Tip:
Highlight text to annotate it
X
-
สิ่งที่ผมอยากทำในวิดีโอนี้ -- และมันจะปรากฏ
ในวิดีโอหลายๆ อัน -- คือการรวมทุกอย่าง
ที่เรารู้เกี่ยวเมทริกซ์, สเปซว่าง, และสเปซ
คอลัมน์ แล้วก็ความอิสระเชิงเส้น
ผมมีเมทริกซ์นี่ตรงนี้, เมทริกซ์ A นี่
และผมว่าจุดเริ่มต้นที่ดีคือว่า, ลองหาสเปซ
คอลัมน์และสเปซว่างของมันกัน
สเปซคอลัมน์นั้นหาได้ง่ายมาก
มันก็แค่สแปนของเวกเตอร์คอลัมนืของ A
เราก็เขียนมันจากตรงนี้ได้เลยว่า สเปซ
คอลัมน์ของเมทริกซ์ A -- ขอผมทำตรงนี้นะ
ผมสามารถเขียนสเปซคอลัมน์ของเมทริกซ์ A เท่ากับ
สแปนของเวกเตอร์ 1, 2, 3
1, 1, 4
-
1, 4, 1
และ 1, 3, 2
เสร็จแล้ว
มันตรงไปตรงมา, ง่ายกว่า
การหาสเปซว่างมาก
ทีนี้ มันอาจทำให้คุณพอใจหรือไม่ก็ได้
และยังมีคำถามปลายเปิดอีก
ตัวอย่างเช่น, นี่คือฐานของสเปซนี้หรือเปล่า?
นี่เป็นเซตอิสระเชิงเส้นของเวกเตอร์หรือไม่?
เราจะมองภาพสเปซนี้ได้อย่างไร?
และผมจะยังไม่ตอบคำถามพวกนั้นตอนนี้
แต่ถ้ามีคนบอกว่า, เฮ้, สเปซคอลัมน์ของ A คืออะไร?
นี่คือสเปซคอลัมน์ของ A
แล้วเราก็สามารถตอบคำถามอื่นๆ ได้
-
ถ้านี่เป็นเซตอิสระเชิงเส้นของเวกเตอร์,
แล้วเวกเตอร์เหล่านี้จะเป็นฐาน
สำหรับสเปซคอลัมน์ของ A
ตอนนี้เรายังไม่รู้
เราไม่รู้ว่าพวกนี้เป็นอิสระเชิงเส้นหรือไม่
แต่เราหาได้ว่าพวกมันเป็นอิสระเชิงเส้นหรือไม่
โดยการดูสเปซว่างของ A
จำไว้ว่า พกวนี้เป็นอิสระเชิงเส้น ถ้าสเปซว่าง
ของ A มีแค่เวกเตอร์ 0
ลองหากันดูว่าสเปซว่างของ A คืออะไร
และจำไว้, เราใช้ทางลัดนิดหน่อยตรงนี้
สเปซว่างของ A เท่ากับสเปซว่าง, ของลักษณะ
ขั้นบันไดลดรูปตามแถวของ A
และผมแสดงให้คุณดูตอนเราคำนวณสเปซว่าง
ของเวกเตอร์ไปแล้วตอนแรก, เพราะเมื่อคุณทำเจ้าพวกนี้ --
ที่สุดแล้ว ถ้าคุณอยากแก้หาสเปซว่างของ A,
คุณก็สร้างเมทริกซ์ต่อเติมขึ้นมา
แล้วคุณก็ทำเมทริกซ์ต่อเติมให้มีลักษณะ
ขั้นบันไดลดรูปตามแถว, แต่ 0 ไม่เคยเปลี่ยน
แล้วคุณก็เอา A มาทำเป็นขั้นบันได
ลดรูปตามแถว
ลองทำกันดู
ผมจะเก็บแถว 1 ไว้เหมือนเดิม 1, 1, 1, 1
แล้วขอผมแทนที่แถว 2 ด้วย แถว 2
ลบ แถว 1
-
แล้วผมจะได้อะไร?
