Tip:
Highlight text to annotate it
X
ในวิดีโอที่แล้ว เราได้หาความน่าจะเป็น
ที่จะได้หัว 3 ครั้งพอดี
ตอนที่เราโยนเหรียญที่เที่ยงตรง 5 ครั้ง
สิ่งที่ผมอยากทำในวิดีโอนี้
คือคิดในกรณีที่ทั่วไปกว่าเดิม
เราจะเริ่มด้วยเหรียญที่เที่ยงตรง
เราจะเห็นว่าเราไม่ต้องสมมุติอย่างนั้นก็ได้
แต่สิ่งที่ผมอยากทำคือหาความน่าจะเป็น
ที่ได้จากหัว K ครั้งจากการโยน N ครั้งสำหรับเหรียญที่เที่ยงตรง
อย่างแรกที่เราต้องคิดคือ
มีความเป็นไปได้ทั้งหมดเท่าไหร่
ทีนี้มันมีการโยน n ครั้ง
และมันมีการโยนครั้งที่ 1, ครั้งที่ 2, ครั้งที่ 3,
ไปจนถึงครั้งที่ n
และนี่คือเหรียญที่เที่ยงตรง, ดังนั้นในการโยนแต่ละครั้ง
มีความเป็นไปได้ที่มีโอกาสเท่าๆ กันอยู่ 2 อย่าง
ดังนั้นจำนวนความเป็นไปได้ทั้งหมดจะ
เป็น 2 คูณ 2... n ครั้ง
นี่จึงเท่ากับความเป็นไปได้ 2 กำลัง n อย่าง
ทีนี้ลองคิดว่าในบรรดาพวกนี้,
ความเป็นไปได้ซึ่งมีโอกาสเกิดขึ้นเท่าๆ กันเหล่านี้
นี่คือเหรียญที่เที่ยงตรง
ลองคิดดูว่ามีความเป็นไปได้ซึ่งมีโอกาสเกิดขึ้นเท่าๆ กัน
พวกนี้กี่อัน ที่มีหัว k ครั้ง
อย่างที่เราทำก่อนหน้านี้
เราคิดถึงหัว 3 ครั้ง
เราบอกว่า "ดูสิ, หัวอันแรกของหัว k ครั้ง
เราเอาไปใส่ไว้ในช่องต่างๆ กันได้กี่ช่อง"
ตรงนี้หัวอันแรกจาก k หัว ลงไปใน
ที่ว่าง n ที่ต่างๆ กัน, จริงไหม?
มันอาจเป็นครั้งที่ 1, ครั้งที่ 2,
ไปจนถึงครั้งที่ n
แล้วหัวที่สองในบรรดาหัว k ครั้ง,
เราไม่รู้ว่า k เป็นเท่าไหร่
แต่เรามีความเป็นไปได้ n ลบ 1 อย่าง
แล้วหัวที่สามในบรรดาหัว k ครั้งนั้น จะมีความ
เป็นไปได้ n ลบ 2 อย่าง
เนื่องจากที่ว่าง 2 ที่ถูกใช้ไปแล้ว
และเราจะทำอย่างนี้จนกระทั่ง
เรานับให้หัว k ครั้งจนหมด
นี่จึงลงไปเรื่อยๆ,
เราจะคูณ จำนวนวิธี
ที่เราคูณจะเป็น k
แทนแต่ละหัวจาก k หัว
นี่คือ 1, 2, 3,
แล้วคุณก็ทำไปจนถึง k ลบ 1
คุณอาจลองดูสำหรับเลข 5 ก็ได้
เมื่อ n เป็น 5, และ k เป็น 3ฅ
นี่ออกมาเป็น 5 คูณ 4 คูณ,
ที่จริงเราต้องไปถึง, คูณ 3,
นั่นคือเทอมนี่ตรงนี้
ผมทำกรณีนี้ยากกว่าหน่อย,
โดย k เป็นเลขที่มากกว่าหน่อย
