Tip:
Highlight text to annotate it
X
ในวิดีโอที่แล้ว เราเห็นว่าถ้าเรามีเส้นตรงที่
กำหนดว่าเป็นผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ตัวหนึ่ง -- ผมจะ
เขียนมันแบบนี้
ผลคูณสเกลาร์, แน่นอน
คือจำนวนจริงใดๆ
เราได้กำหนดการแปลง, ผมยังไไม่ได้พูดถึงมัน
ในแง่ของการแปลง, แต่มันคือการแปลง
เรานิยามโปรเจคชันลงบนเส้นตรง L ว่าเป็น
การแปลง
ในวิดีโอ, เราวาดมันเป็นการปแลงภายใน R2, แต่
มันสามารถเป็นการแปลงจาก Rn ไปยัง Rn โดยทั่วไปได้
เรานิยามมันว่า, โปรเจคชันของ x ลงบน L ว่า
เท่ากับดอทโปรดัคของ x, กับเวกเตอรืที่กำหนดนี่
x ดอทเวกเตอร์ที่กำหนดนี้, หารด้วยเวกเตอร์
ที่กำหนดนี้ หารด้วยตัวเอง
ทั้งหมดนั่นคูณเวกเตอร์ที่ใช้กำหนดเส้นตรง
นี่คือนิยามของเรา
หลายอย่างที่คุณอาจเห็นชัด ตอนที่
เราเห็นมันเป็นครั้งแรก
เวลาคูณดอตเวกเตอร์กับตัวเอง, มันเท่ากับอะไร?
เรารู้ว่าถ้าเราเอาเวกเตอร์มา, แล้วผมดอทมันกับ
ตัวเอง, มันเท่ากับความยาว
ของเวกเตอร์กำลังสอง
เราสามารถเขียนนี่ใหม่ว่าเท่ากับ x ดอท v, ส่วน
ความยาวของ v กำลังสอง, ทั้งหมดนั่นคูณ v
มันไม่ดีกว่าหรือถ้าความยาวของ v เป็น 1
ความยาวของ v เท่ากับ 1
ถ้าความยาวของ v เป็น 1, หรือนี่วิธีอย่างหนึ่งที่
บอกว่า, v เป็นเวกเตอร์หน่วย
แล้วสูตรสำหรับโปรเจคชันจะ
เหลือแค่ x ดอท v
ทั้งหมดนั่นคูณ, นี่ก็แค่ตัวเลขสเกลาร์,
คูณ v
คุณบอกว่า, เฮ้, ซาล, เราจะรู้ได้อย่างไรว่า
มันเป็นเวกเตอร์หน่วยหรือเปล่า
สิ่งที่คุณสังเกตได้คือว่า -- ขอผมวาดมันแบบนี้นะ
ตอนผมวาดมันในวิดีโอก่อน, ผมเลือก
เส้นตรง, แบบนั้น
เส้นตรงสามารถกำหนดว่าเป็นเวกเตอร์นี่ v บนเส้นตรง
มันสามารถเป็นเวกเตอร์ใดๆ บนเส้นตรงนี้
เวกเตอร์ v เป็นแบบนี้ได้
สมมุติว่ามีคนให้เวกเตอร์ v มา
โดยไม่ใช่เวกเตอร์หน่วย
สมมุติว่าความยาวของ v ไม่เท่ากับ 1
คุณจะกำหนดเส้นตรงโดยใช้เวกเตอร์หน่วยได้อย่างไร
คุณก็แค่ทำให้ v มีขนาดเป็น 1
คุณสามารถนิยามเวกเตอร์หน่วยตรงนี้ได้
เราสามารถกำหนดเวกเตอร์ตัวหนึ่งตรงนี้ได้
เรียกมันว่า u, และผมจะสมมุติว่ามันเป็นเวกเตอร์หน่วย
นั่นเท่ากับ 1 ส่วน 1 ส่วนความยาวของ v คูณ v
ผมแสดงให้คุณเห็นแล้วในวิดีโอเรื่องเวกเตอร์หน่วย
คุณสามารถสร้างเวกเตอร์หน่วยที่มี
ทิศเดียวกับเวกเตอร์ใดๆ, แค่หารเข้าไป
หรือจะเรียกว่าคูณ, เวกเตอร์นั่น
คูร 1 ส่วนความยาวมันก็ได้