ไม่ใช่สิ, ที่จริงผมอยากให้ตัวนี้เป็น 0 ตรงนี้
งั้นแถว 2 ลบ, 2 คูณแถว 1
ที่จริงดีกว่าอีก เพราะผม
อยากได้ 1 ตรงนี้ด้วย
ขอผมทำ 2 คูณแถว 1, ลบแถว 2 นะ
ขอผมบอกว่า 2 คูณแถวแรก, แล้วผม
ลบแถวสอง
2 คูณ 1 ลบ 2 ได้, 0, ซึ่งคือ
สิ่งที่เราอยากได้ตรงนี้
2 คูณ 1 ลบ 1 ได้ 1
มันดีที่ได้ตรงนี้
2 คูณ 1 ลบ 4 ได้ ลบ 2
2 คูณ 1 ลบ 3 ได้ ลบ 1
เอาล่ะ, ขอผมดูหน่อยว่าผมจะทำให้ตัวนี้เป็น 0 ได้ไหม
แล้วเราทำอะไรต่อได้?
-
ผมสามารถหาผลรวม, ที่ทำให้
พวกนี้เป็นศูนย์ได้
แต่ผมอยากทำให้เลขผมเป็นลบน้อยที่สุด
ขอผมเอาแถวที่สามมา, ลบ 3 คูณแถวแรก
ผมจะหาลบ 3 คูณแถวแรก แล้วบวก
มันกับแถวที่สามนี้
งั้น 3 ลบ 3 คูณ 1 ได้ 0
-
พวกนี้จะเป็น 3 หลายตัวเลย
4 ลบ 3 คูณ 1 ได้ 1
1 ลบ 3 คูณ 1 ได้ลบ 2
และ 2 ลบ 3 คูณ 1 ได้ ลบ 1
ทีนี้ถ้าผมอยากได้เจ้านี่ในลักษณะขั้นบันไดลดรูปตามแถว
เราต้องตั้งเป้าตัวนั้น กับตัวนั่นตรงนั้น
แล้วเราจะทำอะไรต่อ?
ลองเก็บแถวกลางไว้เหมือนเดิม
แถวกลางผมจะไม่เปลี่ยนไป
1, 1, ลบ 2, ลบ 1
และเพื่อกำจัดเจ้านี่ตรงนี้, ผมแค่แทนที่แถวแรก
ของผมด้วยแถวแรกของผม ลบแถวที่สอง
เพราะนี่จะไม่เปลี่ยนไป
ผมจะมี 1 ลบ 0 ได้ 1
1 ลบ 1 ได้ 0
นั่นคือสิ่งที่เราอยากได้
1 ลบ ลบ 2 ได้ 3
นั่นคือ 1 บวก 2
1 ลบลบ 1
นั่นคือ 1 บวก 1
นั่นคือ 2
ใช้ได้ไหม?
ตอนนี้ขอผมทำแถวที่สามนะ
-
ขอผมแทนที่แถวที่สาม ด้วยแถวที่สาม ลบ
จากแถวแรก
พวกมันเหมือนกันเลย
ถ้าผมลบแถวที่สาม จากแถวที่สอง ผม
ก็ได้ 0 เต็มไปหมด
0 ลบ 0 ได้ 0
1 ลบ 1 ได้ 0
ลบ 2 ลบลบ 2 ได้ 0
และ ลบ 1 ลบ ลบ 1
นั่นคือ ลบ 1 บวก 1
นั่นก็เท่ากับ 0
และเหมือนกับที่เรามีในลักษณะ
ขั้นบันไดลดรูปตามแถว
เจ้านี่ตรงนี้คือลักษณะขั้นบันไดลดรูปตามแถวของ A
ตรงไปตรงมาดี
ทีนี้ สาเหตุที่เราทำแบบฝึกหัด
นี้คือเราอยากหาสเปซ
ว่างของ A
และเรารู้แล้วว่า สเปซว่างของ A เท่ากับ
สเปซว่างของลักษณะขั้นบันไดลดรูปตามแถวของ A
แล้วถ้านี่คือลักษณะขั้นบันไดลดรูปตามแถวของ A, ลอง
หาสเปซว่างของมันกัน
สเปซว่างก็คือเซตของเวกเตอร์ทุกตัวใน R4,
เพราะเรามี 4 คอลัมน์ตรงนี้
1, 2, 3, 4
สเปซว่างคือเซตของเวกเตอร์ทุกตัวที่เป็นไป
ตามสมการนี้, โดยเรามี 0
สามตัวตรงนี้
นั่นคือเวกเตอร์ 0 ใน R3, เพราะเรามี 3 แถว
ตรงนี้, แล้วคุณก็หามันได้
