Tip:
Highlight text to annotate it
X
หลังจากวิดีโอที่แล้ว หวังว่าเราคง
คุ้นเคยกับการบวกเมทริกซืแล้ว
ตอนนี้เราจะเรียนวิธีคูณเมทริกซ์กัน
จำไว้ว่า นี่เป็นนิยามที่มนุษย์ตั้งขึ้น
สำหรับการคูณเมทริกซ์
เราสามารถตั้งวิธีคูณที่ต่าง
ออกไปได้อีก
แต่ผมแนะให้คุณเรียนวิธีนี้เพราะมันจะช่วย
คุณในวิชาเลข
และเราจะเห็นต่อไปว่ามันมีบทประยุกต์
มากมายที่มาจากการคูณ
เมทริกซ์แบบนี้
งั้นขอผมคิดเมทริกซ์สองตัวขึ้นมาก่อน
ผมจะทำ 2 คูณ 2 เมทริกซ์ และคูณมันเข้าด้วยกัน
สมมุติว่า -- ขอผมเลือกเลขสุ่ม ๆ ขึ้นมา: 2,
-3, 7 และ 5
และผมจะคูณเมทริกซ์นั้น หรือ ตาราง
ตัวเลขนั้นกับ 10, -8 -- ขอผมเลือกเลขดี ๆ
หน่อย-- 12 แล้วก็ลบ 2
ตอนนี้คุณอาจมีความรู้สึก -- และคุณรู้
ว่าในบางครั้ง มันไม่ใช่แม้กระทั่งความรู้สึกที่แย่ -- ที่จะ
คูณแบบเดียวกับที่เราทำ
กับการบวก ก็แค่คูณ
เทอมที่ตรงกัน คุณอาจอยากบอกว่า อืม เทอมแรก
ตรงนี้คือ เทอม 1,1 หรือแถวแรก คอลัมน์
แรก ดังนั้นจะได้ 2 คูณ 10
และเทอมนี้จะเท่ากับ ลบ 3 คูณ
ลบ 8 และต่อไป
และนั่นคือวิธีที่เราบวกเมทริกซ์ ดังนั้นมันอาจ
เป็นวิธีธรรมชาติที่จะคูณเมทริกซ์ในลักษณะเดียวกัน
มันก็ไม่ผิด
ใครก็สามารถนิยามมันได้ แต่มันไม่ใช่วิธี
ที่ทำกันในโลกแห่งความจริง
และวิธีที่เป็นไปบนโลกนี้
โชคร้าย ที่มันซับซ้อนกว่านั้น
แต่หากคุณดูตัวอย่างหลาย ๆ อัน ผม
ว่าคุณคงเข้าใจ
และคุณจะรู้ว่ามันก็
ตรงไปตรงมาดี
แล้วเราจะคูณยังไง
เทอมแรก นั้นมาจากแถวแรก และคอลัมน์แรก
นั้น เท่ากับ เวกเตอร์แถวอันแรกน
-- ไม่ใช่สิ เวกเตอร์แแถวแรกนี้ --
คูณกับเวกเตอร์คอลัมน์นี้
ผมหมายความว่ายังไง
มันจะได้ข้อมูลแถวจาก แถวของเมทริกซ์ตัวแรก
และได้ข้อมูลคอลัมน์จาก
คอลัมน์ของเมทริกซ์ตัวที่สอง
แล้วผมจะทำอย่างไรกับมัน
หากคุณคุ้นเคยกับ dot product มันก็แค่
dot product ของเมทริกซ์สองตัวนั้น
หรือถ้าไม่อยากพูดให้ยาก มันก็แค่อย่างนี้: มันคือ 2
คูณ 10 ดังนั้น 2 -- ผมจะเขียนตัวเล็ก ๆ นะ-- คูณ 10 แล้วบวก
ลบ 3 คูณ 12
ผมจะไม่มีที่แล้ว
แล้วเทอมที่สองตรงนี้ล่ะ
เรายังคงใช้แถวแรกในการคูณ
แต่ตอนนี้เราอยู่ที่คอลัมน์ที่สอง
เราได้ข้อมูลคอลัมน์จากตรงนี้
