Tip:
Highlight text to annotate it
X
-
สมมุติว่าผมมีเซตของเวกตอร์ -- ผมไม่อยากให้
มันหนาเกินไป
สมมุติว่าเวกเตอร์ตัวหนึ่งคือ เวกเตอร์ 2, 3 แล้ว
เวกเตอร์อีกตัวคือเวกเตอร์ 4, 6
และผมอยากตอบคำถามว่า: สแปนของเวกเตอร์
พวกนี้คืออะไร?
แล้วลองสมมุติว่าพกวนี้คือเวกเตอร์ตำแหน่ง
เวกเตอร์ทั้งหมด ที่เวกเตอร์สองตัว
นี้แทนออกมาได้คืออะไร?
ทีนี้, ถ้าคุณดูมัน, และจำไว้, สแปนก็แค่
เวกเตอร์ทุกตัวที่สามารถแทนได้ด้วยผลรวม
เชิงเส้นของสองตัวนี้
มันก็คือเซตของเวกเตอร์ทุกตัว ถ้าผมมีค่าคงที่
คูณ 2 คูณเวกเตอร์นั่น บวกค่าคงที่
อีกตัวคูณเวกเตอร์นี่, มันคือ
ความเป็นไปได้ทุกอย่างที่ผมแสดงได้ ถ้าผมมี
จำนนวนจริงค่าต่างๆ สำหรับ c1 และ c2
ทีนี้, อย่างแรกที่คุณอาจสังเกตได้คือว่า, ดูสิ,
เวกเตอร์ 2, นี่ก็เหมือนกับ
2 คูณเวกเตอร์นี่
ผมก็สามารถเขียนมันแบบนี้ได้
ผมสามารถเขียนมันใหม่เป็น c1 คูณเวกเตอร์ 2, 3 บวก c2
คูณเวกเตอร์ -- และตรงนี้, แทนที่จะเขียนเวกเตอร์
4, 6, ผมจะเขียน 2 คูณเวกเตอร์ 2, 3, เพราะ
เวกเตอร์นี่ก็แค่จำนวนเท่าของเวกเตอรืนั่น
ผมก็เขียนมันได้ว่า c2 คูณ 2 คุณ 2, 3
ผมว่าคุณคงเแล้วว่ามันเท่ากับ 4, 6
2 คูณ 2 ได้ 4
2 คูณ 3 ได้ 6
ทีนี้, เราสามารถจัดรูปมันได้หน่อย
เราสามารถเขียนนี่ว่า c1 บวก 2 c2, ทั้งหมดนั่น, คูณ
2, 3 คูณเวกเตอร์ของเรา 2, 3
และนี่ก็แค่ค่าคงที่ตามใจ
มันคือค่าคงที่ตามใจค่าหนึ่ง บวก 2 คูณค่าคงที่
ตามใจอีกค่าหนึ่ง
เราจะเรียกนี่ว่า c3 คูณเวกเตอร์ของผม 2, 3
และในกรณ๊นี้, แม้ว่าเราจะเริ่มต้นด้วยเวกเตอร์
สองตัว และผมบอกว่า, สแปนของ
เวกเตอร์สองตัวนี้ เท่ากับเวกเตอร์ที่สามารถสร้าง
จากผลรวมเชิงส้นของเจ้าวพกนี้, ผลรวม
เชิงเส้นของเจ้าพวกนี้, ถ้าผมแทนที่
ตรงนี้, มันก็เหลือแค่สเกลาร์คูณ
เวกเตอร์ตัวแรกของผม
และผมสามารถทำกลับกันได้
ผมสามารถแทนเวกเตอร์นี่ลงไป ว่าเป็น 1/2 คูณ
เจ้านี่, แล้วมันก็คือผลรวม เป็นจำนวนเท่าสเกลาร์
ของเวกเตอร์ตัวที่สอง
แต่ความจริงคือว่า, แทนที่จะพูดถึงผลรวม
เชิงเส้นของเวกเตอร์สองตัว, ผมสามารถลดรูปนี่ เป็น
ผลรวมย่อขยายของเวกเตอร์ตัวเดียว
และเราเห็นแล้วใน R2 ผลรวมย่อขยายของเวกเตอร์ตัวเดียว,