นี่คูณนี่ ต้องเท่ากับ 0 นั่น
เจ้านั่นดอตเเจ้านั่นต้อง
เท่ากับ 0 นั่น
นั่นดอตนั่น เท่ากับ 0 นั่น
ผมบอกอย่างนั้น เพราะผมยังไม่ได้นิยามเวกเตอร์แถวดอต
กับเวกเตอร์คอลัมน์
ผมแค่นิยามเวกเตอร์คอลัมน์ ดอตกับ
เวกเตอร์คอลัมน์อีกตัว
แต่เราทำมาแล้วในวิดีโอก่อน, โดยคุณบอกได้
ว่านี่คือทรานสโพสของเวกเตอร์คอลัมน์
ลองเอานี่มา, และเขียนระบบ
สมการแบบนี้
เราจะได้ 1 คูณ x1
แล้วนี่คูณนี่จะเท่ากับ 0 นั่น
แล้ว 1 คูณ x1, นั่นคือ x1
บวก 0 คูณ x2
ขอผมเขียนมันลงไปนะ
บวก 3 คูณ x3
บวก 2 คูณ x4 เท่ากับ 0 นั่น
แล้ว -- ผมจะใช้สีเหลืองตรงนี้นะ -- ผม
มี 0 คูณ x1
บวก 1 คูณ x2
ลบ 2 คูณ x3
ลบ x4 เท่ากับ 0
แล้วนี่ไม่ได้ให้ข้อมูลอะไรผม
0 คูณทั้งหมดนี่เท่ากับ 0
มันแค่ออกมาเป็น 0 เท่ากับ 0
งั้นลองดูว่าเราสามารถแก้หาค่าจุดหมุน, หรือ
ตัวแปรจุดหมุนได้ไหม
ค่าตรงจุดหมุนของเราคืออะไร?
นี่คือค่าตรงจุดหมุน
นั่นคือค่าตรงจุดหมุน
นั่นคือสิ่งที่ลักษณะขั้นบันไดลดรูปตามแถวบอกเรา,
ได้ค่าจุดหมุนที่เป็น 1 และพวกมัน
เป็นเทอมเดียวที่ไม่ใช่ 0 ในคอลัมน์ที่ตรงกัน
แล้วค่าตรงจุดหมุนทุกค่า จะอยู่ทางขวา
ของค่าจุดหมุนเหนือมัน
แล้วคอลัมน์ที่ไม่มีค่าจุดหมุนล่ะ?
คอลัมน์พวกนั้นแทนตัวแปรอิสระ
คอลัมน์พวกนี้ไม่มีค่าจุดหมุน
แล้วเวลาคุณหาดอตโปรดัค, คอลัมน์นี้
กลายเป็นคอลัมน์นี้ในระบบสมการของเรา
เราจึงรู้ว่า x3 เป็นตัวแปรอิสระ
x3 อิสระ
เราสามารถให้มันเท่ากับอะไรก็ได้
เช่นเดียวกัน x4 เป็นตัวแปรอิสระ
x1 และ x2 เป็นตัวแปรจุดหมุน เพราะคอลัมน์ที่
ตรงกันในลักษณะขั้นบันไดลดรูปตามแถวนั้น มีค่า
จุดหมุนอยู่
ใช้ได้
ทีนี้ลองดูว่าเราสามารถจัดรูป
เจ้านี่ในแบบที่เรารู้ได้ไหม
และเราเห็นนี่มาก่อนแล้ว
ถ้าผมแก้หา x1 -- 0 นี่ผมทิ้งไปได้
0 นั่นผมช่างมันได้ -- ผมก็บอกว่า x1 เท่ากับ ลบ
3 x3 ลบ 2 x4
ผมแค่ลบสองตัวนี้จากทั้งสองข้างของ
สมการ และผมบอกว่า x2 เท่ากับ 2 x3 บวก x4
และถ้าผมอยากเขียนเซตคำตอบของเราตรงนี้, แล้วถ้า
ผมอยาหาสเปซว่างของ A, ซึ่งก็เหมือนกับ
สเปซว่างของลักษณะขั้นบันไดลดรูปตามแถวของ A,
เท่ากับเวกเตอร์ทั้งมหด -- ขอผมใช้สีใหม่นะ
บางทีผมน่าจะใช้สีฟ้า -- เท่ากับเวเกเตอร์ทุกตัว x1, x2,
x3, x4 ที่เท่ากับ --
แล้วพวกมันจะเท่ากับอะไร?