ลองเลือกสีดี ๆ สักสี -- นี่เป็น
สีม่วงคนละเฉดหน่อย
ตอนนี้ มันจะได้ -- ผมจะทำมันด้วย
อีกสีหนึ่ง -- 2 คูณลบ 8-- ขอผมเขียนเลขออกมา --
2 คูณลบ 8 เท่ากับ ลบ 16 บวก ลบ 3 คูณ ลบ 2--
ลบ 3 คูณลบ 2 ได้เท่าไหร่
มันเท่ากับ บวก 6 จริงไหม
นั่นคือ แถว 1 คอลัมน์ 2
นั่นคือ ลบ 16 บวก 6
จากนั้นลองลงมาตรงนี้
ตอนนี้เราอยู่ในแถวที่สอง
ตอนนี้เราจะใช้ -- เรากำลังเอาข้อมูล
แถวจากเมทริกซ์ตัวแรก -- ผมรู้ว่ามันงง
และผมเสียใจด้วยตอนนี้ แต่เราจะ
ทำตัวอย่างหลาย ๆ อัน และผมว่าคุณจะเข้าใจเอง
ดังนั้นเทอมนี้ -- เทอมซ้ายล่าง -- จะได้แถวนี้
คูณกับคอลัมน์นี้
ดังนั้นมันจะเป็น 7 คูณ 10 ดังนั้น 70 บวก 7 คูณ 10
บวก 5 คูณ 12 ได้บวก 60
จากนั้นเทอมล่างขวา จะเป็น 7 คูณ ลบ
8 ได้เท่ากับ ลบ 56 บวก 5 คูณ ลบ 2
นั่นนเท่ากับ ลบ 10
ดังนั้นผลคูณสุดท้ายจะเป็น 2 คูณ 10 เท่ากับ 20, ลบ
36 นั่นคือ ลบ 16 บวก 6 ได้เท่ากับ 10
90-- ผมบอกว่างั้นเหรอ
ไม่ใช่ มันต้อง -- 70 บวก 60 ได้ 130
จากนั้น ลบ 56 ลบ 10 ได้ ลบ 66
แล้วเราก็ได้คำตอบ
เราแค่คูณเมทริกซ์นี้เข้ากับเมทริกซ์นี้
ขอผมทำอีกตัวอย่างนึง
และผมคิดว่าผมจะบีบมันลงข้างนี้เพื่อ
ให้เราเขียนด้านนี้ได้สวยขึ้น
งั้นเอาเมทริกซ์มาก ตอนนี้เป็น 1,2,3,4 คูณกับ
เมทริกซ์ 5,6,7,8
ตอนนี้เรามีที่ให้คิดมากขึ้น มันคงดู
สะอาดขึ้นนะ
โอเค แต่ผมก็ยังทำเหมือนเดิม เพื่อให้ได้เทอม
ทางขวานี้ -- เทอมบนซ้าย -- เราจะเอา --
หรือเทอมที่อยู่แถว 1 คอลัมน์ 1 -- เราจะเอา
ข้อมูลแถว 1 จากตรงนี้ และข้อมูลคอลัมน์ 1
จากตรงนี้
ดังนั้นคุณสามารถมองว่า เวกเตอร์แถวนี้
คูณกับเวกเตอร์คอมลัมน์นี้
ดังนั้นจะได้ 1 คูณ 5 บวก 2 คูณ 7
ถูกไหม
ได้แล้ว
ดังนั้นเทอมนี้ มันจะมาจากเวกเตอร์แถวนี้ คูณกับ
เวกเตอร์คอลัมน์นี้ -- ขอผมทำด้วยอีกสีนึง --
จะได้ 1 คูณ 6 บวก 2 คูณ 8
ขอผมเขียนมันลงไป
ได้ 1 คูณ 6 บวก 2 คูณ 8
ตอนนี้เราจะลงไปที่แถวสอง
และเราจะเอาข้อมูลแถวจากเวกเตอร์แรก -- ขอผม
วงกลมมันด้วยสีนี้ -- และจะได้ 3 คูณ 5
บวก 4 คูณ 7
จากนั้น เราก็ดูที่ล่างขวา นั่นคือเราอยู่ที่แถวล่าง
และคอลัมน์ที่สอง
ดังนั้นเราได้ข้อมูลแถวจากตรงนี้ และข้อมูล
