Tip:
Highlight text to annotate it
X
เราอยู่ในข้อที่ 48
โจทย์ถามว่า ถ้า x ยกกำลังสอง บวกกับ x มีค่าเท่ากับ 42
งั้นมาเขียนดูก่อน
ถ้า x ยกกำลังสอง บวกกับ x มีค่าเท่ากับ 42
ข้อใดต่อไปนี้ เป็นค่าของ x
ก็หมายความมว่า เขาต้องการให้เราแก้สมการนี้
ทางที่ง่ายที่สุดคือ เขียนอยู่ในรูปของสมการกำลังสอง
เท่ากับ 0 แล้วจึงแยกตัวประกอบออกมา
ดังนั้น เราก็สามารถเขียนให้อยู่ในรูปของ x ยกกำลังสอง + x ลบ 42
เท่ากับ 0
ลองคิดดูซิว่า
เลขอะไรสองตัว รวมกันได้ 1
และคูณกันได้เท่ากับ - 42
จริงอยู่ที่ว่า เมื่อผมนำเลขสองตัวที่คูณกันได้เท่ากับ - 42
บอกได้ว่าตัวหนึ่งจะต้องมีค่าเป็นบวก
อีกตัวหนึ่งต้องมีค่าเป็นลบ
นี่เป็นทางเดียวที่บอกได้ว่า เมื่อนำเลขทั้งสองตัวมาคูณกัน
เราจะได้เลขที่มีค่าเป็นลบ
หนึ่งในนั้นจะต้องเป็นมีค่าเป็นบวก
อีกตัวมีค่าเป็นลบ
และเมื่อเรานำเลขทั้งคู่มารวมกัน
เราก็จะสามารถหาความแตกต่างของเลขทั้งสองค่าได้
โจทย์บอกว่า เลขทั้งสองตัวมีค่าต่างกัน 1
และผลคูณต้องได้ - 42
และเมื่อผมเห็นเลข 42 จึงคิดได้ทันทีว่า
น่าจะเป็นเลข 6 และ 7
6 คูณ 7 เท่ากับ 42
และเมื่อเรารวมเลขทั้งสองจะต้องได้ 1
บางที 6 อาจจะมีค่าเป็นบวก
หรือ ลบ
มาลองดูกัน
x บวก 7 คูณ x ลบ 6 มีค่าเท่ากับ 0
7 คูณ 6 ได้ - 42
7x ลบ 6x จะต้องเท่ากับ x
หรือคิดอีกอย่างหนึ่งว่า 7 บวก - 6 จะต้องเท่ากับ
ค่าสัมประสิทธิ์ x ซึ่งก็คือ 1
วิธีนี้ก็ใช้ได้เหมือนกัน
ไม่ก็เราลองมาคูณแล้วลองแก้สมการดู
ทุกอย่างที่ผมพูดมา ไม่ใช่วิธีที่แปลกใหม่
เหตุผลที่ผมบอกว่า เลขทั้งคู่จะต้องรวมกันได้ 1
ก็เพราะว่า เมื่อเราคูณกลับออกมา จะได้ค่าตัวนั้นออกมา
ซึ่งก็คือสัมประสิทธิ์ของเลขนั้น
ในกรณีนี้ก็คือ 7x บวกกับลบ 6x อีกตัว
นั่นจึงเป้นตัวบอกว่า ค่าเป็นอย่างไร เมื่อคูณออกมา
อีกตัวหนึ่งก็คือ x คูณ x
- 42 ก็มาจาก 7 คูณ - 6
อย่างไรก็ดี เราก็มาถูกทางแล้ว
โอเค แล้วเราจะทำได้อย่างไร เมื่อเราต้องคิดทั้งสองสิ่ง คือ
เมื่อเราทั้งสองก้อนคูณกันได้เท่ากับ 0
ก็หมายความว่าก้อนใดก้อนหนึ่ง หรือทั้งคู่จะต้อง
มีค่าเท่ากับ 0
นั่นก็หมายความว่า x บวก 7 เท่ากับ 0 ซึ่งทำได้โดย
ลบ 7 ทั้งสองข้าง
จะได้ x เท่ากับ - 7
หรือ x ลบ 6 เท่ากับ 0
บวก 6 ทั้งสองข้าง จะได้ x เท่ากับ 6 ดังนั้น x จึงมีค่าเท่ากับ
6 หรือ - 7
และในโจทย์ก็มีอยู่ข้อนึง
ซึ่งก็คือ ข้อ A
ข้อต่อไป
49.