x1 ต้องเท่ากับ 3 x3 ลบ 2 x4
เพื่อให้ชัดเจน, พวกนี้คือตัวแปรอิสระ เพราะผมสามารถ
ให้มันเป็นอะไรก็ได้
แล้วพวกนี้คือตัวแปรจุดหมุน เพราะผมให้มัน
เป็นอะไรก็ได้ไม่ได้
แล้วผมก็ระบุดว่า x3 กับ x4 ของผม, พวกมัน
กำหนดว่า x1 กับ x2 ของผมต้องเป็นอะไร
พวกนี้คือตัวแปรจุดหมุน
พวกนี้คือตัวแปรอิสระ
ผมให้เจ้านี่เป็น ไพ ก็ได้
และผมให้เจ้านี่เป็น ลบ 2 ได้
เราจับพวกมันให้เป็นอะไรก็ได้
แล้ว x1 เท่ากับ -- ลองดู, ขอผมเขียนมันแบบนี้นะ
-- พวกมันเท่ากับ x3 -- ขอผมใช้อีกสีนึง
-- ให้ x3 แบบนี้
มันก็เท่ากับ x3 คูณ เวกเตอร์นั่น บวก x4 คูณ
เวกเตอร์อีกตัว
แล้วเซตคำตอบใดๆ ในสเปซว่างของผม จะเป็นผลรวม
เชิงเส้นของเวกเตอร์สองตัวนี้
เราสามารถหาได้ว่า เวกเตอร์สองตัวนี้
มาจากเงื่อนไขสองตัวตรงนี้
แล้ว -- ขอผมใช้สีกลางๆ หน่อย x1 เท่ากับ
ลบ 3 คูณ x3 ลบ 2 คูณ x4
ตรงไปตรงมาใช้ได้
x2 เท่ากับ 2 คูณ x3 บวก x4
x3 เท่ากับอะไร?
ทีนี้ x3 เท่ากับตัวเอง
ไม่ว่าเราตั้ง x3 เท่ากับอะไร, มันจะเท่ากับ x3 เหมือนเดิม
แล้ว x3 จะเท่ากับ 1 คูณ x3 บวก 0 คูณ x4
มันจะไม่มี x4 อยู่ข้างใน
x3 จะเป็นเหมือนกับตัวแปรอิสรระ
มันจะเป็นอิสระ
เราสามารถให้มันเป็นอะไรก็ได้
เราตั้งค่ามัน แล้วมันจะเป็น x3 ใน
เซตคำตอบของเรา
x4 จะไม่มี x3 ข้างใน
มันจะเป็น 1 คูณ x4
แล้วสเปซว่างของเรา สุดท้ายคือผลรวมเชิงเส้น
ทุกตัวของเวกเตอร์สองตัวนี้
นี่เป็นจำนวนจริงใดๆ ได้
นี่ก็แค่จำนวนจริงใดๆ และ x4 ก็แค่สมาชิกของ
สเปซว่าง
แล้วทั้งหมนี้, เซตของคำตอบทั้งหมดที่เป็นไปได้
ของ Ax เท่ากับ 0 -- ตามที่ผมเขียนไป
ผมเขียนมันลงไปหรือเปล่า?
ไม่ ผมยังไม่เขียนตรงไหนเลย
เซตของ Ax เท่ากับ 0 ทุกตัว, โดยนี่คือ x ของผม,
มันเท่ากับผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์นี้
กับเวกเตอร์นั่นตรงนั้น
และเรารู้ว่าผลรวมเชิงเส้นทั้งหมด หมายถึงอะไร
มันหมายความว่า สเปซว่างของผม เท่ากับสแปนของ
เวกเตอร์สองตัวนี้ล สแปนของ ลบ 3, 2, 1, 0
กับลบ 2, 1, 0, 1
ทีนี้ขอผมถามอะไรหน่อย
-
คอลัมน์ใน A, พวกมันเป็นเซตอิสระเชิงเส้นหรือเปล่า?
พวกมันเป็นเซตอิสระเชิงเส้นหรือไม่?
แล้วถ้าผมเขียนเวกเตอร์พวกนี้ตรงนี้, พวกมัน
คือเวกเตอร์คอลัมน์ของ A
ขอผมเขียนมันลงไปนะ
เวกเตอร์คอลัมน์ของ A คือ -- พวกมันคืออะไร?
ลองดูกัน
1, 3, 2
ไม่ใช่สิ มันคือ 1, 2, 3
-
1, 1, 4
1, 4, 1
และ 1, 3, 2
นี่ก็แค่เวกเตอร์คอลัมน์ของ A
ผมสามารถเขียน A เป็นคอลัมน์อย่างนั้น, แต่คำถาม
คือว่า, นี่เป็นเซตอิสระเชิงเส้นหรือเปล่า?