คอลัมน์จากตรงนี้
ดังนั้นจะได้ 3 คูณ 6 บวก 4 คูณ 8
และหากเราลดรูป จะได้ 5 บวก --
ที่จริง ขอผมบอกคุณอีกทีว่า
เลขเหล่านี้มาจากไหน
เรามีสีเขียวนั่น ถูกไหม
1 กับ 2 นั่นคือ 1 นี้ กับ 2 นี้
1 นี้ กับ 2 นี้
จริงไหม
และระลึกว่า มันอยู่แถวแรก และมัน
อยู่ในแถวแรกตรงนี้
แล้ว 5 นี้ กับ 7 นี้ล่ะ
นั่นคือ 5 นี้ กับ 7 นี้ และ 5 นี้ กับ 7 นี้
น่าสนใจ
นี่อยู่ในคอลัมน์ 1 ของเมทริกซ์ที่ต้อง และนี่อยู่
ในคอลัมน์ 1 ของเมทริกซ์ผลลัพธ์
และเหมือนกันสำหรับ 6 กับ 8
นี่คือ 6 กับ 8 จากนี้มันก็ถูกใช้ตรงนี้ 6 นี้
กับ 8 นี้
จากนั้น สุดท้าย 3 นี้ กับ 4 นี้ในสีน้ำตาล
นั่นก็คือ 3 นี้ กับ 4 นี้ และ 3 นี้กับ 4 นี้
สุดท้ายเราสามารถลดรูปทุกเทอมได้
นี่เท่ากับ 1 คูณ 5 บวก 2 คูณ 7 ดังนั้นมันคือ 5 บวก 14
ได้เท่ากับ 19
นี่คือ 1 คูณ 6 บวก 2 คูณ 8 นั่นคือ 6 บวก
16 ได้เท่ากับ 22
นี่คือ 3 คูณ 5 บวก 4 คูณ 7
ได้ 15 บวก 28, 38, 43 -- หากผมคิดเลขถูก-- จากนั้น
เรามี 3 คูณ 6 บวก 4 คูณ 8
จะได้ 18 บวก 32 นั่นเท่ากับ 50
ตอนนี้ขอผมถามคุณหน่อย -- แค่ให้คุณรู้ว่าเมทริกซ์ผลคูณ
-- เขียนให้สวยหน่อย -- คือ
19, 22, 43 และ 50
เอาล่ะ ขอถามหน่อย
เมื่อเราบวกเมทริกซ์ เรารู้ว่าหากผมมีเมทริกซ์
สองตัว -- ไม่ว่าลำดับที่บวกเป็นอย่างไร
หากเราบอกว่า A บวก B -- และพวกนี้คือเมทริกซ์ นั่นคือ
สาเหตุที่ผมทำมันเป็นตัวหนา-- เราบอกว่ามันเหมือนกับ
B บวก A ตามที่เรานิยามการบวกเมทริกซ์
B บวก A
งั้นผมจะถามคุณว่า
การคูณเมทริกซ์สองตัว AB -- หมายถึง
เราคูณ A กับ B -- มันเหมือนกับ BA หรือเปล่า
มันสำคัญไหม
ลำดับการคูณเมทริกซ์นี่สำคัญหรือเปล่า
ผมจะบอกคุณตอนนี้ว่า มันสำคัญ
อย่างใหญ่หลวงเลย
และที่จริงมันมีเมทริกซ์บางตัวที่สามารถบวกในทางหนึ่งได้
แต่คุณไม่สามารถบวกอีกทาง -- ไม่ใช่ ผมหมายถึง
คุณสามารถคูณทางหนึ่งได้ แต่คุณคูณ
กลับลำดับไม่ได้
และที่จริง ผมจะยกตัวอย่างให้คุณดู -- แต่แค่
ให้เห็นว่าไม่ได้เท่ากับสำหรับแทบทุกเมทริกซ์ ผมแนะนำ
ให้คุณคูณเมทริกซ์อสงตัวนี้
ในลำดับสลับกัน
ที่จริง เดี๋ยวผมทำให้ดู
ขอผมคิดเร็ว ๆ แค่ให้คุณ
เห็นว่ามันเป็นอย่างนั้น