ค่าอะไรที่ควรเพื่มเข้าไปในทั้งสองข้างของสมการนี้
ให้ได้สมการกำลังสอง สมบูรณ์
เมื่อเราต้องการทำให้สมการทั้งสองสมบูรณ์ เราจะต้อง
ใส่ค่าบางอย่างในฝั่งซ้าย
ให้เป็นสมการกำลังสอง สมบูรณ์
และผมหมายความว่าอย่างไร ทำให้สมการกำลังสองสมบูรณ์
คือ ถ้าผมมี x บวก a ทั้งหมดยกกำลังสอง ซึ่งก็คือ x บวก a
คูณ (x บวก a)
ก็จะได้เป็น x คูณ x ได้ x ยกกำลังสอง
x คูณกับ a จะได้เป็น ax
และ a คูณกับ x ตัวนี้
ได้เป็น ax อีกตัว
บวกกับ a ตัวนี้ คูณกับ a ตัวนั้น
จะได้ a ยกกำลังสอง
และนั่นก็เท่ากับ x ยกกำลังสอง
บวกกับ เรามีทั้งสองตัวนี้แล้ว ได้ บวก 2ax บวก a ยกกำลังสอง
พูดง่ายๆก็คือเราต้องการให้ฝั่งซ้าย
อยู่ในแบบนี้
งั้นเราก็บอกได้ว่า นี่เป็นสมการกำลังสองสมบูรณ์
บอกได้ว่า นั่นเป็นตัวเดียวกับ x บวก a ทั้งหมดยกกำลังสอง
งั้น เราลองมาคิดดูว่าจะทำยังไง
ถ้าเรามี x ยกกำลังสอง ลบ 8x เท่ากับ 5 และผมใส่
ช่องว่าไว้ตรงนี้ เพราะว่า เราต้องการเพิ่มหรือ
หักบางอย่างในนี้ เพื่อที่จะให้มันเป็นสมการกำลังสองสมบูรณ์
ลองคิดดูซิว่า
เมื่อเราต้องการให้อยู่ในรูปสมการนี้ ในการที่เราต้องการให้สมการนี้อยู่ในรูปกำลังสองสมบูรณ์
ไม่ว่าสัมประสิทธิ์ตัวนี้จะเป็นอะไรก็ตาม
พจน์นี้ จะต้องมีค่าเป็นครึ่งหนึ่ง ของตัวนี้ ยกกำลังสอง
a ยกกำลังสอง คือ ครึ่งหนึ่งของ 2a ยกกำลังสอง
งั้น ถ้าเราหาครึ่งหนึ่งของ - 8 ซึ่งก็คือ - 4
ในกรณีนี้ ถ้าเราบอกว่า 2a มีค่าเท่ากับ 8
a จะได้เท่ากับ - 4
และ - 4 ยกกำลังสอง คืออะไร ?
มันก็คือ บวก 16
และนี่เป็นสมการ
เมื่อเราทำกับฝั่งนึงของสมการ เราก็ต้องทำ
ในอีกฝั่งหนึ่งของสมการด้วย
งั้น อีกฝั่งนึงก็ต้องเท่ากันด้วย
ดังนั้นเราจึง บวก 16 ทั้งสองข้าง
ไม่งั้น เรากำลังเปลี่ยนค่าของสมการ
ทีนี้ เราก็จะเห็นว่า นี่เป็นสมการ
กำลังสองสมบูรณ์แล้ว
ผมหมายความว่า เรามองรูปแบบสมการข้างบนนี้
OK ถ้าฉัน เพิ่ม - 4 ของตัวมันเอง เข้าไปสองครั้ง จะได้ - 8
ถ้าฉันคูณตัวมันเอง จะได้ 16
ดังนั้น นี่ก็คือ x - 4 ทั้งหมดยกกำลังสอง
เท่ากับ 25
ถ้าคุณยังมีข้อสงสัยอยู่
ผมทำบทเรียนเกี่ยวกับเรื่องนี้
และนี่ก็คือการพิสูจน์สมการควอดราติก
เราก็แค่ ทำกำลังสองสมบูรณ์ กับตัวเลข
a , b และ c เราก็จะได้สมการคอวดราติก
รู้ไหมว่า เราแสดงให้เห็นใน 10 นาที ดังนันจึง
ไม่ใช่เรื่องยากในการทำความเข้าใจ
เขาก็แค่ต้องการอยากรู้ว่า เราเพิ่มเลขอะไรไปในทั้งสองฝั่ง
