Tip:
Highlight text to annotate it
X
สิ่งที่ผมอยากทำในวิดีโอนี้คือพูดถึงเรื่องความต่อเนื่อง
ความต่อเนื่องของฟังก์ชันเป็นสิ่งที่สังเกตได้ค่อนข้างง่ายเวลาคุณมองมัน
แต่เราจะพูดถึงว่าเรานิยามมันอย่างไรให้รัดกุมด้วย
เมื่อผมพูดคำว่า "สังเกตเห็นได้ง่าย"
ขอผมวาดแกน y, นั่นคือแนก x
... และถ้าผมวาดฟังก์ชัน, สมมุติว่าฟังก์ชัน f(x) เป็นแบบนี้
ผมจะบอกว่า ตลอดช่วงที่ผมวาดมันมา...
มันดูเหมือนว่าจาก x=0 ถึงจุดนี่ตรงนี้
ฟังก์ชันนี้ต่อเนื่องหรือเปล่า? ทีนี้, คุณอาจบอกว่า "ไม่, มันไม่ต่อเนื่อง"
ดูสิ, ตรงนี้เราเห็นว่าฟังก์ชันกระโดดในทันใด
จากจุดนี้ถึงจุดนี่ตรงนี้
นี่ ไม่ ต่อเนื่อง
คุณอาจบอกได้ว่า เรามีความไม่ต่อเนื่อง ตรงค่า x นี่ตรงนี้
เราเรียกมันว่า ความไม่ต่อเนื่อง
และความไม่ต่อเนื่องประเภทนี้ เราเรียกมันว่าความไม่ต่อเนื่องแบบ "กระโดด"
คุณก็บอกได้ว่านี่ไม่ต่อเนื่อง มันชัดเจนว่าสองตัวนี้ไม่ต่อกัน
มันไม่แตะกัน
เช่นเดียวกัน, ถ้าคุณดูฟังก์ชันที่เป็นแบบว่า -- ขอผมวาด
y กับ x อีกชุดนะ. และสมมุติว่าฟังก์ชันมีหน้าตาแบบนี้... บางที
ตรงนี้, มันเป็นแบบนี้. แล้วฟังก์ชันนิยามตรงจุดนี้
ตรงนี้
ฟังก์ชันนี้ต่อเนื่องตลอดช่วงที่ผมวาดตรงนี้หรือเปล่า
และคุณก็บอกทันทีว่า "ไม่ ไม่ต่อเนื่อง" เพราะตรงนี้ ตรงจุดนี้ ฟังก์ชันขึ้นไปยังจุดนี้
แบบนี้, ความไม่ต่อเนื่องแบบนี้
.. มันเรียกว่าความไม่ต่อเนื่อง "แบบกำจัดได้"
บางคนอาจบอกว่านี่ดูเหมือนการกระโดดเหมือนกัน แต่นี่มักถูกจัดว่าเป็นแบบกำจัดได้
... เพราะถ้าคุณนิยามฟังก์ชันใหม่ ให้มันไม่ขึ้นไปตรงนี้...
.. แต่อยู่ตรงนี้แทน, ฟังก์ชันก็จะต่อเนื่อ. คุณเลยสามารถ...
... กำจัดความไม่ต่อเนื่องได้
และสุดท้ายถ้าผมวาดฟังก์ชันอีกอันหนึ่ง
ขอผมวาดอีกอันตรงนี้นะ. x,y
แล้วถามคุณว่า "อันนี้ต่อเนื่องตลอดช่วงที่ผมวาดหรือเปล่า"
แล้วคุณบอกว่า "อืม, ใช่, มันเชื่อมต่อกันหมด. มันไม่มีการกระโดดตรงนี้...
หรือควาไม่ต่อเนื่องที่กำจัดได้ใดๆ. มันดูต่อเนื่องจริงๆ"
ต่อเนื่อง. แล้วคุณก็พูดถูก
นั่นคือลักษณะของความต่อเนื่อง
และคุณบอกได้เวลาคุณเห็นมัน
แต่ลองคิดนิยามที่ชัดเจนสักหน่อย
เและเนื่องจากเราได้นิยามคำว่าลิมิตแล้ว..
ตามนิยามเอปซิลอน-เดลต้า, ทำให้เรามีความหมายของลิมิตชัดเจน
เราจึงสามารถพิสูจน์ได้ว่าลิมิตมีจริงเมื่อไหร่ และค่าของลิมิตเป็นเท่าใด
ลองใช้สิ่งนั้นมานิยามความต่อเนื่องให้ชัดเจนกัน
ลองคิดถึงฟังก์ชันตลอดช่วงช่วงหนึ่งกัน
สมมุติว่าเรามี.. ขอผมวาดฟังก์ชันอีกอันนะ
ขอผมวาดฟังก์ชันอันหนึ่ง
แล้วเราจะเห็นว่านิยามของความต่อเนื่องที่รัดกุมขึ้น จะเข้ากับตอนที่เราเห็นของพวกนี้ตรงนี้หรือไม่
ขอผมวาดช่วงขึ้นมา. ตรงนี้.