-
แล้วตรงนี้คุณอาจเริ่มคิดทันทีว่า, เวลาเราบอกว่า
อะไรสักอย่างเป็นอิสระเชิงเส้น --
อิสระเชิงเส้นหมายความว่า มันคือคำตอบเดียว
-- เราเห็นแล้ว ผมว่าเมื่อ 2 วิดีโอที่แล้ว, มันมี
คำตอบเดียว -- คำตอบของ Ax เท่ากับ 0
และนั่นคือคำตอบเป็น 0, ว่า
x เท่ากับเวกเตอร์ 0
หรือวิธีบอกอีกอย่างคือว่า สเปซว่างของ
เมทริกซ์ A เท่ากับเวกเตอร์ 0 เฉยๆ
นั่นคือสิ่งที่ความอิสระเชิงเส้นบอกเรา
และมันหมายความถึงกันและกัน
ถ้าสเปซว่างผมเป็นแค่เวกเตอร์ 0, แล้วผมจะรู้ว่า
มันเป็นอิสระเชิงเส้น
ถ้าสเปซว่างของผมมีเวกเตอร์อื่น, แล้วผม
จะไม่อิสระเชิงเส้น
ทีนี้ สเปซว่างของ A, มันมีอย่างอื่นไหม?
มันมีแค่เวกเตอร์ 0 หรือเปล่า?
อืม, ไม่ มันรวมผลรวมเชิงเส้น
ทุกแบบของเจ้าพวกนี้
มันรวมเวกเตอร์จำนวนนับไม่ถ้วน,
ไม่ใช่แค่ตัวเดียว
แน่นอนเวกเตอร์ 0 อยู่ในนี้, ถ้าคุณ
คูณทั้งสองตัวด้วย -- ถ้าคุณเลือก 0 สำหรับอันนั้นกับอันนั้น
มันรวมด้วย, แต่คุณจะได้เซตของเวกเตอร์อีก
เพราะสแปนว่างของ A, สเปซว่าง, ขอโทษที, สเปซ
ว่างของ A ไม่ไดมีแค่เวกเตอร์ 0
มันมีมากกว่าแค่ 0
-
แล้วนั่นหมายความว่าอย่างไร?
นั่นก็หมายความว่ามันมีคำตอบ
มากกว่าหนึ่ง
นั่นหมายความว่านี่คือเซตไม่อิสระเชิงเส้น
-
แล้วนั่นหมายความว่าอย่างไร?
ในตอนแรกสุดของวิดีโอนี้, ผมบอกว่า,
สเปซคอลัมน์ของ A คืออะไร
และเราบอกว่า, สเปซคอลัมน์ของ A ก็แค่สแปนของ
เวกเตอร์คอลัมน์
ผมแค่เขียนมันแบบนั้น
และผมบอกว่า, ทีนี้, มันไม่ชัดเจนว่านี่เป็น
ฐานสำหรับสเปซคอลัมน์ของ A หรือเปล่า
แล้วฐานคืออะไร?
ฐานคือเซตของเวกเตอร์ที่สแปนสับสเปซ และพวกมัน
ยังต้องอิสระเชิงเส้นด้วย
แล้วเราเพิ่งแสดงไปว่า พวกมันไมม่
อิสระเชิงเส้น
นั่นจึงหมายความว่า พวกมันไม่ใช่ฐานสำหรับสเปซ
คอลัมน์ของ A
พวกมันสแปนสเปซของคอลัมน์ตามนิยามจริง
แต่พวกมันไม่ใช่ฐาน
พวกมันจำเป็นต้องอิสระเชิงเส้น
เพื่อเป็นฐาน
งั้นลองดูว่าเราสามารถหาได้ไหม ว่าฐานของ
สเปซคอลัมน์นี้คืออะไร
เพื่อทำอย่างนั้น เราต้องกำจัด
เวกเตอร์ซ้ำซ้อนออก
ถ้าเราสามารถแสดงให้คุณเห็นว่า เจ้านี่ตรงนี้สามารถ
แทนได้ด้วยผลรวมของสองตัวนี้, ผมก็
โยนเจ้านั่นทิ้งได้
มันไม่ได้เพิ่มข้อมูลอะไรใหม่
เจ้านี่ก็เหมือนกัน
ใครจะรู้?