ของสมการนี้
เลขค่าใด ที่ควรจะใส่ไปในทั้งสองฝั่งของสมการ
ให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์
ในกรณี เราได้คำตอบเป็น 16
ซึ่งก็ยังมีค่าเท่าเดิมเมื่อเรา
แก้สมการออกมา
เราจะบอกได้ว่า x ลบ 4 ทั้งหมดยกกำลังสอง มีค่าเท่ากับ 25
ดังนั้น x ลบ 4 จะเท่ากับ บวกหรือลบ 5
จึงได้ x เท่ากับ บวก หรือ ลบ 5
บวก 4
ตัวที่เป็น 4 บวก 5
ก็ได้เป็น 9
4 บวก - 5 ได้ - 1
อย่างไรก็ตาม เขาไม่ถามค่า x เราจึงไม่ต้อง
เสียเวลาคิดไปเปล่าๆ
มาดูข้อที่ 50 กัน
มาดูข้อ 50 กัน
เดี๋ยวผม คัดลอก และ วาง ข้อ 50 และ 51 ก่อน
ข้อใดเป็นคำตอบของสมการควอดราติกนี้
x ยกกำลังสอง บวก 6x เท่ากับ 16
สิ่งที่ต้องทำก็คือ พยายามแก้สมการนี้
เหมือนกับที่เราทำในสมการเส้นตรง
กำจัด x ไม่รู้สิต้องทำ
อะไรซักอย่าง
แต่ที่สำคัญคือ การมองให้ออกว่าเป็น
สมการควอดราติก
ทางที่ง่ายที่สุดในการแก้สมการนี้ คือ ย้ายทุกพจน์
ให้ไปอยู่ในด้านหนึ่ง และให้ 0 อยู่อีกด้านหนึ่ง
และทำการ factor หรือใช้
สูตรสมการควอดราติก
หรือ ทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์
งั้น เริ่มจาก ลบ 16 ทั้งสองฝั่งสมการ
จะได้เป็น x ยกกำลังสอง บวก 6x ลบ 16 เท่ากับ 0
ผมหัก 16 ทั้งสองฝั่ง เพื่อให้มันมาอยู่ตรงนี้
และก่อนที่จะเข้าไปสู่การแก้สมการ
มาดูก่อนซิว่า เราสามารถแก้ด้วยมองคร่าวๆได้ไหม
เลขอะไร เมื่อรวมกันแล้วได้ 6
และคูณกันได้ - 16
อีกครั้งหนึ่ง เพราะมันเป็น - 16 ถ้าเราคูณเลขทั้งสองตัวนี้
จะได้เลขที่มีค่าเป็นลบ
เลขทั้งคู่จะต้องมีเครื่องหมายต่างกัน
ตัวหนึ่งเป็นบวก อีกตัวหนึ่งเป็นลบ
ทั้งสองจะมีค่าต่างกัน 6 เพราะตัวหนึ่งเป็นบวก
อีกตัวหนึ่งเป็นลบ
ลองคิดดู
ถ้าเรามีลบ งั้น 8 และ 2 คูณกันได้ 16
และทั้งคู่ต่างกัน 6
ถ้าเราบวก 8 และ ลบ 2
บวก 8 และ - 2 จะได้ บวก 6
ดังนั้น ถ้า x บวก 8 คูณกับ x ลบ 2
และนี่เราควรฝึกไว้บ่อยๆ
OK แล้วเลขทั้งสองล่ะ
16
OK
8 และ 2
เลขเหล่านี้ ต้องมีเครื่องหมายต่างกันด้วย
เรามีเลขบวกตัวหนึ่ง ไม่ว่าจะเป็นเลขใด
ต้องมีค่ามากกว่า ถึงจะรวมกันได้เลขบวก
ดังนั้น จึงได้ บวก 8 และ - 2
เมื่อเรารวมกันได้ 6
โอเค ใช้ได้
แล้วเราก็ตั้งทั้งสองตัว เท่ากับ 0
และเราก็บอกว่า OK ก้อนนี้จะต้องเท่ากับ 0 หรือ อีกก้อนหนึ่ง
เท่ากับ 0
x จึงเท่ากับ - 8
x ลบ 8 เท่ากับ 0 เราก็ต้อง ลบ 8 ทั้งสองฝั่ง
จะได้ x เท่ากับ - 8
