ของครึ่งมุมรอบวงกลม, ทีต้าตอนนี้เท่ากับ ไพ
เมื่อทีต้าเท่ากับ ไพ, ค่า y ของจุด
นี่ตรงนี้กลับมาเป็นศูนย์อีก เราเลยกลับไป
ที่ 0, จำไว้ว่าเราพูดถึงไซน์ของทีต้า
แล้วเราก็ลงไปตรงนี้ โดยคุณอาจ
มองมันเป็น 270 องศา หรือจะมองนี่เป็น
3 ไพส่วน 2 เรเดียนก็ได้ นี่อยู่ในเรเดียน แกนนี้
ดังนั้น 3 ไพ ส่วน 2 เรเดรียน ไซน์ของทีต้าคือ
พิกัด y บนวงกลมหน่วยนี่ตรงนี้ มันเลย
เป็นลบ 1, นี่ก็คือลบ 1 แล้ว
สุดท้ายเราก็วนครบวง, คุณไป
ได้ 2 ไพเรเดียนแล้วกลับมาตรงที่คุณเริ่ม
และไซน์ของทีต้า หรือพิกัด y ก็เป็น 0
อีกครั้ง หากคุณลากต่อจุด หรือหาก
คุณพลอตจุดมากกว่านี้ คุณจะเห็นเส้นโค้งไซน์
ตลอดส่วนที่เราวาดกราฟไปตรงนี้
นั่นคือการประยุกต์อีกอย่างหนึ่ง คุณอาจถามว่า "เฮ้ ซาล
เรากำลังทำอะไรอยู่?" ตอนนี้ผมกำลังแสดงให้คุณดู ผมกำลัง
ทวนสิ่งเหล่านี้ให้คุณ เพราะเรากำลังจะดูตัวเลข
อื่นที่ไม่ใช่ไพ
และผมอยากทำของอย่างสุดท้ายที่มีไพอยู่ คุณบอกว่า
"ดูสิ ไพนั้นเป็นเลขที่มีอำนาจ หรือสาเหตุหนึ่งที่ไพ
ดูมีอำนาจลึกลับ เราแสดงไปแล้ว
ในรายการชุดแคลคูลัส
ว่ามีสูตรของออยเลอร์ e กำลัง i ทีต้า เท่ากับ
โคไซน์ของทีต้าบวก i ไซน์ของทีต้า สูตรนี้เอง
เป็นสูตรที่ระเบิดสมองอยู่แล้ว แต่
บางครั้งมันน่าตะลึงยิ่งกว่าหาก
คุณแต่ไพ ลงในทีต้า, เพราะจากสูตรของออยเลอร์
คุณจะได้ e กำลัง i ไพ เท่ากับ
-- โคไซน์ของไพคืออะไร? โคไซน์ของไพคือ ลบ 1
แล้วไซน์ของไพเป็นศูนย์ ได้ ศูนย์ไพ, คุณเลยได้
สูตรนี้, ซึ่งเท่มาก แล้้วคุณก็บอกว่า
"โอเค ถ้าฉันอยากเขียนตัวเลขพื้นฐานทุกตัว
ลงในสูตรสูตรหนึ่ง ฉันก็บวกหนึ่งทั้งสองข้างของสมการนี้
แล้วคุณจะได้ e กำลัง i ไพ บวก 1 เท่ากับ 0
บางครั้งนี่เรียกว่าสมบัติของออยเลอร์ อันเป็นสูตร
หรือสมการที่สวยที่สุดในคณิตศาสตร์
มันเป็นลึกซึ้งมาก คุณมีตัวเลขพื้นฐาน
ทุกตัวในสมการเดียน - e, i, ไพ, 1, 0 แม้ว่า
รสนิยมผมบอกว่ามันจะทรงพลัง
กว่านี้ถ้ามันมี 1 อยู่ตรงนี้
เพราะ e กำลัง i ไพ, ของน่ากลัวนี่, กลายเป็น
หนึ่งพอดี มันจะเท่สุดๆ ไปเลย
ในความคิดผม มันอาจดูแปลกที่บวกหนึ่งเข้าไป
ทั้งสองข้าง "โอ้ ดูสิ, ตอนนี้ผมได้ศูนย์ตรงนี้แล้ว"
แต่นี่ก็เท่พออยู่แล้ว แต่จากนั้นผมจะ
อืม ผมจะไม่เถียงอะไรอีก แต่ผม
จะพูดถึงเลขอีกตัวนึง เลขที่
ต่างจากไพ ผมอยากพูดให้ชัดก่อน ว่าแนวคิดเหล่านั้น