งั้นขอผมลบส่วนบนก่อน
ขอผมลบทั้งหมดเลย และผมก็ลบอันนี้ได้ด้วย
ดังนั้นหวังว่าคุณคงรู้ว่าเมื่อผมคูณเมทริกซ์นี้
กับเมทริกซ์ ผมได้อันนี้
ดังนั้นขอผมเปลี่ยนลำดับ -- และผมจะทำเร็ว ๆ
เพื่อไม่ให้คุณเบื่อ -- งั้นผมจะเปลี่ยนลำดับ
การคูณเมทริกซ์นะ
อันนี้ก็เป็นตัวอย่างอีกอันที่ดี -- งั้นผมจะคูณ
เมทริกซ์นี้: 5,6,7,8 คูณกับเมทริกซ์นี้ --
และผมจะสลับลำดับ แล้วเราจะดูว่าลำดับสำคัญ
หรือเปล่า -- 1,2,3,4
ลองดู -- และผมจะไม่ใส่สีต่าง ๆ อะไรพวกนั้น
ผมแค่ทำมันให้เป็นระบบหน่อย
ผมว่าคุณต้องเห็นตัวอย่างเยอะ ๆ -- ดังนั้น
เทอมแรกนี้จะได้ข้อมูลแถวจาก เมทริกซ์ตัวแรก
ข้อมูลคอลัมน์จากเมทริกซ์ตัวที่สอง
ดังนั้น มันคือ 5 คูณ 1 บวก 6 คูณ 3 จะได้เป็น 5 บวก 1 --
ขอผมเขียน เอ่อ แก้มันหน่อย
ผมจะข้ามขั้นตอนเลย -- โอเค มันเท่ากับ 5 คูณ 1
บวก 6 คูณ 3 คือ บวก 18
แล้วเทอมที่สองตรงนี้ล่ะ
มันจะเท่ากับ 5 คูณ 2 บวก 6 คูณ 4
ดังนั้น 5 คูณ 2 ได้ 10 บวก 6 คูณ 4 ได้ 24
ตอนนี้ คุณก็แค่เอาแถวนี้คูณกับ
คอลัมน์ตรงนี้
โอเค ตอนนี้เราลงมาถึงตรงที่ -- เรากำลังใช้
แถวนี้ พจน์ตรงนี้ที่มุมล่างซ้ายจะใช้
แถวนี้ กับคอลัมน์นี้
นั่นเท่ากับ 7 คูณ 1 บวก 8 คูณ 3
8 คูณ 3 ได้ 24
และสุดท้าย เราก็ได้เทอมนี้จากการคูณ
แถวนี้กับคอลัมน์นี้ นั่นคือ 7 คูณ 2
ได้ 14 บวก 8 คูณ 4 คือ บวก 32
นั่นเท่ากับ 5 บวก 18 ได้ 23, 24
7 บวก 24 ล่ะ
นั่นคือ 31, 46
ระลึกไว้ว่า ถ้าเราเรียกเมทริกซ์นี้ว่า A และเมทริกซ์นี้
ว่า B ถูกไหม
ในตัวอย่างที่แล้ว เราได้แสดงว่า A คูณ B เท่ากับ 18
22, 43, 50
และเราเพิ่งแสดงไปว่า หากคุณสลับที่เป็น B
คูณ A จะได้เมทริกซ์ที่ไม่เหมือนกันเลย
ดังนั้นลำดับการคูณ
เมทริกซ์นั้นสำคัญ
ผมหมดเวลาแล้วล่ะ
ในวิดีโอหน้าผมจะพูดถึงประเภทของเมทริกซ์อีกหน่อย
-- เรารู้ว่าลำดับมีผลต่อคำตอบ --
และในวิดีโอหน้าผมจะแสดงให้ดูว่าเมทริกซ์แบบไหน
ถึงจะเอามาคูณกันได้
เมื่อเราบวกหรือลบเมทริกซ์ เราบอกว่า
มันต้องมีไดเมนชันเท่ากันเพราะคุณ
บวกหรือลบเทอมที่ตรงกัน แต่คุณจะเห็น
ว่าในเรื่องการคุณนั้น มันต่างออกไป
และเราจะพูดถึงมันในวิดีโอหน้า
แล้วเจอกันครับ