ผมไม่น่าข้ามขั้นตอนนั้นไป แต่
ฉันจะทำขั้นตอนนี้ละกัน
x ลบ 2 เท่ากับ 0
บวก 2 ทั้งสองข้าง จะได้ x เท่ากับ 2
x มีค่าเท่าใดที่ทำให้ พจน์นี้ เท่ากับ 0
เราก็มองคร่าวๆได้ว่า
x สามารถเป็น - 8 หรือ 2 ซึ่งก็คือข้อ C
ข้อ 51
Leanne แก้สมการออกมาได้เป็น x ยกกำลังสอง บวก 4x
เท่ากับ 6 ด้วยวิธีการกำลังสองสมบูณ์
สมการใด เป็นสมการของเธอ
OK ใช้วิธีคิดเดียวกัน
x ยกกำลังสอง บวก 4x
เมื่อเราทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์ เราจะต้องเพิ่มบางอย่าง
ในนี้
งั้น ผมจะใส่ช่องว่างตรงนี้
เท่ากับ 6
แล้วเราจะใส่อะไรลงไปในช่องว่าง ให้อยู่ในรูปของ
สมการกำลังสองสมบูรณ์
เราก็กลับเข้ารูปแบบเดิมที่ทำกับโจทย์
ไม่กี่ข้อหน้านี้
ไม่ว่าจะเป็นเลขใดก็ตาม จะต้องยกกำลังสอง ของครึ่งหนึ่งของค่านี้
งั้น 4 ครึ่งของมันก็คือ 2
2 ยกกำลัง 2 ได้ 4
ฉันจะบวก 4 ทั้งสองข้าง
ถ้าฉันบวก 4 ในด้านนั้น ฉันก็ต้อง บวก 4
ในอีกด้านด้วย
2 บวก 2 ได้ 4
2 คูณ 2 ได้ 4
x บวก 2 ทั้งหมดยกกำลัง 2
และผมอยากให้คุณเข้าใจ
อย่าจำขั้นตอนการทำกำลังสองสมบูรณ์
ผมอยากให้คุณเข้าใจว่า ทำไม
นี่เป็น กำลังสองของครึ่งหนึ่งของค่านั้น
และ เราก็แสดงให้เห็นในตอนแรกแล้ว
พอทำสมการกำลังสองบ่อยๆ คุณก็จะเห็นเองว่ามัน
เป็นอย่างนั้นเสมอ
อย่างไรก็ดี x บวก 2 ทั้งหมดยกกำลัง 2
นั่นก็จะเท่ากับ 6 บวก 4 เป็น 10
และนั่นคือ ข้อ B
ผมคิดว่าเรามีเวลาสำหรับอีกข้อนึง
โจทย์ข้อต่อไป ข้อที่ 52
คัดลอก และวางลงไป
คาร์ตเตอร์ กำลังแก้สมการด้วยวิธีแยกตัวประกอบ
ข้อใด แยกตัวประกอบได้ถูกต้อง
อีกครั้งหนึ่ง ผมต้องการที่จะแยก
ตัวเลขในนั้นออกมา
ทั้งหมด หารด้วย 5
จะทำสมการดูง่ายขึ้น
งั้น ถ้าฉันหารทั้งหมดด้วย 5 จริงๆแล้ว เราควรจะหาร
ทั้งสองฝั่งของสมการ ด้วย 5
0 หาร ด้วย 5 ได้ 0
และในฝั่งซ้าย หารด้วย 5 ได้เป็น 2x
ยกกำลังสอง ลบ 5x บวก 3 เท่ากับ 0
งั้น ถ้านี่คือ 2x ยกกำลังสอง ดังนั้นมันจะต้องเป็นเลขสองตัว
เมื่อเราคูณเข้าไปได้ 3
ลองคิดดูก่อนซิว่า
จริงๆแล้ว ผมขอเขียนมันลงไปในนี้ก่อน เพราะผมคิดดว่าผม
พื้นที่มากขึ้น
2x ยกกำลังสอง ลบ 5x บวก 3 มีค่าเท่ากับ 0
และเราหารทั้งสองข้างของสมการ
ด้วย 5 ก็จะได้ออกมา
มาดูกันซิว่า เราทำอะไรได้บ้าง
เรามี 2x ยกกำลังสองที่นี่ และมันเป็น
ตัวบอกเราว่า เราจะได้คำตอบเป็นจำนวนเต็ม
เราสามารถแยกตัวประกอบได้
เราก็รู้ได้ว่า ตัวนี้ จะต้องเป็น 2x คูณ ...
