Tip:
Highlight text to annotate it
X
-
เกมไพ่เกมหนึ่งใช้ไพ่ 36 ใบไม่ซ้ำกัน มีสี่ดอก, ข้าวหลามตัด,
โพธิ์แดง, ดอกจิก และโพธิ์ดำ -- นี่ควรเป็น spades, ไม่ใช่
spaces -- โดยไพ่มีตัวเลข 1 ถึง 9 ในแต่ละดอก
เราหยิบไพ่ขึ้นมามือหนึ่ง
มือหนึ่งประกอบด้วยไพ่ 9 ใบ, ซึ่งเรียงยังไก็ได้
ตามแต่ผู้เล่นจะเลือก
ใช้ได้
มีจำนวนมือถือไพ่ 9 ใบที่เป็นไปได้กี่แบบ?
ลองคิดกันดู
มันมีไพ่ 36 ใบไม่ซ้ำกัน -- และผมจะไม่คิดมาก, คุณก็รู้,
มันมีเลข 9 ตัวในแต่ละดอก, และมันมี 4
ดอก, 4 คูณ 9 ได้ 36
แต่ลองคิดว่าไพ่เป็นเลข 1 ถึง 36 แล้วกัน,
เราจะเลือกออกมา 9 ใบ
อย่างแรกเราบอกว่า, ทีนี้, ลองดู, มันมีช่อง 9 ช่อง
ในมือผม, จริงไหม?
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
จริงไหม?
ผมจะเลือกไพ่ 9 ใบขึ้นมาในมือ
แล้วไพ่ใบแรก, มีไพ่ที่ผมเลือกได้
ทั้งหมดกี่ใบ?
ทีนี้, มันมีไพ่ 36 ใบต่างกัน, ดังนั้นสำหรับช่องแรก,
มันมี 36 ใบ
แต่นั่นกลายเป็นใบหนึ่งในมือผมแล้ว
ทีนี้พอช่องที่สอง, จะเหลือไพ่กี่ใบ
ที่เลือกได้?
ทีนี้, ผมเลือกไปแล้วหนึ่ง, มันจึงเหลือ
แค่ 35 ใบให้เลือก
แล้วก็ช่องที่สาม, 34, แล้วก็
ทำต่อไป
แล้วก็ 33 ใบให้เลือก, 32, 31, 30, 29 และ 28
คุณอาจบอกว่ามันคือ 36 คูณ 35, คูณ
34, คูณ 33, คูณ 32, คูณ 31, คูณ 30, คูณ 29, คูณ
28 เป็นจำนวนมือที่เป็นไปได้
ทีนี้, นี่เป็นจริงถ้าลำดับสำคัญ
นี่เป็นจริงถ้าผมมีไพ่ 15 ตรงนี้
บางทีผมมี -- ขอผมใส่ตรงนี้นะ -- บางทีผมมี 9 โพธิ์ดำ
ตรงนี้, แล้วผมก็ไพ่อื่นอีก
บางทีผมมี -- นี่คือมือหนึ่ง
แล้วผมมีอีกมือหนึ่ง
ผมมีไพ่, 1, 2, 3, 4,
5, 6, 7, 8
ผมมีไพ่อีก 8 ใบ
หรือบางทีผมอาจมีไพ่ 8 ใบ คือ 1, 2, 3,
4, 5, 6, 7, 8 แล้วผมก็มี 9 โพธิ์ดำ
ถ้าเราคิดถึงมือสองแบบ,
เนื่องจากเรามีไพ่เหมือนกันหมด, แต่พวกมัน
มีลำดับต่างกัน, แล้วสิ่งที่ผมคำนวณ
ก็ฟังดูด๊, เพราะเราทำจากลำดับ
แต่เขาบอกเราว่าไพ่เรียงได้
ตามที่ผู้เล่นเลือก, ดังนั้นลำดับจึงไม่สำคัญ
เรานับเกินไป
เรากำลังนับวิธีต่างๆ ทุกวิธีที่
ไพ่แบบเดียวกันเรียงไปมาได้
ดังนั้นเพื่อไม่ให้นับเกิน, เราจะหารนี่ด้วย
จำนวนวิธีที่เราเรียงไพ่ 9 ใบใหม่ได้
เราจึงต้องหารนี่ด้วยจำนวนวิธีที่เรียง
ไพ่ 9 ใบได้
แล้วไพ่ 9 ใบเรียงกันเองได้กี่วิธี?