ไม่ได้มาจากผม มันได้แรงบันดาลใจจากคนมากมาย
เป็นกระแสที่เรียกว่า กระแสของเทา (Tau) แต่คนเหล่านี้
ทำให้ผมกลับมาคิดใหม่
คนแรกคือโรเบริ์ต พาลาส เขียนเรื่อง "ไพนั้นผิด!" และเขา
ไม่ได้บอกว่าค่าของไพ นั้นคำนวณผิด เขายัง
เห็นด้วยว่าอัตราของเส้นรอบวงต่อ
เส้นผ่านศูนย์กลางยังเท่าเดิม คือ 3.14159 แต่สิ่งที่เขา
บอกคือว่าเรากำลังสนใจเลขผิดตัว
และคุณยังมีไมเคิล ฮาร์ติเขียนเรื่อง "แถลงการณ์เรื่องเทา"
ทั้งหมดนี่มีออนไลน์ และสิ่งที่เขาพูดถึง
คือจำนวนที่เรียกว่าเทา หรือสิ่งที่เขาเรียกว่าเทา
เขานิยามเทา แค่เปลี่ยนจากไพ
เขานิยามเทา ไม่ใช่อัตราส่วน
ของเส้นรอบวงต่อเส้นผ่านศูนย์กลาง ไม่ใช่อัตราของเส้นรอบวง
ต่อสองเท่าของรัศมี เขาบอกว่า "เฮ้ การนิยามจำนวน
เป็นอัตราส่วนของเส้นรอบวงต่อรัศมี มันไม่
เป็นธรรมชาติกว่าเหรอ?" และหากคุณ
ดูตรงนี้ ไพนี้ก็คือครึ่งหนึ่งคูณนี่ตรงนี้, จริงไหม?
เส้นรอบวงส่วน 2 r, มันก็เหมือนกับ
ครึ่งหนึ่งคูณเส้นรอบวงส่วน r, ดังนั้น ไพ ก็คือ
ครึ่งหนึ่งของเทา, หรือวิธีคิดคือว่าเทา
ก็คือ 2 เท่าของไพ หรือถ้าคุณ -- ผมแน่ใจ
ว่าคุณไม่อยากท่องมัน เพราะคุณอาจบอกว่า
"เดี๋ยวก่อน, ผมใช้เวลาทั้งหมดจำค่าไพไปแล้ว" แต่มันก็แค่
6.283185 ไปเรื่อยๆ ไม่เคยซ้ำ
เช่นเดียวกับไพ, มันก็แค่ 2 คูณไพ แล้วคุณก็บอกว่า
"เฮ้ ซาล ไพมันมีมาเป็นพันปีแล้ว
ทำไมต้องไปยุ่งกับจำนวนพื้นฐานอย่างนั้นอีก
ยิ่่งคุณมาแสดงความสวยงามของมันให้ดู
อีกล่ะ?" และความคิดที่เขาบอกมา
มันฟังดูดีมาก คือว่า
ทุกอย่างดูแจ่มขึ้นเมื่อคุณ
ใช้จำนวนนี้ แทนที่จะใช้จำนวนนี้ครึ่งเดียว
หากคุณใช้เทา ลองดูทุกอย่าง
ที่เราทำไป ทันใดนั้น
เมื่อคุณคิดถึง 2 ไพแทนที่จะเป็นไพ, หากคุร
สนใจเท่าแทนที่จะสนเทาส่วน 2, มุมที่เรา
ทำไว้ด้วยสีบานเย็นจะเป็นอย่างไร?
อย่างแรกเลย ลองคิดถึงสูตรนี่ตรงนี้
เส้นรอบวงในรูปของรัศมีเป็นอย่างไร?
ทีนี้เราบอกได้ว่าเส้นรอบวงเท่ากับ
เทาคูณรัศมี เพราะเทาก็คือ
2 ไพ มันทำให้สูตรดูง่ายขึ้น
แม้ว่ามันทำให้ ไพ r กำลังสองดูเลอะ
ไปหน่อย คุณอาจสนับสนุนฝ่ายไหนก็ได้ แต่มัน
ทำให้การวัดมุมเรเดียนดูตรงตามสัญชาตญาณมากขึ้น
เพราะคุณบอกได้ว่านี่คือ ไพส่วน 2 เรเดียน หรือคุณ
อาจบอกว่า ไพส่วน 2 เรเดียน ก็เหมือนกับ
เทา ส่วน 4 เรเดียน แล้วผมได้มันมาจากไหน?