เพราะเจ้านี่ตรงนี้คือ 5 ลบ 3
นี่คืออันนี่ตรงนี้
เพื่อไม่ให้คุณงง,
ขอผมเขียนแบบนี้แล้วกัน
คุณจะมีที่ว่าง n ที่สำหรับหัวอันแรก
N ลบ 1 ที่สำหรับหัวอันที่สอง
แล้วคุณก็ทำไปเรื่อยๆ และคุณจะได้
ของที่ต้องคูณทั้งหมด k ตัว
และตัวสุดท้ายจะมีความเป็นไปได้ n-(k-1) อย่าง
และตอนนี้หวังว่ามันจะช่วยโยงให้เห็น
สิ่งที่เราทำกับการโยน 5 ครั้งและหัว 3 ครั้งแล้วนะ
เพราะตรงนี้ มันมีความเป็นไปได้ 5 อย่างสำหรับหัวอันแรก
4 อย่างสำหรับหัวอันที่สอง -- และเนื่องจาก n คือ 5
5-2 เท่ากับ 3 อย่างสำหรับหัวอันสุดท้าย
เจ้านี่จึงใช้ได้จริง นี่คือจำนวนช่อง
ที่ -- หรือจำนวนวิธีที่เราสามารถใส่ได้
เราสามารถใส่หัวเหล่านั้นลงไปในพวกนั้น,
หรือเราสามารถใส่หัว 3 อันลงใน
ถังแตกต่างกัน 5 อันได้
ทีนี้เช่นเดียวกับในวิดีโอที่แล้ว,
เราไม่อยากนับเกิน
เพราะเราไม่สนใจลำดับ
เราไม่อยากแยกการเรียงหัวต่างๆ กันออกไป
-- และผมจะใช้ตัวอักษร
เพื่อแยกหัวออกจากกัน --
เราไม่อยากแยกกรณีนี้ จากกรณีนี้
จากอันนี้: หัว A, หัว B, หรือลำดับอื่นใดของอันนี้
สิ่งที่เราต้องทำก็คือ เราต้องหารเจ้านี่
เราต้องหารตัวเลขเหล่านี้เพื่อเรา
จะได้ไม่นับการเรียงลำดับต่างๆ กันเหล่านี้
เราต้องหารพวกนี้ด้วยจำนวนวิธีต่างๆ
ที่คุณเรียงของ k อย่างได้,
วิธีต่างๆ ที่คุณสามารถเรียงของ k อย่างได้
แล้วถ้าคุณมีของ k อย่าง, คุณก็รู้, หนึ่งอย่าง, สองอย่าง
ไปจนถึง k อย่าง คุณเรียงมันได้กี่วิธี?
ทีนี้, อย่างแรกอยู่ในตำแหน่งแตกต่างกัน k ตำแหน่ง
หรือบางทีผมอาจทำแบบนี้ได้ บางทีผมจะใช้ ของ 1,
T แทนของ (thing), ของ 1, ของ 2, ของ 3, ไปจนถึงของ k
มีวิธีเรียงมันแตกต่างกันได้กี่วิธี?
ทีนี้ของ 1 มีตำแหน่ง k ตำแหน่งต่างๆ ให้ลง
แล้วของ 2 จะมีตำแหน่ง k ลบ 1 ตำแหน่ง
แล้วไล่ไปจนถึงอันสุดท้าย
มีแค่ 1 ตำแหน่ง
นี่จึงเท่ากับ k คูณ k ลบ 1, คูณ k ลบ 2,
ไปจนถึง 1
และในตัวอย่างที่เรามีหัว 3 ครั้งจากการโยน 5 ครั้ง,
มันได้ 3 คุณ 2 ลงไปจนถึง 1 -- 3 คูณ 2 คูณ 1
แล้วมันมีวิธีเขียนให้ง่ายกว่านี้ไหม?