ถ้าผมมีไพ่ 9 ใบ และผมเลือกไพ่ 1 ใน 9 ใบ
มาอยู่ในช่องแรก, ทีนี้, มันหมายความว่าผมมีวิธี
ใส่ลงในช่องแรก 9 วิธี
แล้วในช่องที่สอง ผมมีวิธีใส่ไพ่ได้ 8 วิธี
ในช่องที่สอง, เพราะผมใช้หนึ่งใบไป
ตอนแรก, ผมจึงเหลือ 8 ใบ
แล้ว 7, แล้ว 6, แล้ว 5, แล้ว 4, แล้ว 3, แล้ว 2, แล้ว 1
ในช่องสุดท้าย, มันมีไพ่ 1 ใบ
เหลือไว้ให้ใส่
แล้วจำนวนนี่ตรงนี้, ตอนคุณเอา 9 คูณ 8,
คูณ 7, คูณ 6, คูณ 5, คูณ 4, คูณ 3, คูณ 2,
คูณ 1, หรือ 9 -- คุณเริ่มที่ 9 แล้วคุณคูณม้นด้วย
จำนวนทุกตัวน้อยกว่า 9
ทุกตัว, ผมว่าเราบอกได้ว่า, จำนวนธรรมชาติทุกตัวที่น้อยกว่า 9
นี่เรียกว่า 9 แฟคทอเรียล และคุณเขียนมันด้วย
เครื่องหมายตกใจ
แล้วถ้าเราอยากคิดถึงวิธีต่างๆ ทั้งหมดที่
เราสามารถจัดหมู่แบบต่างๆ ทั้งหมดสำหรับไพ่
ในมือ, นี่คือจำนวนมือถ้าเราสนใจ
ลำดับ, แต่เราอยากหารมันด้วยจำนวนวิธี
ที่เราเรียงในมือได้ เราจะได้ไม่นับเกิน
นี่ก็จะเป็นคำตอบ และนี่จะ
เป็นคำตอบที่ถูกต้อง
นี่คือเลขที่เยอะมากๆ สุดๆ
ลองหาว่าเลขนี้มากแค่ไหน
เรามี 36 -- ขอผมเลื่อนลงไปหน่อย -- 36
คูณ 35, คูณ 34, คูณ 33, คูณ 32, คูณ 31, คูณ 30,
คูณ 29, คูณ 28, หารด้วย 9
ทีนี้, ผมทำแบบนี้ได้
ผมใส่ในวงเล็บ -- หารด้วยวงเล็บ, 9
คูณ 8, คูณ 7, คูณ 6, คูณ 5, คูณ 4, คูณ 3,
คูณ 2, คูณ 1
ทีนี้, หวังว่าเครื่องคิดเลขคงคิดไหว
มันให้ตัวเลขเรามาเป็น 94,143,280
ขอผมเขียนไว้ด้านนี้, ผมจะได้อ่านได้
เลขนี่ตรงนี้ออกมาเป็น 94,143, 280
นั่นคือคำตอบของโจทย์นี้
มันมีจำนวนมือแบบ 9 ใบทั้งสิ้น
94,143,280 ในกรณีนี้
ทีนี้, เราเพิ่งทำไป
เราให้เหตุผลจนจบไป
แต่มันมีสูตรที่ทำแบบเดียว
กันเป๊ะ
และวิธีที่เขาเขียนบอกสูตรนี้คือบอกว่า, ลองดู,
เรามีของ 36 อย่างและเราเลือก 9 อย่างออกมา
จริงไหม?
และเราไม่สนใจลำดับ, บางครั้งมันเขียนว่า
n เลือก k
ขอผมเขียนแบบนี้นะ
เราทำอะไรตรงนี้ไป?
เรามีของ 36 อย่าง
เราเลือก 9
ตัวเศษนี่ตรงนี้, มันคือ 36 แฟคทอเรียล
แต่ 36 แฟคทอเรียลไล่ไปจนถึง 27, 26, 25
มันไปเรื่อยๆ
แต่เราหยุดห่างจาก 36 ไป 9
นี่ก็คือ 36 แฟคทอเรียล, แล้วส่วนนี่ตรงนี้,
ส่วนนั่นตรงนั้น, ไม่ใช่แค่ 36 แฟคทอเรียล
มันคือ 36 แฟคทอเรียลหารด้วย 36, ลบ 9 แฟคทอเรียล
แล้ว 36 ลบ 9 ได้อะไร?
มันคือ 27
ได้ 27 แฟคทอเรียล -- ลองคิดนี่ดู -- 36
แฟคทอเรียล, มันก็คือ 36 คูณ 35, คุณคูณเรื่อยไป
คูณ 28 คูณ 27, ลงไปจนถึง 1
นั่นคือ 36 แฟคทอเรียล
ทีนี้ 36 ลบ 9
แฟคทอเรียลคืออะไร มันคือ 27 แฟคทอเรียล
แล้วถ้าคุณหารด้วย 27 แฟคทอเรียล, 27 แฟคทอเรียล คือ 27
คูณ 26, ลงไปจนถึง 1
ทีนี้, นี่กับนี่เหมือนกันเป๊ะ
นี่คือ 27 คูณ 26, แล้วนั่นกับนั่นก็ตัดกัน
ถ้าคุณคิด 36 หารด้วย 36, ลบ 9 แฟคทอเรียล, คุณจะได้
9 เทอมแรกสุด ใหญ่สุดของ 36 แฟคทอเรียล
ซึ่งก็คือสิ่งที่เรามีตรงนี้
มันคืออันนั้น
แล้วเราหารมันด้วย 9 แฟคทอเรียล
-
และนี่ตรงนี้ เรียกว่า 36 เลือก 9
บางครั้งที่คุณจะเห็นสูตรนี้เขียน
แบบนี้, n เลือก k
และเขาจะเขียนสูตรนี้ว่า n แฟคทอเรียล ส่วน n
ลบ k แฟคทอเรียล, แล้วตัวส่วน, k แฟคทอเรียล
และนี่คือสูตรทั่วไปถ้าคุณมีของ n สิ่ง, และ
คุณอยากหาวิธีเลือกของ
k สิ่งจากของ n สิ่งนั้นว่าได้กี่วิธี และคุณ
ไม่สนใจลำดับ
สิ่งที่คุณสนใจคือว่า k ใดที่คุณเลือกไปบ้าง, คุณ
ไม่ใส่ใจลำดับที่คุณเลือกของ k สิ่งนั้นขึ้นมา
นั่นก็คือสิ่งที่เราทำตรงนี้