งั้นลองดูว่าเราจะแก้ปริศนาข้อนี้ได้หรือไม่
เรารู้แล้วว่า x1, ขอผมเขียนมันแบบนี้นะ, ว่า x1
คูณ -- บางทีผมควรปล่อยให้คุณลองคิด
แล้วมาต่อในวิดีโอหน้า
แต่เรารู้ว่า x1 คูณ 1, 2, 3
บวก x2 คูณ 1, 1, 4
บวก x3 คูณ 1, 4, 1
บวก x4 คูณ 1, 3, 2
เรารู้ว่านี่เท่ากับ 0
ทีนี้ ถ้าเราสามารถแก้หา x4 ในรูปของ -- ขอผม
คิดหน่อยว่า ผมแก้หาเวกเตอร์ ที่
ตรงกับตัวแปรอิสระของผม
โดยใช้เวกเตอร์อื่นได้ไหม
ขอผมดูหน่อยว่าผมทำได้หรือไม่
แล้วคุณจะเห็นว่ามันตรงไปตรงมาทีเดียว
สมมุติว่าผมอยากแก้หา x4
แล้วถ้าผมลบเจ้านี่จากทั้งสองข้าง
ของสมกรนี้, ผมได้อะไร?
ขอผมเขียนแบบนี้นะ, ขอผมจับ x3 เท่ากับ 0
มันเป็นตัวแปรอิสระ
ผมทำได้
แล้วถ้าผมให้ x3 เท่ากับ 0, แล้วตรงนี้ผมจะได้อะไร?
ถ้าผมบอกว่า x3 เท่ากับ 0, เจ้านี่จะหายไป
แล้วถ้าผมลบเจ้านี่จากทั้งสองข้างของสมการ, ผม
จะได้ x1 คูณ 1, 2, 3
บวก x2 คูณ 1, 1, 4
เท่ากับ -- ผมแค่จับ x3 เท่ากับ 0
นั่นคือตัวแปรอิสระ
ผมจับ x3 เท่ากับ 0
เจ้านี่ทั้งหมดนี้หายไป
แล้วนั่นเท่ากับ ลบ x4 คูณ 1, 3, 2
ตอนนี้ผมจับ x3 เท่ากับ 0
ขอผมตับ x4 เท่ากับลบ 1 นะ
ถ้า x4 เท่ากับลบ 1, แล้วลบ x4 คืออะไร?
ทีนี้ เจ้านี่จะเท่ากับ 1
แล้วผมจะมี 1 คูณ 1, 2, 3
บวก x2 คูณ 1, 1, 4 จะเท่ากับ
เวกเตอร์ที่สี่ตรงนี้
แล้วผมจะหาของแบบนี้ได้ไหม?
แน่นอน ผมหาค่าเฉพาะได้
ถ้า x3 เท่ากับ 0, และ x4 เท่ากับ 1 -- ขอผมลอก
และวางเจ้านี่ที่ผมมีบนนี้ลงไป -- ขอผมเลื่อน
ลงมาหน่อยนะ
นี่คือสิ่งที่เราได้ เมื่อเราหาสเปซว่างของเรา,
ตรงนี้
แล้วถ้าผมจับ -- จำไว้พวกนี้คือตัวแปรอิสระ
-- ถ้าผมจับ x3 เท่ากับ 0 และ x4 เท่ากับ
ลบ 1, x1 จะเป็นอะไร?
แล้วนี่ก็หมายความว่า x1 เท่ากับ ลบ 3 คูณ x3,
นั่นก็แค่ 0, ลบ 2 คูณ x4
ถ้า x4 เป็นลบ 1, ลบ 2 คูณ ลบ 1,
x1 จะเท่ากับ 2
แล้ว x2 จะเท่ากับอะไร?