โดยทั่วไปแล้ว, เราสามารถนิยามเส้นตรงใหม่ได้
ผลคูณสเกลาร์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ v จะ
เท่ากับผลคูณสเกลาร์ทั้งหมดของ
เวกเตอร์หน่วยเรา, u, ซึ่งก็แค่ผลคูณสเกลาร์ของ v
เราสามารถกำหนดเส้นตรงใหม่ได้
ถ้าเรากำหนดเส้นตรงเราใหม่, L, เท่ากับ
ผลคูณสเกลาร์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดของเวกเตอร์หน่วย, โดย
สเกลาร์เป็นสมาชิกของจำนวนจริงใดๆ
นิยามโปรเจคชันจะลดรูปลงหน่อย
โปรเจคชันของ x ลงบน L กลายเป็น x ดอทเวกเตอร์หน่วย
คูณเวกเตอร์หน่วย, คูณเวกเตอร์หน่วยเอง
กรณีนั้นที่เราทำไปในวิดีโอที่แล้ว, โดยผม
มีเวกเตอร์สองตัวนั่น
โดยผมบอกว่าเวกเตอร์ v ที่กำหนดเส้นตรงนี้, ผมว่ามัน
คือเวกเตอร์ 2, 1 นะ
เวกเตอร์ x ของเราเท่ากับ 2, 3
ถ้าคุณอยากทำตามนิยามนี้, เราก็ต้อง
เปลี่ยนเจ้านี่เป็นเวกเตอร์หน่วยก่อน
วิธีที่เราแปลงมันเป็นเวกเตอร์หน่วย, เราต้อง
หาขนาดก่อน
ในกรณีนี้ ขนาดของ v เท่ากับอะไร
2 กำลัง บวก 1 กำลังสอง ได้ 1
คุณหาสแควร์รูทของอันนั้น
ขอผมเขียนหน่อยนะ
มันเท่ากับสเแควร์รูทของ 2 กำลังสอง บวก 1 กำลังสอง,
ซึ่งเท่ากับสแควร์รูทของ 5
คูณสามารถกำหนด u เรา -- เวกเตอร์หน่วยของเรา จะเป็น 1
ส่วนอันนี้, คูณเจ้านั่น
1 ส่วนสแควร์รูทของ 5 คูณ 2, 1
คุณคูณมันออกมา, หรือไม่ก็ได้
คุณจะปล่อยไว้ในรูปนั้นก็ได้
คุณสามารถ, สำหรับเวกเตอร์ v ใดๆ, คูณสามารถหาเวกเตอร์
หน่วยที่ชี้ไปในทิศเดียวกันได้, โดยถือว่าเรา
คิดเวกเตอร์ที่ไม่เป็น 0 อยู่
คุณสามารถลดรูปเป็นแบบนี้, ใช้
การกำหนดอีกอัน, แบบนี้ก็ได้
โดยนี่คือเวกเตอร์หน่วยอของ
เวกเตอร์ v บนนี้
ผมบอกไปว่า, ดูสิ, นี่คือ
การแปลงจาก Rn เป็น Rn
อย่างหนึ่งที่เราไม่แน่ใจ, คือว่ามันเป็นการแปลง
เชิงเส้นไหม
เราสามารถเขียนมันแบบนี้ได้เสมอ
ลองดูว่านี่เป็นการแปลงเชิงเส้น
เสมอหรือเปล่า
มันมีเงื่อนไขสองอย่างในการเป็นการแปลงเชิงเส้น
ลองดูว่าเกิดอะไรขึ้นถ้าเราหาโปรเจคชันลงบน L ของ
เวกเตอร์สองตัว
สมมุติว่าเวกเตอร์ a บวก เวกเตอร์ v
ถ้าผมหาผลบวกของเวกเตอร์พวกนั้น
ถ้านี่คือการแปลงเชิงเส้น, นี่ควร
เท่ากับการหาโปรเจคชัน
แต่ละตัว, แล้วค่อยบวกกัน
ลองดูว่านี่เป็นจริงหรือเปล่า
นี่เท่ากับ, ตามนิยามแล้ว, เราจะใช้
แบบเวกเเตอร์หน่วย, เพราะมันง่ายกว่า
นี่เท่ากับ a บวก b, นั่นคือ x ของเรา, ดอท u
แล้ว, ทั้งหมดนั่นคูณเวกเตอร์หน่วยของเรา
