Tip:
Highlight text to annotate it
X
-
เราพร้อมแล้วที่จะแก้สมการอนุพันธ์เชิงเส้นอันดับสอง แบบไม่เอกพันธ์
โดยมีสัมประสิทธิ์คงที่
แล้วนั่นหมายความว่าอย่างไร?
ทีนี้, มันหมายถึง สมการที่เป็นแบบนี้
A คูณอนุพันธ์อันดับสอง บวก B คูณอนุพันธ์
อันดับหนึ่ง บวก C คูณฟังก์ชัน เท่ากับ g ของ x
ก่อนที่ผมจะยกตัวอย่างจริง, ผมอยากให้คุณเห็น
บางอย่างที่น่าสนใจก่อน
คือว่าคำตอบทั่วไปของสมการไม่เอกพันธ์นี้
ที่จริงแล้ว คือคำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์
บวกคำตอบเฉพาะ
ผมจะอธิบายว่ามันคืออะไรในไม่ช้า
สมมุติว่า h เป็นคำตอบ
ของสมการเอกพันธ์
-
และมันใช้ได้ดี, h แทนเอกพันธ์ (homogeneous)
h เป็นคำตอบสำหรับสมการเอกพันธ์-
-
มันน่าจะมีตัวย่อสำหรับเอกพันธ์นะ
-
แล้วนั่นหมายความว่าอะไร?
นั่นหมายความว่า A คูณ อนุพันธ์อันดับสองของ h บวก B
คูณ h ไพรม์ บวก C คูณ h เท่ากับ 0
นั่นคือสิ่งที่ผมหมายถึง เวลาผมบอกว่า h เป็นคำตอบ -- แล้ว
ที่จริง, สมมุติว่า h เป็นคำตอบทั่วไปของสมการ
แบบเอกพันธ์นี่
เรารู้วิธีแก้มันแล้ว
หาสมการคุณลักษณนะ ขึ้นอยู่กับว่ามันมีราก
กี่ตัว และรากมันเป็นจำนวนจริงหรือเชิงซ้อน
คุณสามารถหาคำตอบทั่วไปได้
แล้วถ้าคุณมีเงื่อนไขตั้งต้น, คุณก็สามารถแทน
มันแล้วะหาค่าคงที่ต่างๆ ได้
ใช้ได้
ตอนนี้สมมุติว่าผมบอกว่า g เป็นคำตอบ
ไม่ได้สิ, ผมใช้ g ไปแล้วบนนี้
อืม, ผมไม่ชอบใช้สระเป็นตัวแปรด้วย
สมมุติว่า j
สมมุติว่า j เป็นคำตอบเฉพาะของสมการ
อนุพันธ์นี้
แล้วมันหมายความว่าอะไร?
นั่นหมายความว่า A คูณ j ไพรม์ ไพรม์ บวก B คูณ j
ไพรม์ บวก C คูณ j เท่ากับ g ของ x
จริงไหม?
แล้วเราจะนิยาม j ของ x ว่าเป็นคำตอบเฉพาะ
-
ตอนนี้สิ่งที่ผมอยากให้คุณดูคือว่า j ของ x บวก h ของ x
จะเป็นคำตอบของสมการดั้งเดิมนี้ด้วย
และนั่นคือคำตอบทั่วไปของ
สมการแบบไม่เอกพันธ์นี้
และก่อนที่ผมจะแสดงในทาง
คณิตศาสตร์, สัญชาตญาณเรื่องนี้คืออะไร?
ตรงนี้, เวลาคุณแทน h ตรงนี้, คุณได้ 0
เมื่อคุณแทน j ตรงนี้, คุณได้ g ของ x
แล้วเมื่อคุณบวกมันเข้าด้วยกัน, คุณจะได้
0 บวก g ของ x ตรงนี้
คุณจะได้ g ของ x ตรงนี้
ผมจะแสดงให้ดูตอนนี้แหละ
สมมุติว่าผมอยากแทน h บวก j ตรงนี้
ผมจะใช้อีกสีนะ
A -- แล้วอนุพันธ์อันดับสอง ของผลบวก
ฟังก์ชันสองตัวนั้น จะเท่ากับอนุพันธ์อันดับสอง ของฟังก์ชันทั้งสอง
บวกกัน -- บวก B คูณอนุพันธ์อันดับหนึ่ง ของ
ผลบวก บวก C คูณผลบวก ของฟังก์ชัน
-
และเป้าหมายของผม คือแสดงว่า นี่เท่ากับ g ของ x
แล้วนี่จัดรูปได้เป็นอะไร?
