Tip:
Highlight text to annotate it
X
-
ขอต้อนรับสู่การนำเสนอเรื่องอนุพันธ์ครับ
ผมว่าคุณคงพบกว่านี่คือตอนที่คณิตศาสตร์เริ่ม
สนุกขึ้นมากกว่าหัวข้อที่ผ่าน ๆ มา
งั้นเริ่มกันด้วยอนุพันธ์
ผมรู้ว่ามันฟังดูซับซ้อน
ที่จริง โดยทั่วไป หากผมมีเส้นตรง -- ขอผมดูหน่อยว่า
ผมจะวาดเส้นตรงดี ๆ ได้ไหม -- หากผมมี
เส้นตรง -- นั่นคือแกนพิกัดผม ซึ่งไม่ค่อยตรงนัก --
นี่คือเส้นตรง
-
แต่เมื่อผมมีเส้นตรงอย่างนี้ ผมให้คุณหา
ความชัน -- ผมคิดว่าคุณคงรู้ว่าจะหายังไง --
นั่นก็แค่การเปลี่ยนแปลงของค่า y หารด้วยการเปลี่ยนแปลงของค่า x
หากผมอยากหาความชัน -- จริงที่ผมหมายความว่า ความชันมันเท่ากัน
เพราะมันเป็นเส้นตรง ความชันนั้นเท่ากัน
ตลอตเส้นตรง แต่หากเราอยากหาความชัน
ณ จุดใด ๆ บนเส้นตรงนี้ ที่ผมต้องทำก็คือ แค่เลือกจุด
x -- สมมุติว่าผมเลือกจุดนี้
เราจะใช้อีกสีนึง -- ผมเลือกจุดนี้
ผมเลือกจุดนี้ -- เลือกได้ตามใจเลย ผมเลือกสองจุดใด ๆ ก็ได้
แล้วผมก็หาได้ว่าการเปลี่ยนแปลงของค่า y เป็นเท่าไหร่ --
นี่คือการเปลี่ยนแปลงของค่า y คือ เดลต้า y นั่นคืออีกวิธี
ในการพูดถึงการเปลี่ยนแปลงของค่า y -- และนี่คือการเปลี่ยนแปลงของค่า x
เรียก เดลต้า x
และเรารู้ว่า ความชันตามนิยาม
คือการเปลี่ยนแปลงใน y หารด้วยการเปลี่ยนแปลงใน x
-
หรือพูดอีกอย่างหนึ่งคือ เดลต้า -- มันคือสามเหลี่ยมนั่น --
เดลต้า y หารด้วย เดลต้า x
ตรงไปตรงมาสุด ๆ
ทีนี้จะเกิดอะไรขึ้น หากเราไม่ได้คิด
แค่เส้นตรงธรรมดาล่ะ
ขอผมดูหน่อยว่าผมมีที่ให้วาดมันหรือเปล่า
แกนพิกัดอีกอันนึง
มันเลอะเทอะทีเดียว แต่ผมว่าคุณคงเข้าใจ
-
ทีนี้ สมมุติว่า แทนที่จะเป็นเส้นตรงปกติอย่างนี้
นี่เป็นไปตามรูปมาตรฐาน y เท่ากับ mx บวก b
ลองสมมุติว่าผมมีเส้นโค้ง y เท่ากับ x กำลังสอง
ขอผมวาดมันอีกสีนึงนะ
y เท่ากับ x กำลังสองออกมาเป็นอย่างนี้
มันเป็นเส้นโค้ง คุณคงคุ้นเคยกับมันแล้วตอนนี้
และที่ผมจะถามคุณคือว่า ความชันของ
เส้นโค้งนี้คืออะไร?
ลองคิดดู
ความชันของเส้นโค้งตรงนี้ หมายความว่ายังไง?
ในเส้นตรงนี้ ความชันมันเท่ากันตลอด
เส้นทั้งหมด
แต่หากคุณดูที่เส้นโค้งนี้ ความชันมัน
เปลี่ยนไปเรื่อย ๆ จริงไหม?