เรารู้ว่าดอทโปรดัคมีสมบัติการกระจาย,
แล้วนี่เท่ากับ a ดอท u บวก b ดอท u
พวกนี้คือเวกเตอร์หน่วย
ทั้งหมดนั่นคูณเวกเตอร์ u
พวกนี้คือตัวเลขสเกลาร์
การคูณสเกลาร์มีสมบัติการกระจาย
นี่เท่ากับ a ดอท u, คูณเวกเตอร์ u ของเรา
จำไว้, นี่จะเป็นสเกลาร์ค่าหนึ่ง
บวก b ดอท u คูณเวกเตอร์หน่วย u ของเรา
แล้วนี่เท่ากับอะไร
เจ้านี่ตรงนี้เท่ากับโปรเจคชันของ a
นี่เท่ากับโปรเจคชันลงบน L, โดย
นิยาม, ตรงนี้
โดยนิยามนี่
ถ้าเราถือว่าเรากำลังคิดตามนิยาม
เวกเตอร์หน่วยของเส้นตรง
นี่เท่ากับ, ทั้งหมดนี่ตรงนี้, เท่ากับ
บวกโปรเจคชันลงบน L ของเวกเตอร์ b
เราเห็นแล้วว่า เงื่อนไขแรกในการเเป็นการแปลง
เชิงเส้นนั้นเป็นจริง
โปรเจคชันของผลบวกของวกเตอร์ เท่ากับผลบวก
ของโปรเจคของเวกเตอร์
เงื่อนไขที่สองคือว่า โปรเจคชันของผลคูณ
สเกลาร์ควรเท่ากับผลคูณสเกลาร์ของ
โปรเจคชัน
ขอผมเขียนมันลงไปนะ
โปรเจคชันลงบน L ของผลคูณเชิงเส้นของ
เวกเตอร์ a คืออะไร
นั่นเท่ากับ ca ดอทเวกเตอร์หน่วย u ของเรา
คูณเวกเตอร์หน่วย u
อันนี้ตรงไปตรงมาขึ้นหน่อย
นี่คือผลคูณสเกลาร์
เราเห็นมันในสมบัติของดอทโปรดัค, นี่เท่ากับ c
คูณ a ดอท u, คูณเวกเตอร์ u
นี่ก็แค่เท่ากับ c คูณ, นี่ตรงนี้, คือ
โปรเจคชันของ a ลงบน L
เรามีเงื่อนไขทั้งสองข้อของการแปลงเชิงเส้นแล้ว
เรารู้ว่าโปรเจคชันลงบนเส้นตรง L ใน Rn
คือการแปลงเชิงเส้น
นั่นบอกเราว่า เราสามารถแทนมันด้วยการแปลง
เมทริกซ์ได้
เรารู้ว่าโปรเจคชันของ x ลงบน L, เรารู้ว่า
นิยามนี้, มันเขียนใหม่ได้
มันไม่ผิดที่จะเขียนใหม่
ว่า x ดอท เวกเตอร์หน่วยที่กำหนดเส้นตรงนี้
ขอผมวาดหมวกหน่อย เพื่อให้เห็นว่า
มันเป็นเวกเตอร์หน่วย
คูณเวกเตอร์หน่วยของตัวเอง, แล้วเรา
ก็ได้เวกเตอณืมา
ผมสามารถเขียนนี่เป็นผลคูณเมทริกซ์ได้อย่างไร
เมทริกซ์คูณกับเวกเตอร์
ผมอยากเขียนมันเป็นผลคูณของ
เมทริกซ์กับ x
เพื่อให้ง่าย, เนื่องจากเรากำลังยุ่ง
กับเมทริกซ์, ขอผมกำจัดมันไว้ที่ R2 นะ
ผมสมมุติว่าโปรเจคชันลงบน L จะ
เป็นการโยงจาก R2 ถึง R2
คุณทำสิ่งที่ผมกำลังทำตรงนี้
ในมิติใดๆ ก็ได้
ถ้าเรากำลังทำใน R2, แล้วเมทริกซ์ A ของเรา, ตรงนี้
จะเป็นเมทริกซ์ขนาด 2 คูณ 2
เราเห็นในหลายวิดีโอแล้วว่าจะหาเมทริกซ์ A
อย่างไร, เราแค่เอาเมทริกซ์เอกฐานที่มี
เวกเตอร์ฐานมาตรฐานเป็นคอลัมน์
0, 1
หรือ 1, 0 แล้วก็ 0, 1
และเราใช้การแปลงกับคอลัมน์
พวกนี้แต่ละตัว