ทีนี้ถ้าเรารวมเทอม h ทั้งหมดห, เราได้ Ah ไพรม์ไพรม์
บวก Bh ไพรม์ บวก Ch บวก, ลองทำเทอม j ดู. Aj
ไพรม์ ไพรม์ บวก Bj ไพรม์บวก Cj
ทีนี้โดยนิยามที่เรากำหนด h กับ j, นี่
จะเท่ากับอะไร?
เราบอกว่า h เป็นคำตอบของสมการเอกพันธ์,
หรือพจน์นี่เท่ากับ 0
นั่นจึงเท่ากับ 0
แล้วตามนิยามของ j, นี่เท่ากับอะไร?
เราบอกว่า j เป็นคำตอบหนึ่งของ
สมการไม่เอกพันธ์, หรือพจน์นี้
เท่ากับ g ของ x
-
ดังนั้นเมื่อคุณแทน h บวก j ลงในสมการอนุพันธ์นี้
ทางซ้ายมือ
ทางขวามือ, เหมือนกัน, คุณได้ g ของ x
เราเพิ่งแสดงได้ว่า ถ้าคุณกำหนด h กับ j แบบนี้,
ฟังก์ชันนั้น, เราจะเรียกมันว่า k ของ x เท่ากับ h ของ x
บวก j ของ x
ผมหมดที่แล้ว
นั่นคือคำตอบทั่วไป
ผมยังไม่ได้พิสูจน์ว่านี่เป็นคำตอบที่ทั่วไปที่สุด, แต่ผม
ว่าคุณคงได้สัญชาตญาณ, จริงไหม?
เพราะคำตอบทั่วไป ของสมการเอกพันธ์ด้วย
คือคำตอบที่ทั่วไปที่สุด, แล้วเราก็บวก
คำตอบเฉพาะเข้าไป จนเราได้ g ของ x
ทางขวามือ
มันอาจทำให้คุณงงได้, งั้นลองทำ
เลขจริงๆ ดีกว่า
ผมว่ามันจะเข้าใจได้ง่ายขึ้นขึ้นเยอะ
สมมุติว่าเรามีสมการอนุพันธ์ -- ผม
จะสอนเทคนิคเพื่อหา j
ในตัวอย่างก่อนนั้นด้วย
แล้วเราจะหาคำตอบเฉพาะนั่นอย่างไร?
สมมุติว่าผมมีสมการอนุพันธ์
อนุพันธ์อันดับสองของ y ลบ 3 คูณอนุพันธ์อันดับหนึ่ง
ลบ 4 คูณ y เท่ากับ 3e กำลัง 2x
-
แล้ว, ขั้นแรก เราอยากหาคำตอบทั่วไปของ
สมการเอกพันธ์ก่อน
และในตัวอย่างที่เราทำไป, มันก็คือ
h ของ x
เราอยากได้คำตอบของ y ไพรม์ ไพรม์ ลบ 3y ไพรม์
ลบ 4y เท่ากับ 0
หาสมการคุณลักษณะดู
เจ้านี่เท่ากับ 0
r ลบ 4 คูณ r บวก 1 เท่ากับ 0
มีรากสองตัว, r อาจเป็น 4 หรือลบ 1
แล้วคำตอบทั่วไป -- ผมจะเรียกว่า h นะ
ทีนี้, เราเรียกมันว่า y ทั่วไป
y ห้อย g
คำตอบทั่วไปของเราเท่ากับ -- เราทำมา
หลายครั้งแล้ว -- C1 e กำลัง 4x บวก C2 e กำลังลบ
1x, หรือลบ x
ใช้ได้
เราได้แก้สมการเอกพันธ์
แล้วเราจะได้, ในตัวอย่างที่แล้ว, j ของ x
ที่ให้คำตอบเฉพาะ, เพื่อทางขวามือ
เราจะได้เจ้านี่
ทีนี้ เราต้องคิดสักหน่อย
และวิธีนี้เรียกว่า วิธีการเทียบสัมประสิทธิ์ (Undermined
Coefficients)
และคุณต้องบอกว่า, เอาล่ะ, ถ้าฉันอยากได้ฟังก์ชันโดย
ฉันหาอนุพันธ์อันดับสอง แล้วบวกหรือลบ
จำนวนเท่าของอนุพันธ์อันดับหนึ่ง ลบ จำนวนเท่า
ของฟังก์ชันนั้น, แล้วฉันได้ e กำลัง 2x
ฟังก์ชันนั้น อนุพันธ์อันดับหนึ่ง และอนุพันธ์อันดับสองของมัน
ต้องอยู่ในรูป, อะไรสักอย่างคูณ
e กำลัง 2x
เราจึงเดาคำตอบขึ้นมาได้
เราอบกว่า ตรงนี้ มันจะเป็นยังไง ถ้าเราหาอนุพันธ์
ต่างๆ และฟังก์ชันต่างๆ และเราคูณค่าให้มัน
แล้วเอามาบวกกัน?