โดยเฉพาะถ้ามันเป็นเวกเตอร์ตำแหน่ง
ตัวอย่างเช่น, เวกเตอร์ 2, 3 นี่
มันคือ 2, 3
มันเป็นแบบนี้
แล้วผลรวมย่อขยายของเวกเตอร์นั่น จะ
วางตัวบนเส้นตรงนี้
2, 3, มันจะอยู่ตรงนี้
พวกมันทั้งหมดอยู่บนเส้นตรงนั่นตรงนั้น
ตามเส้นตรงนี้ จะยาวไปทั้งสองทิศตลอดไป
แล้วถ้าผมหาค่าลบ ของ 2, 3, ผม
จะลงไปตรงนี้
ถ้าผมใช้ค่าบวก, ผมจะไปตรงนี้
ถ้าผมใช้ค่าบวกมาๆ, มันจะ
ขึ้นไปบนนี้
แต่ผมสามารถแทนเวกเตอร์ และคุณใส่มัน
ในรูปมาตรฐานได้, ลูกศรพวกนั้น
ลากไปเป็นเส้นตรงนี้
คุณก็บอกได้ว่า สแปนของเซตเวกเตอร์ -- ขอผม
ใส่มันตรงนี้นะ
-
สแปนของเซตเวกเตอร์ 2, 3 และ 4, 6 คือ
เส้นตรงนี่ตรงนี้
แม้ว่าเราจะมีเวกเตอร์สองตัว
แต่พวกมันอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน
พวกมันเป็นจำนวนเท่าของกันและกัน
ผมหมายความว่า, ถ้านี่คือ 2, 3, แล้ว 4, 6 จะอยู่ตรงนี้
มันก็แค่ยาวกว่า
มันอยู่ในแนวเดียวกัน
สองตัวนี้อยู่ในเส้นตรงเดียวกัน
-
ทีนี้, ในกรณีนี้, เมื่อเรามีเวกเตอร์สองตัวที่อยู่ในแนวเดียวกัน
ใน R2, ที่สุดแล้ว สแปนของมันก็ลดเหลือเส้นตรง
คุณไม่สามารถแทนเวกเตอร์แบบ --
ขอผมใช้สีใหม่นะ
คุณสามารถแทนเวกเตอร์นี่ตรงนี้
ด้วยผลรวมของเวกเตอร์สองตัวนี้
มันไม่มีทางที่คุณจะออกจากเส้นตรงนี่ได้
มันจึงไม่มีทางที่คุณจะแสดงทุกอย่างใน R2 ได้
สแปนก็แค่เส้นตรงนั่นตรงนั้น
ทีนี้, แนวคิดที่เกี่ยวข้องกับอันนี้, สังเกตดู, คุณมี
เวกเตอร์สองตัว, แต่มันลดลงเหลือเวกเตอร์เดียว เมื่อ
คุณหาผลรวมเชิงเส้น
แนวคิดที่เกี่ยวข้องตรงนี้คือว่า เราเรียกเซตนี้ -- เราเรียก
มันว่าไม่อิสระเชิงเส้น (linearly dependent)
ขอผมเขียนมันลงไปนะ: ไม่อิสระเชิงเส้น
นี่คือเซตที่ไม่อิสระเชิงเส้น
และคำว่า ไม่อิสระเชิงเส้น หมายความว่า เวกเตอร์ตัวหนึ่ง
ในเซตนั้น สามารถแทนได้ด้วยผลรวมเชิงเส้น
ของเวกเตอรือื่นๆ ในเซต
วิธีคิดคือว่า มันมีเวกเตอร์ตัวใดก็ตามที่คุณเลือกขึ้นมา
สามารถเขียนในรูปของตัวอื่น, มันไม่ได้
เพิ่มทิศใหม่ หรือข้อมูลใหม่, จริงไหม?
ในกรณีนี้, เรารู้ว่าเวกเตอร์ที่อยู่บน
ทิศนี้, และเมื่อคุณใส่ 4, 6 ลงไป, คุณจะได้
ทิศเดิม, แค่ขยายออก
มันจึงไม่ได้ให้มิติใหม่กับเรา, ไม่ทำให้เรา
หลุดออกจากเส้นตรงนี้, จริงไหม?