ทีนี้ พจน์นี่ตรงนี้,
นี่ก็เหมือนกับ k แฟคทอเรียล
และถ้าคุณไม่เคยได้ยินว่าแฟคทอเรียลคืออะไร,
มันก็คือเจ้านี่ตรงนี้เลย
k! (k แฟคทอเรียล) หมายถึง k คูณ k ลบ 1 คูณ k ลบ 2,
ไปจนถึง 1
ตัวอย่างเช่น, 2! เท่ากับ 2 คูณ 1
แล้ว ที่จริงมันเป็นเรื่องสนุกที่น่าลอง,
แฟคทอเรียลโต,เร็วมากๆๆๆ
เอาล่ะ, ตัวส่วนนี่ตรงนี้
สามารถเขียนเป็น k แฟคทอเรียลได้
และมันมีวิธีเขียนตัวส่วนนี่
ในรูปแฟคทอเรียล
ถ้าเราเขียนเป็น n!, ขอผมดูหน่อยว่าเราเขียนเจ้านี่ได้ไหม
ถ้าเราจะเขียน n!
ขอผมหาที่ตรงนี้หน่อย
แล้ว n! จะเท่ากับ n คูณ n ลบ 1, คูณ n ลบ 2,
ไปจนถึง 1, นั่นคือสิ่งที่เราอยากได้
เราอยากได้แค่ k เทอมแรกของมัน
แล้วถ้าเราหารมันด้วย
ลองหารมันด้วย (n-k)! ดู
ลองคิดดูว่ามันจะทำอะไร
ถ้าเรามี (n-k)! นั่นก็เหมือนกับ,
ผมต้องจัดรูปพีชคณิตนิดหน่อยตรงนี้
ตรงนี้,
นั่นก็เหมือนกับ n ลบ k,
ไปจนถึง 1 ถ้าคุณหารนี่,
1 นี่จะตัดไป
และสิ่งที่คุณอาจสังเกตหรือไม่ก็ตาม คือว่า
-- คุณคิดเลขออกมาก็ได้ -- ทุกอย่างจะ
ตัดกันตรงนี้จนกระทั่งคุณเหลือแค่, ข้างบนนี้,
ทุกอย่างจาก n คูณ n-1 ไปจนถึง n-(k-1)
เพราะถ้าคุณกระจายมันออกมา,
ถ้าคุณกระจายเลขลบนี่ออกมา
นี่ก็เหมือนกับ n ลบ k บวก 1
แล้ว n ลบ k บวก 1 ก็คือจำนวนเต็มที่มากกว่า
เจ้านี่ตรงนี้อยู่ 1
แล้วถ้าคุณหารออกมา, นี่จะตัดกับบางอย่างข้างบนนี้
นี่ก็จะตัดกับข้างบนนี้
นี่ก็ตัดกับข้างบนนี้
แล้วเราก็จะเหลือ
เจ้านี่ตรงนี้พอดี
และถ้าคุณไม่เชื่อผม, เราก็ลองตัวเลขได้
ลองคิดถึง 5! ส่วน (5-3)! ดู
นี่จะเป็น 5 คูณ 4 คูณ 3 คูณ 2 คูณ 1
แล้วเจ้าพวกนั้นตรงนั้น, ไปจนถึง 1,
ส่วน 5 ลบ 3 ได้ 2, ส่วน 2!, 2 คูณ 1 แล้ว 2 ตัดกับ 2
1 ตัดกัน 1 คุณไม่ต้องกังวลเรื่องนั้น
แล้วคุณก็เหลือแค่ 5 คูณ 4 คูณ 3,
ตรงกับที่เรามีตรงนี้, 5 คูณ 4 คูณ 3
แล้ว, โดยทั่วไป, ถ้าคุณอยากหา
จำนวนวิธีที่จะใส่ของ 2 อย่างลงในเก้าอี้ 5 ตัว
และคุณไม่สนใจแยกความแตกต่างระหว่างของ 2 อยางนั้น
คุณก็ได้พจน์นี่ตรงนี้
ซึ่งก็เหมือนกับเจ้านี่ตรงนี้
คุณจะได้ n!/(n-k)!