มันอยู่ระหว่างค่า x นี้กับค่า x นั้น. นี่คือแกน x และนี่คือแกน y
และขอผมวาดฟังก์ชันตลอดช่วงนั้น
มันออกมาเป็นแบบนี้
แล้วเราบอกว่าฟังก์ชันนั้นต่อเนื่องตรงจุดข้างในจุดหนึ่ง
คำว่า "จุดข้างใน" คือจุดที่ไม่ได้อยู่ตรงขอบ
นี่คือจุดภายในจุดหนึ่งในช่วงของผม
นี่ก็คือจุดปลาย และนี่คือจุดปลายเหมือนกัน
เราบอกว่ามันต่อเนื่อง ณ จุดภายในจุดหนึ่ง
ภายในช่วงของผม, หมายความว่า
ลิมิตที่จุดภายใน c
นี่ก็คือจุด x=c
เราบอกได้ว่ามันต่อเนื่องตรงจุดข้างใน c ถ้าลิมิตของ...
ฟังก์ชันเรา -- นี่คือฟังก์ชันของเราตรงนี้ -- ว่า x...
เข้าใกล้ c เท่ากับค่าของฟังก์ชันนั้น
ทีนี้, มันสมเหตุสมผลหรือเปล่า?
ตรงนี้, สิ่งที่เราบอกคือว่า จุดนั้น -- ทีนี้นี่คือ f(c) อยู่ตรงนี้ --
และลิมิตเมื่อเราเข้าใกล้มัน ก็เหมือนกับค่าของฟังก์ชัน
ซึ่งเข้าท่ามาก
ทีนี้ลองคิดดูว่าเจ้าพวกนี้ต่อเนื่องหรือเปล่า, หากคิดตามนิยามนั้น
ทีนี้, ตรงนี้, สมมุติว่านี่คือจุด c ของเรา
f(c) อยู่ตรงนี้
นั่นคือ f(c). ทีนี้มันจริงหรือเปล่าที่ลิมิต
ของ f(x), เมื่อ x เข้าใกล้ c, เท่ากับ f(c)
ทีนี้, ถ้าเราหาลิมิตของ f(x), เมื่อ x เข้าใกล้ c จากทิศบวก
มันดูเหมือนกับ f(c)
แต่ถ้าเราหาลิมิต, นี่ไม่เท่ากับ, มันไม่เท่ากับ, ลิมิต
ของ f(x) เมื่อ x เข้าใกล้ c จากทิศลบ
เมื่อเราไปจากทิศลบ, เราไม่ได้เข้าหา f(c) แล้ว
ดังนั้น, นี่จึงไม่เป็นจริง
ในการทำให้ลิมิตเท่ากับ f(c), ลิมิตจากทั้งสอง
ข้างต้องเท่ากับมัน. และกรณีนี้มันไม่ใช่
เจ้านี่จึงไม่ผ่านเงื่อนไขตามนิยามทางการของเรา
ซึ่งดีแล้ว, เพราะเราเห็นด้วยภาพไปแล้วว่าอันนี้ไม่ต่อเนื่อง
แล้วเจ้านี่ตรงนี้ล่ะ
ขอผมตั้งมันใหม่นะ. ขอผมทำให้แน่ใจว่ามันมีรูตรงนี้.
เราเห็นได้ตรงนี้.. ว่าลิมิตคืออไร -- และนี่คือ c ของเราตรงนี้ -- ลิมิต...
ของ f(x) เมื่อ x เข้าใกล้ c,
สมมุติว่ามันเท่ากับ L
แล้วล เราเห็นลิมิตนี่มาก่อนหลายครั้งแล้ว
นั่นคือ L ตรงนั้น
มันชัดเจนแค่ดูตรงนี้ ว่า L ไม่เท่ากับ f(c)
เจ้านี่ตรงนี้
... คือ f(c)
และเหมือนเดิม, นี่ไม่ผ่านเงื่อนไขของเรา
ลิมิตของ f(x), เมื่อ x เข้าใกล้ c, ซึ่งคือเจ้านี่ตรงนี้,
ไม่เท่ากับ f(c). ดังนั้นมันจึงไม่ผ่านเงื่อนไขของเรา
แล้วตรงนี้, จุดภายในใดๆ ผ่านเงื่อนไขของเรา
ลิมิต, เมื่อ x เข้าใกล้ค่านี้, แน่นอนว่าเท่ากับค่าฟังก์ชัน ณ จุดนั้น
มันดูใช้ได้ทุกจุด
ทีนี้ ลองให้นิยามสำหรับจุดที่อยู่ตรงขอบบ้าง
นี่คือความต่อเนื่องสำหรับจุดข้างใน
ลองคิดถึงความต่อเนื่อง -- ผมจะทำตรงนี้นะ -- ที่จุดปลาย c บ้าง
ลองพิจารณาจุดปลายทางซ้ายก่อน
ถ้าจุดปลายทางซ้าย -- ผมกำลังพูดถึง "จุดปลายทางซ้าย" ผมหมายถึงอะไร?