ตรงนี้มันดูราบ แล้วก็ชันขึ้น ชันขึ้น ชันขึ้น
ชันขึ้น ชันขึ้น กระทั่งมันชันมาก
และยิ่งคุณไปไกลเท่าไหร่ มันยิ่งชันสุด ๆ
คุณอาจบอกว่า เอาล่ะ คุณจะหา
ความชันของเส้นโค้งที่เปลี่ยนไปเรื่อย ๆ ได้ยังไง?
มันไม่มีความชันสำหรับเส้นโค้งทั้งเส้น
สำหรับเส้นตรง มันมีความชันสำหรับเส้นตรงทั้งเส้น เพราะ
ความชันไม่เคยเปลี่ยน
แต่ที่เราลองทำได้ คือ การหาความชัน
ที่จุดจุดหนึ่ง
และความชัน ณ จุดที่กำหนดจะเหมือนกับ
ความชันของเส้นสัมผัส
ตัวอย่างเช่น -- ขอผมเลือกสีเขียวนะ -- ความชัน ณ จุดนี้
ตรงนี้เท่ากับความชันของเส้นตรงนี้
จริงไหม?
เพราะเส้นตรงนี้สัมผัสกับมัน
นั่นคือมันแต่เส้นโค้งนี้ ที่จุดนี้
มันมี -- เส้นโค้ง y เท่ากับ x กำลังสองนี้ จะมี
ความชันเท่ากับเส้นตรงสีเขียวนี้
แต่ถ้าเราไปที่จุดข้างหลังนี้ แม้ว่ารูปนี่
จะวาดแย่มากก็ตาม ความชัน
จะออกมาแบบนี้
ความชันเส้นสัมผัส
ความชันจะเป็นลบ และนี่ความชัน
เป็นบวก แต่หากเราดูจุดตรงนี้ ความชัน
จะยิ่งเป็นบวก
แล้วเราจะหาค่าออกมายังไง?
เราจะหาว่าความชัน ณ จุดใด ๆ บน
เส้นโค้ง y เท่ากับ x กำลังสองได้อย่างไร?
นั่นคือที่ที่อนุพันธ์เข้ามา และนี่เป็นครั้งแรก
ที่คุณจะเห็นว่าทำไมลิมิตถึงเป็น
หลักการที่มีประโยชน์
งั้นขอผมวาดเส้นโค้งใหม่นะ
โอเค ผมจะวาดแกน นั่นคือแกน y -- ผมจะวาดแค่
จตุภาคแรก -- และนี่ -- ผมต้องหา
เครื่องมือวาดดี ๆ ซะแล้ว -- นี่คือแกน x จากนั้น
ขอผมวาดเส้นโค้งด้วยสีเหลืองนะ
-
งั้น y เท่ากับ x กำลังสอง ออกมาประมาณนี้
ผมกำลังตั้งใจวาดนี่ให้
ดีแล้วนะ
โอเค
งั้นสมมุติว่าเราต้องการหาความชัน ณ จุดนี้
-
เรียกจุดนี้ว่า a แล้วกัน
ณ จุดนี้ x เท่ากับ a
และแน่นอนนี่คือ f ของ a
-
ทีนี้ที่เราลองทำได้ก็คือ เราอาจลองหา
ความเช้นของเส้นลากผ่าน
เส้นระหว่าง -- เราเลือกจุดอีกจุด ที่ อยู่ใกล้
กับจุดนี้บนกราฟ สมมุติ ตรงนี้ และหาก
เราหาความชันของเส้นตรงนี้ได้ มันก็
จะเป็นค่าประมาณของความชันเส้นโค้ง
ณ จุดนี้เป๊ะ
งั้นขอผมลากเส้นผ่านแล้วกัน
-
ประมาณนี้
เส้นลากผ่านหน้าตาแบบนี้
สมมุติว่าจุดนี้ คือ a บวก h
โดยระยะนี้ก็คือ h นี่คือ a บวก h เราให้มัน
ห่างจาก a เป็นระยะ h แล้วจุดนี้ตรงนี้
เท่ากับ f ของ a บวก h
-
ปากกาผมเจ๊งแล้ว
-
ดังนั้นนี่จะเป็นค่าประมาณของความชัน
ณ จุดนี้
และเมื่อ h เล็กลง จุดนี้ก็จะเข้าใกล้จุดนี้มากขึ้น
ค่าประมาณของเราก็ดีขึ้น
จนถึงจุดที่ หากเราเข้าใกล้
ความชันเมื่อ h เท่ากับ 0 นั่นก็จะเป็นความชัน
คือ ความชัน ณ ตรงนั้น ณ จุดนั้นบนเส้นโค้ง
แต่เราจะหาความชันเมื่อ h เท่ากับ 0 ได้อย่างไร?