แล้วคุณก็หารมัน
ด้วยพจน์นี่ตรงนี้
ซึ่งเราได้บอกไปแล้วว่าเหมือนกับ k!
คุณก็จะหารมันด้วย k!
แล้วคุณก็ได้วิธีทั่วไป
ในการหาจำนวนวิธีที่คุณใส่ของ 2 อย่าง
หรือจำนวนวิธีที่ผมควรบอก
ว่าจำนวนวิธีที่คุณสามารถใส่ของ k อย่าง
ลงในช่องต่างๆ กัน n ช่อง
หัว k ครั้งในการโยนต่างๆ กัน n ครั้ง
และวิธีการเขียน
นี่คือสูตรทั่วไปสำหรับสัมประสิทธิ์ทวินาม
วิธีเขียนอันนี้อีกอย่างคือ จำนวนวิธี
หากคุณมีช่อง n ช่อง,
คุณสามารถใช้ของ k อย่างลงในนั้น
โดยไม่แยกความแตกต่างของพวกมัน
หรือวิธีคิดอีกอย่างคือว่า
ถ้าคุณมีช่อง n ช่องหรือการโยน n ครั้ง
คุณอยากเลือกพวกมัน k อันให้เป็นหัว
หรือคุณอยากเลือกพวกมันมา k ตัวตามวิธีการหนึ่ง
แต่คุณไม่อยากแบ่งแยกพวกมัน
ทั้งหมดนี้ก็คือวิธีการได้มา
ซึ่งสัมประสิทธิ์ทวินาม
ลองกลับไปที่ปัญหาเดิมกัน:
ความน่าจะเป็นที่จะได้หัว k ครั้ง
จากการโยนเหรียญที่เที่ยงตรง n ครั้งเป็นเท่าไหร่?
ทีนี้มันมีความเป็นไปได้ซึ่งมีโอกาสเท่าๆ กันอยู่ 2 ยกกำลัง n อย่าง
ขอผมเขียนนี่ลงไปนะ
ความน่าจะเป็นในความเป็นไปได้ซึ่งมีโอกาสเท่ากัน
อยู่ 2 กำลัง n อย่าง
มีกี่อย่างในความเป็นไปได้พวกนี้ที่
ได้หัว k ครั้งพอดี?
เราเพิ่งหาได้ในวิดีโอนี้
นั่นคือจำนวนวิธีที่เป็นไปได้
ทีนี้ความน่าจะเป็นของ โอเค เรื่องนี้ท่องสูตรได้
แต่ผมจะบอกคุณตรงๆ ว่า, คุณก็รู้,
สาเหตุเดียวที่ผมยังรู้วิธีหาอันนี้
20 ปีหลังจากที่ผมเรียนครั้งแรก หรือเมื่อไหร่ที่ผมเจอมันครั้งแรกก็ช่าง
คือว่าผมชอบหาเหตุผลทุกครั้ง
ผมชอบเห็นมันตรงๆ
โอเค, ผมโยน 5 ครั้ง, 3 ครั้งต้องเป็นหัว
อันแรกมีช่องให้ลง 5 ช่องต่างๆ กัน
อันต่อไปมี 4 ช่องต่างกัน
แล้วอันต่อไปมี 3 ช่องต่างกัน
และแน่นอนผมไมอยากแบ่งแยก
ระหว่างกรณีต่างๆ ทั้งหมดนี้
ที่ผมเรียงของ 3 อย่างต่างกันได้
ผมต้องแน่ใจว่าผมหารด้วย 3! ด้วย
หารด้วย 3 คูณ 2 คูณ 1
ผมอยากแน่ใจว่าผมหาร
จำนวนวิธีต่างๆ
ที่ผมเรียงของสามอย่างต่างกันด้วย