จำไว้, หากเราไปรอบวงกลม
นั่นคือเส้นรอบวง, ความยาวส่วนโค้งก็คือ
เส้นรอบวง, มันก็คือจำนวนเทาเท่าของรัศมี หรือ
เทาเรเดียน เท่ากับมุมที่รองรับโดยส่วนโค้ง
มุมเท่ากับ เทา เรเดียน และในทางกลับกัน เทา เรเดียส
ทุกอย่างก็เป็นไปตามสัญาชาตญาณ การวน
ครบรอบคือ 1 เทาเรเดียน และหากคุณไปแค่หนึ่งในสี่
มันก็จะเป็น เทาส่วน 4 เรเดียน สาเหตุที่เทามันตรง
ตามสัญชาตญาณมากกว่าเพราะคุณไม่ต้อง
มานั่งแปลงแบบว่า "หารด้วยสอง
คูณด้วยสอง" แล้วนั่น ดูสิ ไม่ว่าจะเป็นกี่เรเดียน
ในรูปของเทา ที่สุดแล้วมันก็คือจำนวนรอบ
ที่คุณไปตามวงกลม และหากคุณไปได้แค่ 1/4 รอบ
มันก็คือ เทา/4 เรเดียน หากคุณไปครึ่งรอบ
มันก็คือ เทา/2 เรเดียน หากคุณไป 3/4 รอบ มันก็
คือ 3 เทา/4 เรเดียน หากคุณไปครบรอบ มันก็ได้
เทา เรเดียน หากมีคนบอกคุณว่า มีมุม
10 เทาเรเดียน คุณก็วนไป 10 รอบพอดี
มันจะง่ายขึ้นเยอะ คุณไม่ต้องคิด
เลขในใจ แปลงตัวคูณ, หารด้วยสอง
เวลาคิดเรเดียนในหน่วยของไพ ไม่ต้องเลย
ตอนคุณคิดในรูปของ เทา เรเรดียน มันเป็นธรรมชาติ หนึ่ง
รอบก็คือ หนึ่งเทาเรเดียน และมันทำให้ฟังก์ชัน
ไซน์ตรงนี้, แทนที่จะเขียน ไพ ส่วน 2
ตอนคุณดูกราฟ, นี่อยู่ตรงไนบน
วงกลมหน่วย? มันผ่านไป 1/4 ของวงกลม หรือมันอยู่ตรงครึ่งหนึ่ง?
ที่จริงนี่คือหนึ่งในสี่ของวงกลม
คุณอยู่ตรงนี้, แต่ตอนนี้มันกลายเป็นชัดเจนหากคุณ
เขียนมันในรูปของเทา เพา ไพ -- ไม่ใช่เพา -- ไพส่วน 2 ก็
เหมือนกับ เทาส่วน 4, ไพ ก็เหมือนกับเท่าส่วน 2
2 ไพส่วน 2 คือ 3 ไพ -- โทษที 3 เท่าส่วน 4, 3/4 เทา แล้ว
หนึ่งรอบพอดีคือเทา แล้วทันใดนั้น
เวลาคุณดูอย่างนี้, คุณก็รู้ทันที
ว่าคุณอยู่ตรงไหนบนวงกลมหน่วย คุณอยู่ตรง 1/4 ของวงกลมหน่วย
คุณอยู่ครึ่งหนึ่งของวงกลมหน่วย คุณอยู่ตรง
3/4 รอบวงกลมหน่วย แล้วคุณก็เดิน
ครบวงกลมหน่วย และอย่างสุดท้ายที่ผมคิดว่า
คนที่ปกป้องไพสุดตัวจะบอกว่า "ดูสิ, ซาล
คุณเพิ่งแสดงหนึ่งในสมการ
หรือสูตรที่สวยที่สุดในคณิตศาสตร์ไป เทาจะทำยังไง
กับสูตรนี้?" เอาล่ะลองดูว่าเกิดอะไรขึ้น
หากเราเอา e กำลัง i เทา มันจะ
ได้โคไซน์เทาบวก i ไซน์ของเทา และเหมือนเดิม
ลองคิดดูว่ามันคืออะไร เทาเรเดียนหมายถึง
เราวิ่่งครบวงกลมหน่วยหนึ่งรอบ
ดังนั้นโคไซน์ของเทา -- จำไว้ เรากลับไปที่
จุดเริ่มต้นของวงกลมหน่วยนี่ตรงนี้, ดังนั้นโคไซน์ของเทา
จะเท่ากับ 1 แล้วไซน์ของเทาเท่ากับ 0
ไซน์ของเทาเป็น 0 ดังนั้น e กำลัง i เทาเท่ากับ 1
และเราปล่อยให้คุณตัดสินใตแล้วกันว่า
สูตรไหนดูลึกซึ้งสวยงามกว่ากัน