เราบอกได้ว่า A จะเท่ากับ --
คอลัมน์แรก จะเท่ากับโปรเจคชันลงบน L ของ
เจ้านี่ตรงนี้
เราจะใช้สีส้มนี่, ตรงนี้
นั่นจะเท่ากับอะไร
นั่นจะเท่ากับเจ้านี่ ดอท u
ขอผมเขียน u ของผมนะ
เวกเตอร์หน่วยของผม, ลองสมมุติว่า u สามารถเขียน
ว่าเวกเตอร์หน่วยผม เท่ากับ ผลบวก u1 กับ u2
แบบนั้น
ผมอยากจับเจ้านี่ดอทกับเวกเตอร์หน่วยของผม,
ขอผมเขียนนี่ลงไปนะ
ขอผมเขียนนี่ไว้ด้านข้างนะ
อย่างแรกที่ผมอยากทำคือหาว่า โปรเจคชัน
คืออะไร -- โปรเจคชันลงบน L, ขอผม
เขียนแบบนี้นะ
เรารู้ว่าโปรเจคชัน เท่ากับ นี่ดอทนี่ คูณ
เวกเตอร์นั้น
ขอผมเขียนนะ
เวกเตอร์ 1, 0 ดอทเวกเตอร์หน่วย u,
ซึ่งก็แค่ u1, u2
เราจะได้นั่นคูณเวกตอร์หน่วยของผม
ผมจะเขียนมันแบบนี้นะ
คูณเวกเตอร์ u1, u2
นี่จะเท่ากับคอลัมน์แรกของผมใน
เมทริกซ์การแปลง
คอลัมน์ที่สองของผม จะเหมือนเดิม, แต่ผมยังไม่ได้
หาโปรเจคชันของเจ้านี่เลย
นิยามของโปรเจคชัน คือ คุณดอทเจ้านี่
กับเวกเตอร์หน่วยของเรา
เราก็ดอทไป
เรากำลังหาดอทโปรดัคของ 0,1
0, 1 ดอทเวกเตอร์หน่วย ดอท u1, u2
ผมจะคูณมันด้วยเวกเตอร์หน่วย
คูณ u1, u2
นี่ดูซับซ้อนมาก, แต่มันควรลดรูปได้ เมื่อเรา
พยายามหาเมทริกซ์การแปลงออกมา
ลองทำกันดู
เมื่อเราดอทสองตัวนี้, ผมจะได้อะไร
ขอผมเขียนมันลงไปตรงนี้นะ
เมทริกซ์ A ผมจะเป็น 1 คูณ u1, บวก 0 คูณ u2
นั่นก็แค่ u1
เจ้านี่ทั้งหมดจะลดรูปเหลือ u1, เมื่อผมหา
ดอทโปรดัคของสองตัวนี้
คูณ u1, u2
นั่นจะเท่ากับคอลัมน์แรกของผม
คอลัมน์ที่สองของผม, ถ้าผมดอทสองตัวนี้, ผมได้ 0 คูณ
u1 บวก 1 คูณ u2
ผมก็จะได้ u2 คูณเวกเตอร์หน่วย, u1, u2
ถ้าผมคูณมันออกมา, นี่จะเท่ากับอะไร
ผมสามารถเขียนมันเป็นคอลัมน์ได้. u1
คูณ u1 ได้ u1 กำลังสอง
u1 คูณ u2 ได้ u1, u2
u2 คูณ u1 ได้ u2 คูณ u1
แล้ว, u2 คูณ u2 เป็น u2 กำลังสอง
คุณให้เวกเตอร์หน่วยใดๆ ผมมา แล้วผมจะให้
การแปลง ที่ใช้หาโปรเจคชันของเวกเตอร์อื่นใด
ลงบนเส้นตรงที่กำหนดโดยเวกเตอร์นั้น
นั่นคือวิธีบอกยาวๆ
ลองกลับไปที่สิ่งที่ผมทำมาก่อน
สมมุติว่าเราอยากหาการแปลงใดๆ ลงบนเส้้นตรง,
ลงบนเวกเตอร์, ผมจะเขียนมันตรงนี้นะ
เราจะทำตัวอย่างเดิมกับที่เราทำในวิดีโอที่แล้ว
ถ้าผมมีเวกเตอร์ v ตัวหนึ่งที่เป็นแบบนั้น
เราบอกว่า เวกเตอร์ v เท่ากับ เวกเตอร์ 2, 1
นั่นคือเวกเตอร์ v ของผม
เราจะหาการแปลงสำหรับโปรเจคชัน
ลงบนเส้นตรงที่กำหนดโดย v ได้อย่างไร?