ขอผมวาดแกนก่อน. แกน x. แกน y.
ขอผมวาดช่วงด้วย
นี่ก็คือจุดปลายทางซ้ายของช่วงผม. นี่คือจุดปลายทางขวาของช่วงผม
และขอผมวาดฟังก์ชันตลอดช่วงนั้น
เป็นแบบนี้
แล้วเรากำลังพูดถึงจุดปลายทางซ้าย, เรากำลังพูดถึงค่า c ตรงนี้
มันคือจุดปลายทางซ้าย
แล้วถ้าเราพูดถึงจุดปลายทางซ้าย, เราต่อเนื่องที่จุด c หมายความว่า...
หรือเราบอกว่า ความต่อเนื่องที่จุดปลายทางซ้าย c หมายความว่า...
ลิมิตของ f(x) เมื่อ x เข้าใกล้ c --
ตรงนี้เราเข้าใกล้ c ทางซ้ายไม่ได้, เราต้องเข้าหาจากทางขวา
เท่ากับ f(c)
แล้วนี่ก็เป็นเหมือนกับ -- เราเข้าหาได้จากทางเดียว
เราไม่สามารถบอกได้จริงๆ ว่าลิมิตโดยทั่วไปคืออะไร, แต่เราหาลิมิตจากข้างหนึ่งได้
มันก็เหมือนกับสิ่งที่เราบอกสำหรับจุดภายใน
และเราเห็นตรงนี้, มันใช่สำหรับกรณีที่ x เข้าใกล้ c
ฟังก์ชันเราเข้าหาจุดนี่ตรงนี้
.. ซึ่งเท่ากับ f(c) พอดี
เราจึงต่อเนื่องตรงจุดนั้น
แล้วตัวอย่างจุดปลายที่ไม่ต่อเนื่องตรงจุดปลายคืออะไร?
ทีนี้, ผมสามารถจินตนาการกราฟที่เป็นแบบนี้ได้
นี่คือช่วงของเรา
และฟังก์ชันของเรา แล้วที่ c มันเป็นแบบนั้น. มันมีรูเล็กๆ ตรงนี้
หรือไม่มีรู, ฟังก์ชันนี้มีความต่อเนื่องแบบกำจัดได้ตรงนี้
หรืออย่างน้อยมันก็เป็นอย่างนั้นเมื่อดูจากภาพ
คุณดูจากภาพ, ก็บอกได้ว่ามันไม่ผ่านเงื่อนไข
เพราะลิมิต, เมื่อเราเข้าใกล้ c จากทิศบวก
อยู่ตรงนี้
นั่นคือลิมิต
แต่ f(c) อยู่บนนี้
ดังนั้น f(c) ไม่เท่ากับลิมิตเมื่อ x เข้าใกล้ c จากทิศบวก
นี่จึงไม่ต่อเนื่อง
และคุณก็จินตนการได้ว่า สิ่งที่เราทำ ถ้าเราเจอจุดปลายทางขวา
เราก็บอกว่า เราต่อเนื่องที่จุดปลายทางขวา c ถ้า
ขอผมวาดมันนะ
ผมจะพยายามวาดให้ดีที่สุดแล้วกัน
นี่ก็คือแกน x. นี่คือแกน y
ขอผมวาดช่วงผมก่อน
อันที่ผมสนใจ
จุดปลายทางขวาหมายถึงจุด c นี่ตรงนี้
เราบอกได้ว่า เราต่อเนื่องที่... ฟังก์ชันต่อเนื่องที่...
x เท่ากับ c หมายความว่าลิมิตของ f(x)...
เมื่อ x เข้าใกล้ c -- ตอนนี้เราไม่ได้เข้าใกล้มันจากทั้งสองด้านแล้ว
เราเข้าหามันได้จากทางซ้ายมืออย่างเดียว
เมื่อ x เข้าใกล้ c จากทิศลบ
เราบอกได้ว่า, ถ้ามันเป็นจริง, แล้วนี่แปลว่า
เราต่อเนื่องที่จุดปลายทางขวา c
และในทางกลับกัน
แล้วกรณีที่เราไม่ต่อเนื่องล่ะ?
เราก็สามารถนึกภาพเจ้านี่นิยามตรงจุดนั้น
คุณก็บอกว่าฟังก์ชันกระโดด
แบบที่เราทำตรงนี้
ผมย้ำอีกที, ความต่อเนื่อง -- ไม่เรื่องเกินหยั่งถึงอะไร
เมื่อไหร่ที่คุณเห็นฟังก์ชันที่กระโดดทันที
หรือมีช่องว่างข้างนั้น, มันก็พอบอกได้ว่า
ฟังก์ชันไม่ต่อเนื่องตรงนั้น
มันไม่ต่อเนื่อง
แต่สิ่งที่เราทำในวิดีโอนี้ คือเราใช้ลิมิต
มานิยามคำว่าต่อเนื่องให้ชัดเจนขึ้นนั่นเอง