x2 เท่ากับ 2 คูณ x3, ซึ่งก็คือ 0, บวก x4
มันจึงเท่ากับลบ 1
ผมเพิ่งแสดงให้คุณเห็นว่า ถ้าผมจับนี่เท่ากับ 2 และ
นี่เท่ากับลบ 1, ผมจะได้ผลรวมเชิงเส้นของ
เวกเตอร์นี้ กับเวกเตอร์นี้ รวมกัน
เป็นเวกเตอร์ตัวที่สี่
คุณสามารถทดสอบได้เอง
2 คูณ 1 ลบ 1 เท่ากับ 1
2 คูณ 2 ลบ 1 เท่ากับ 3
2 คูณ 3 ได้ 6, ลบ 4 เท่ากับ 2
มันก็ใช้ได้หมด
ผมจึงแสดงให้คุณเห็นได้ว่า, เมื่อเราใช้นิยาม
ดูว่าตัวแปรอิสระเราคืออะไร
เทียบกับตัวแปรจุดหมุน
เราก็สามารถแสดงได้ว่า, แค่แก้สมการ
สำหรับเวกเตอร์ที่สาม และที่สี่, ในรูป
ของสองตัวแรก
เรารู้ว่า, ถ้าเรากลับไปที่เซตนั้น เวกเตอร์ที่สี่
นั้นก็ไม่จำเป็น, มันไม่ได้เพิ่มอะไร
ให้สแปนของเซตของเวกเตอร์
เพราะพวกนี้สามารถเขียนเป็นผลรวมเชิงเส้น
ของเจ้านี่กับเจ้านี่
ทีนี้ลองดูว่าเจ้านี่, เวกเตอร์ตัวที่สาม, เราทำ
แบบเดียวกันได้
นี่ก็กำหนดโดยตัวแปรอิสระ
ลองดูว่าผมจะสามารถเขียนมันเป็นผลรวมเชิงเส้น
ของสองตัวแรกนี้ได้หรือไม่
ทีนี้ เราจะทำเหมือนเดิม
แทนที่จะให้ x3 เท่ากับ 0 และ x4 เท่ากัลบ 1,
ลองให้ x4 เท่ากับ 0 เพราะผมมอยาก
กำจัดนั่นออกไป
และขอผมให้ x3 เท่ากับลบ 1 นะ
ถ้า x3 เท่ากับลบ 1, สมการนี้
จะเหลืออะไร?
เราจะได้ x1 คูณ 1, 2, 3
บวก x2 คูณ 1, 1, 4
เท่ากับ -- ถ้านี่คือ ลบ 1 คูณ 1, 4, 1
แล้วเราบวกมันทั้งสองข้างของสมการนี้, เราจะได้
บวก 1 คูณ 1, 4, 1
เหมิอนเดิม, เราก็แค่แก้หา x1 กับ x2 ของเรา
ถ้า x4 เป็น 0 และ x3 คือลบ 1, แล้ว x1 x4 คือ 0
แล้ว x3 ก็แค่ลบ 3 คูณ x3, แล้ว x1
จะเท่ากับ 3, จริงไหม?
ลบ 3 คูณลบ 1
แล้ว x2 จะเท่ากับอะไร?
x4 เป็น 0, เราทิ้งมันไปได้
x2 จะเท่ากับลบ 2
นี่ก็คือ 3, แล้วนี่ก็คือลบ 2
ลองดูว่ามันใช้ได้ไหม
3 คูณ 1 ลบ 2 คือ 1
3 คูณ 2 ลบ 2 ได้ 4
2 คูณ 3 ลบ 8 ได้ 1
มันผ่านหมด
ผมจึงสามารถเขียนเวกเตอร์นี้, มันตรงกับ
ตัวแปรอิสระ, ว่าเป็นผลรวม
เชิงเส้นของสองตัวนี้
เราจึงสามารถกำจัดเจ้านี่จากเซตของเราได้
ตอนนี้ผมได้แสดงว่า เจ้านี่สามารถเขียนเป็นผลรวม
เชิงเส้นของสองตัวนี้ได้
เจ้านี่สามารถเขียนเป็นผลรวม
เชิงเส้นของสองตัวนี้ได้
ดังนั้สแปนของเจ้าพวกนี้ทั้งหมด ควรเท่ากับ
สแปน -- ขอผมเขียนมันแบบนี้นะ
-
สเปซคอลัมน์ของ A, ผมสามารถเขียนมันใหม่ได้
ก่อนหน้านี้ มันคือสแปนของเวกเตอร์พวกนั้นทั้งหมด
มันคือสแนของเวกเตอร์คอลัมน์ทั้งหมด
v1, v2, v3 และ v4
ตอนนี้ผมเพิ่งแสดงให้คุณเห็นว่า v3 กับ v4 สามารถเขียนใหม่
ในรูปของ v1 กับ v2 ได้
พวกมันเกินมา
แล้วนั่นเท่ากับ สแปนของ v1 กับ v2 ซึ่งก็แค่
เวกเตอร์สองตัวนั้น
เวกเตอร์ 1, 2, 3 และเวกเตอร์ 1, 1, 4
ทีนี้ มีกี่ตัวที่เกินมา?