บวกบางอย่าง
บวก a
คูณ ... เท่าไหร่ล่ะ
น่าจะคูณ x ใช่ไหม
2x คูณ x ได้เป็น 2x ยกกำลังสอง
และนั่นและคงจะบอกไม่ได้เลยถ้าเขา
ไม่ได้บอกให้เราแยกตัวประกอบตัวนี้
เราอาจจะต้องใช้ a
สมการควอดราติก หรือซักอย่าง
จริงๆแล้ว สมการควอดราติกไม่ได้
ใช้ยากเย็นอะไรมาก เพราะเราแค่
ใส่สูตรแล้วแทนค่าเท่านั้นเอง
มาดูกันว่าเราจะเข้าใจไหม
ถ้าอย่างนั้น มันจะต้องเป็น 2x บวก ซักอย่าง คูณ x บวก
บางอย่าง
ถ้าเราจะคูณนี่ออกมา เราจะได้ 2x คูณ x
เท่ากับ 2x กำลังสอง
2x คูณ b ได้ บวก 2bx
a คูณ x ได้ บวก ax
a คูณ b ได้ บวก ab
มาดูซิว่าจะได้อะไรออกมา
บวก 2b บวก ax บวก ab
2x กำลังสอง
OK คราวนี้เอามาเปรียบเทียบรูปแบบกัน
นี่เป็นคำตอบที่ได้ออกมา
งั้น 2 คูณ b บวก a จะต้องเท่ากับ พจน์นี้ เป็นตัวเดียวกับ
พจน์นี้
และ พจน์นั้นจะต้องเป็นพจน์เดียวกับ
พจน์ตรงนี้
อย่างแรก เลย ถ้าเรามี บวก 3 อยู่ตรงนี้
เราคูณเลขสองตัวออกมา ต้องได้ ออกมาเป็น บวก 3
ถ้างั้น ตัวเลขทั้งสองตัวจะต้องเป็น บวกทั้งคู่ หรือ ลบทั้งคู่
และอีกสิ่งที่น่าสนใจคือ เมื่อเราเอา
2 คูณ ตัวเลขตัวหนึ่งในนั้น บวกกับอีกตัวหนึ่ง
จะได้เลขที่มีค่าเป็นลบ
ทางเดียวที่จะทำได้เมื่อต้อง เจอกับเลขลบ คือ
เมื่อเราคูณมัน และบวก a และเพิ่มมันเข้าไป
จะได้เลขลบออกมา เหมื่อนกับว่าทั้งคู่
มีค่าเป็นลบ
นี่เป็นตัวบอกเราว่า เลขเหล่านี้ทั้งคู่จะต้องเป็นลบ
เพราะนี่มีค่าเป็นบวก
เพราะเมื่อเราบวกเข้าไปโดย
ไม่มีเครื่องหมายลบ เป็นตัวบอกว่าเราว่า
ตัวนั้นจะต้องมีค่าเป็นลบด้วยเช่นกัน
งั้น ลองดู
ลอง - 3 และ - 1
ถ้า - 3 และ - 1
ถูกแล้ว
ใช่แล้ว
ถ้า b เท่ากับ - 1 และ a เท่ากับ -3 ดังนั้น
2 คูณ - 1 จะได้ - 2
- 3
ถ้างั้นลอง b เท่ากับ -1 และ a เท่ากับ - 3
นี่จะต้องใช้ความคิดซักหน่อย
ผมหมายความว่ามันไม่ค่อยเหมือนแบบ ใส่เลขแทนค่า
ในทางคณิตศาสตร์นะ
สมการควอดราติกก็เป็นอย่างหนึ่ง แต่นี่ไม่ใช่วิธีที่ดีที่สุด
อย่างน้อย ผมจะทำอันนี้อย่างไร
เรารู้ว่า a และ b คืออะไร
งั้น เป็น 2x a คือ - 3
2x ลบ 3 คูณ x บวก b b คือ - 1
ทำการแยกตัวประกอบ
2x ลบ 3 คูณ - 1 อันไหนล่ะ
มันจะมีซักข้อหนึ่งในนี้
2x - 3
และผมหมดเวลาแล้ว
เจอกันในวีดีโอต่อไป :)