-
ทีนี้ เราบอกว่า ความชันระหว่างสองจุดนี่
มันก็คือ การเปลี่ยนแปลงของค่า y
และค่าเปลี่ยนแปลงของ y เป็นเท่าไหร่?
มันคือนี่ โดยจุดนี้ตรงนี้ คือ -- ค่าพิกัด
x คือ -- ที่ผมเขียนมันเลอะเทอะอยู่เรื่อย --
พิกัด x คือ a บวก h และพิกัด y คือ f ของ a บวก h
-
และจุดนี้ตรงนี้ พิกัดคือ a กับ f ของ a
งั้นหากเราใช้สูตรความชันมาตรฐานอย่างที่ผ่านมา
เราก็ใช้ การเปลี่ยนแปลงของค่า y ส่วน การเปลี่ยนแปลงของค่า x
แล้วการเปลี่ยนแปลงของค่า y เป็นเท่าไหร่?
มันคือ f ของ a บวก h -- ค่าพิกัด y นี่ ลบ ค่าพิกัด y
นี่ -- ลบ f ของ a ส่วนการเปลี่ยนแปลงของค่า x
การเปลี่ยนแปลงของค่า x นี่คือ พิกัด x นี่ คือ a บวก h ลบ
ค่าพิกัด x นี่ คือ ลบ a
และแน่นอนว่า a นี่ กับ a นี่หักล้างกัน
มันเลยเท่ากับ f ของ a บวก h ลบ f ของ a ทั้งหมดส่วน h
นี่เป็นแค่ความชันของเส้นผ่าน
และหากเราอยากหาความชันของเส้นสัมผัส เราต้อง
หาว่าเกิดอะไรขึ้นเมื่อ h เล็กลง
เล็กลง และเล็กลง
และผมว่าคุณคงรู้ว่าผมจะทำอะไรต่อ
จริง ๆ แล้ว เราก็แค่อยาก หากเราต้องหาความชัน
ของเส้นสัมผัสนี้ เราก็แค่หาลิมิตของค่านี้
เมื่อ h เข้าใกล้ 0
จากนั้น เมื่อ h เข้าใกล้ 0 เส้นลากผ่านนี้จะ
เข้าใกล้ และเข้าใกล้ความชันของเส้นสัมผัส
แล้วเราจะรู้ความชันขณะนั้น ณ จุดนั้น
ตามเส้นโค้งนั้น
และที่จริง มันกลายเป็นว่า นี่คือนิยาม
ของอนุพันธ์
และอนุพันธ์ ก็ไม่ใช่อะไรนอกจาก ความชัน
ของเส้นโค้ง ณ จุด ๆ หนึ่ง
และนี่มีประโยชน์มาก เพราะในตอนแรก
ทุกสิ่งที่เราพูดถึงเกี่ยวกับจุดนี้
คือ ความชันของเส้นตรง
แต่ตอนนี้เราสามารถเอาเส้นโค้งต่อเนื่องใด ๆ หรือ
เส้นโค้งต่อเนื่องส่วนใหญ่มา หาความชันของเส้นโค้ง
ณ จุด ๆ หนึ่งได้
ดังนั้น ผมได้ให้นิยามของอนุพันธ์แล้ว
รวมถึงความเข้าใจนิดหน่อย
ในวิดีโอหน้า ผมจะใช้นิยามนี้
ใช้กับฟังก์ชันสักอัน เช่น x กำลังสอง และอื่ นๆ
จะให้โจทย์คุณทำบ้าง
แล้วพบกันในวิดีโอหน้าครับ
-