ผมสามารถเขียนพวกมันเป็นผลรวมเชิงเส้น
ของตัวที่เหลือได้ไหม?
สุดท้ายแล้วเวลาผมพูดถึงผลรวมเชิงเส้น
ของเวกเตอร์ตัวเดียว
มันก็แค่การคูณด้วยสเกลาร์ค่าหนึ่ง
ลองมาคิดดู
มันมีวิธีหลายอย่างที่คุณแสดงได้, แต่วิธีที่ง่าย
ที่สุดคือ ลองดูสิ, จากค่านี้ ไปค่านั้น, ผมก็
แค่คูณมันด้วย 1
แต่ถ้าผมคูณเวกเตอร์ทั้งหมดนี้ด้วย 1, ผมก็
จะได้ 2 ตรงนี้ และผมจะได้ 3 ตรงนี้
มันจะใช้ไม่ได้
-
ถ้าผมอยากแทนเจ้านี่ด้วยผลคูณสเกลาร์
ของเจ้านั่น, ผลคูณสเกลาร์ใดๆ กับ 1, 2, 3 จะ
เท่ากับ 1c, 2c, 3c
จริงไหม?
แล้วเราบอกว่า เจ้านี่ต้องแทนด้วยอะไร
แบบนั้น, ถ้าเราบอกว่าเจ้านี่คือสเกลาร์,
ยังไงสักอย่าง, สามารถแทนได้ด้วยเจ้านั่น
มันก็ต้องเท่ากับ 1, 1, 4
เมื่อคุณดูค่าบนนี้ มันหมายความว่า c
ต้องเท่ากับ 1
แต่ถ้าคุณดูที่ค่าที่สอง คุณคิดว่า c
ต้องเท่ากับ 1/2
คุณก็ได้ข้อขัดแย้งแล้ว
ตรงนี้ c ต้องเท่ากับ 4/3
มันไม่มีค่า c ที่ใช้ได้
มันไม่มีตัวคูณ c ใด
และคุณทำได้ทั้งสองทาง
มันไม่มีทางที่คุณจะสามารถแทนตัวใดตัวหนึ่งนี้ ด้วย
ผลรวมเชิงเส้นของอีกตัว
และคุณสามารถพิสูจน์ด้วยวิธีอื่นได้, แบบ
เป็นทางการกว่าเดิม, ว่ามันอิสระเชิงเส้น
เมื่อมันเป็นอิสระเชิงเส้น -- ผม
ว่าคุณคงพอใจแล้ว -- เราก็บอกได้แล้วว่า
เซตของเวกเตอร์ 1, 2, 3 และ 1, 1, 4, นี่คือฐาน
ของสเแปนคอลัมน์ของ A
ตอนนี้ผมจะทิ้งวิดีโอไว้ให้คุณเพราะผมว่า
ผมเลยเวลามาพอสมควรแล้ว
แต่สิ่งที่ผมจะทำต่อไปในวิดีโอหน้า คือตอนนี้
เราได้หาได้ว่า นี่คือฐานของสเปซ
คอลัมน์ของ A, เราจะมามองภาพมันกัน
เพราะเราบอกได้ว่า สแปนคอลัมน์ของ A เท่ากับ
สแปนของเวกเตอร์สองตัวนี้
และเราสามารถคิดดูว่าสแปน
ของเวกเตอร์สองตัวนั่นคืออะไร
เราจะเห็นว่ามันคือระนาบใน R3
สแปนของ 1, 1, 4
และเพื่อเตือนนิดหน่อย, ผมบอกไปหลายครั้งแล้ว
เวลาผมบอกว่ามันคือฐาน ที่ผมบอกคือว่า เจ้าพวกนี้,
พวกมันทั้งคู่สแปนสเปซคอลัมน์ของ A
ตอนผมมีเวกเตอร์ 4 ตัว, พวกมันก็สแปน
สเปซคอลัมน์ของ A เหมือนเดิม
แต่สิ่งที่ทำให้มันเป็นฐาน คือเจ้าพวกนี้
อิสระเชิงเส้น
พวกมันไม่มีข้อมูลเกิน, หรือเวกเตอร์เกินที่
สามารถแทนได้ด้วยเวกเตอร์อื่นภายในเซต
พวกมันเป็นอิสระเชิงเส้น
เอาล่ะ, ผมปล่อยคุณไปก่อนนะ