อะไรพวกนั้น
เราก็ได้ e กำลัง 2x หรือจำนวนเท่าของ e กำลัง 2x
ทีนี้, สิ่งที่เราเดาได้ อาจเป็น j -- ผมจะเรียกมันว่า
y เฉพาะ
แล้วคำตอบเฉพาะตรงนี้ จะเป็น -- คำตอบเฉพาะ
ที่ผมพูดถึง มันต่างจากคำตอบเฉพาะ
ที่เราต้องใช้เงื่อนไขตั้งต้น
ตรงนี้ เรามองนี่เป็นคำตอบเฉพาะ
คำตอบที่ให้ด้านขวามือนี่แก่เรา
สมมุติว่าผมเลือกค่าคงที่ A คูณ
e กำลัง 2x
ถ้านั่นคือสิ่งที่ผมเดา, แล้วอนุพันธ์ของเจ้านั่นเท่ากับ
2A e กำลัง 2x
แล้วอนุพันธ์อันดับสองของเจ้านั่น, ของคำตอบ
เฉพาะ, เท่ากับ 4A e กำลัง 3x
และตอนนี้ผมสามารถแทนมันตรงนี้, แล้วลองดูว่าผมสามารถ
แก้หา A ได้ไหม, แล้วผมก็จะได้คำตอบเฉพาะมา
อนุพันธ์อันดับสอง, นั่นคืออันนี้
ผมจึงได้ 4A e กำลัง 2x ลบ 3 คูณอนุพันธ์อันดับหนึ่ง
ได้ ลบ 3 คูณเจ้านี่
แล้วนั่นคือลบ 6A e กำลัง 2x ลบ 4 คูณฟังก์ชัน
ได้ลบ 4A e กำลัง 2x, แล้วทั้งหมดนั่นจะ
เท่ากับ 3e กำลัง 2x
ทีนี้เรารู้ว่า e กำลัง 2x ไม่เท่ากับ 0, เราสามารถ
หาทั้งสองข้างได้
ที่จริง, ดึงตัวร่วมมันออก
กำจัด e กำลัง 2x ออกไป
ทางด้านซ้ายมือ, เรามี 4A ลบ 4A
พวกนั้นตัดกัน
แล้วทันใดหนั้น, เราก็ได้ ลบ 6A เท่ากับ 3
หารทั้งสองข้างด้วย 6 และได้ A เท่ากับลบ 1/2
ได้แล้ว
เราได้คำตอบเฉพาะมาแล้ว
มันเท่ากับลบ 1/2 e กำลัง 2x
และตอนนี้, อย่างที่ผมทำให้คุณดู ผมลบหน้าจอไปแล้ว
คำตอบทั่วไปของสมการแบบไม่เอกพันธ์ จะ
เท่ากับคำตอบเฉพาะ บวกคำตอบทั่วไป
ของสมการเอกพันธ์
เราจึงเรียกนี่ว่าเป็นคำตอบ
ที่ทั่วไปที่สุด -- ไม่รู้สิ
ผมจะเรียกมันว่า y แล้วกัน
มันคือคำตอบทั่วไปของเรา C1 e กำลัง 4x บวก C2 e กำลัง
ลบ x บวกคำตอบเฉพาะที่เราได้
นั่นก็คือ ลบ 1/2 e กำลัง 2x
เนี๊ยบมาก
เอาล่ะ, ผมจะทำตัวอย่างแบบนี้อีก
และผมว่าคุณจะเข้าใจมันเอง
ในตัวอย่างต่อไป, เราจะทำอันอื่นนอกเหนือจาก e
กำลัง 2x หรือฟังก์ชัน e ตรงนี้
เราจะลองทำกับพหุนาม แล้วก็
ฟังก์ชันตรีโกณฯ ด้วย
แล้วพบกันในวิดีโอหน้าครับ
-