ลงบนเส้นตรงนี่ตรงนี้
เส้นตรงที่กำหนดโดย v
สิ่งที่เราทำอย่างแรก คือแปลง v ลงเป็นเวกเตอร์หน่วย
เราสามารถแปลง v เป็นเวกเตอร์หน่วย
ที่ชี้ไปในทางเดียวกัน
เวกเตอร์หน่วย u จริง
เราทำไปแล้วตรงนี้
โดยเราก็แค่หารด้วย
ด้วยความยาวของมัน
ลองเอา v มาแล้วหารด้วยความยาวของมัน
เวกเตอร์หน่วยคืออันนี้, 1 ส่วนสแควร์รูทของ 5
คูณเวกเตอร์ v ของเรา
มันคือ 1 ส่วนสแควร์รูทของ 5 คูณ
เวกเตอร์ v, ตรงนี้
คุณเริ่มด้วยเวกเตอร์หน่วยตรงนี้
คุณก็สร้างเมทริกซ์นี่ขึ้นมา, แล้วเราจะได้
เมทริกซ์การแปลงมา
ถ้านี่เวกเตอร์ u เรา, นั่นคือเมทริกซ์ของเรา
นี่คือ u
แล้วเมทริกซ์เราจะเท่ากับ u1 กำลังสอง
u1 กำลังสองคืออะไร
ขอผมเขียน u ใหม่หน่อย, ไม่ใช่หมุม
เวกเตอร์ u ของเรา, เวกเตอร์หน่วยที่กำหนดเส้นตรงนี้,
เท่ากับเวกเตอร์ 2 ส่วนสแควร์รูทของ 5 และ 1 ส่วน
สแควร์รูทของ 5
ผมแค่คูณสเกลาร์นี่ออกมา
ถ้าเราอยากสร้างเมทริกซ์นี่, เราจะได้ A เท่ากับ
u1 กำลังสอง
แล้วนี่กำลังสองได้อะไร?
มันกลายเป็น 2 กำลังสอง 4 ส่วนสแควร์รูทของ 5 กำลังสอง,
ซึ่งก็แค่ 5
เท่ากับ 4 ส่วน 5
แล้ว u1 คูณ u2 คืออะไร?
2 คูณ 1 ส่วนสแควร์รูทของ 5 คูณสแควร์รูทของ 5
ได้, 2/5
ผมแค่คูณสองตัวนี้เข้าด้วยกัน
แล้ว u2 คูณ u1 คืออะไร
เหมือนเดิม
ลำดับไม่สำคัญเวลาคุณคูณ
นี่จะยังเท่ากับ 2/5
แล้ว u2 กำลังสอง คืออะไร
1 กำลังสอง ส่วนสแควร์รูทของ 5 กำลังสอง ก็แค่ 1/5
ทีนี้เราบอกได้ว่า -- นั่นคือสิ่งที่เนี๊ยบเวลา
สร้างเมทริกซ์ขึ้นมา, ว่าโปรเจคชัน -- สมมุติว่าเรามี
, สมมุติว่านี่คือจุดกำเนิดตรงนี้, รเามี
เวกเตอร์อีกตัว x, ตรงนี้
เราได้กำหนดการแปลงขึ้นมา
โปรเจคชันลงบน L โดย L เท่ากับผลคูณ
สเกลาร์ของเวกเตอร์หน่วย u ของเรา
มันอยู่ตรงนี้
เป็นสมาชิกของจำนวนจริง
นั่นคือเส้นตรง L ของเรา
โปรเจกชันลงบน L ของเวกเตอร์ x ใดๆ
เท่ากับเมทริกซ์นี้
เท่ากับเมทริกซ์ 4, 5, 2/5, 2/5, 1/5 คูณ x
ซึ่งเป็นผลที่เนี๊ยบทีเดียว, อย่างน้อยสำหรับผม
เราลดรูปทุกอย่างเหลือแค่การคูณ
เมทริกซ์
คุณเอา x นี่มาแล้วคุณคูณมันด้วยเมทริกซ์นี่,
คุณจะได้โปรเจคชันของมันลงบน
L, บนเส้นตรงนั้น
ถ้าคุณเอาเวกเตอร์นี้มา, สมมุติว่า a, แล้วคุณคูณมัน
กับเมทริกซ์นี่ตรงนี้, คุณจะได้โปรเจคชัน
ของมัน
โปรเจคชันของมันบนเส้นตรง
ถ้าคุณเอาเวกเตอร์นี้มา -- ไม่ใช่สิ, มันควร
ผ่านจุดกำเนิด
ผมอยากวาดมันในตำแหน่งมาตรฐาน
ถ้าคุณเอาเวกเตอร์นี้มา, ตรงนี้, แล้วคูณมันกับ
เมทริกซ์นี่, คุณจะได้เวกเตอร์นี่, ตรงนี้,
อยู่บนเส้นตรงนี้
เมื่อเราลบมันจากอันนี้, มันจะตั้งฉากกัน
เรารู้นิยามแล้ว
มันก็แค่เงาของเวกเตอร์นั่น
เอาล่ะ, ผมว่ามันเจ๋งดีนะ