และคุณนึกภาพได้ในสามมิติ, ถ้าคุณมีเวกเตอร์ตัวหนึ่ง
เป็นแบบนี้ และเวกเตอร์อีกตัวหนึ่งเป็น
แบบนี้, เวกเตอร์สองตัวนี้ไม่อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน, พวกมันจึง
สร้างสเปซสองมิติขึ้นมา
มันกำหนดสเปซสองมิติขึ้นมา
สมมุติว่านี่คือระนาบที่เกิดจาก
เวกเตอร์สองตัวนี้
ในการกำหนด R3, เวกเตอร์ตัวที่สามในเซตนั้น ต้อง
ไม่อยู่ในระนาบเดียวกับเวกเตอร์สองตัวนั้น, จริงไหม?
ถ้าเวกเตอร์ตัวที่สาม อยู่ในระนาบเดียวกับเจ้านี่, มันจะ
ไม่เพิ่มมิติให้กับเซต
แล้วเซตของเวกเตอร์สามตัวนี้
จะกลายเป็นไม่อิสระเชิงเส้น
และวิธีคิดอีกอย่างคือว่า เวกเตอร์สองตัวนี้
สแปนเป็นระนาบนี้, สแปนระนาบที่มันสร้างขึ้น
, จริงไหม?
อะไรก็ตามในระนาบนี้ ในทิศใดก็ตาม สามารถ --
เวกเตอร์ใดๆ ในระนาบนี้, เมื่อเราบอกว่าเราสแปนมัน, นั่นหมายความว่า
เวกเตอร์ใดๆ สามารถเขียนในรูปผลรวมเชิงเส้น
ของเวกเตอร์กับเวกเตอร์นี้, ซึ่งหมายความว่า
ถ้าเวกเตอร์นี้อยู่บระนาบนั่น, มันสามารถเขียนเป็นผลรวม
เชิงเส้นของเวกเตอร์นั่นกับเวกเตอร์นั่นได้
แล้วเวกเตอร์สีเขียวนี่ที่ผมบวกเข้าไป จะไม่เพิ่มอะไร
ให้กับสแปนของเซตเวกเตอร์เรา นั่นเป็นเพราะนี่คือ
เซตที่ไม่อิสระเชิงส้น
เจ้านี่สามารถแสดงเป็นผลบวกของเจ้านั่นกับเจ้านั่นได้
เพราะเจ้านี่ กับเจ้านี่สแปนระนาบนี้
เพื่อให้สแปนของเวกเตอร์สามตัว มีมิติ
เพิ่มขึ้น หรือแทน R3 ได้, เวกเตอร์ตัว
ที่สามต้องแยกออกจากระนาบนั้น
มันต้องพุ่งออกจากระนาบ
และถ้าเวกเตอร์นั่นแยกออกจากระนาบ, นั่น
หมายความว่าเวกเตอร์นั้นไม่อยู่ตรงไหนใน
ระนาบเลย, มันอยู่นอกสแปนของเวกเตอร์สองตัวนั้น
ถ้ามันอยู่ข้างนอก, มันก็ไม่สามารถเขียนในรูปผลรวม
เชิงเส้นของเจ้านี่กับเจ้านี่ได้
แล้วถ้าคุณมีเวกเตอร์อันนี้, อันนี้, และอันนี้,
แล้วแค่สามตัวนั้น, ไม่มีตัวอื่นใดที่
ที่ผมวาดอีก, พวกมันจะเป็นอิสระเชิงเส้น
ขอผมวาดตัวอย่างให้คุณดูอีก
อันนี้อาจเป็นนามธรรมไปหน่อย
ตัวอย่างเช่น, ถ้าผมมี เวกเตอร์ 2, 3 และผมมี
เวกเตอร์ 7, 2 และผมมีเวกเตอร์ 9, 5 และผม
ถามว่า เจ้าพวกนี้เป็นอิสระเชิงเส้น หรือไม่อิสระเชิงเส้น?
อย่างแรกคุณอาจบอกววา, อืม, คุณก็รู้, มันไม่ง่ายนัก
ลองดู, นี่ไม่ใช่จำนวนเท่าสเกลาร์ของอันนั้น
มันดูไม่เหมือนสกลาร์คูณกับเวกเตอร์
สองตัวที่เหลือ
บางทีมันอาจเป้นอิสระเชิงเส้นก็ได้
แต่แล้ว, ถ้าคุณดูดีๆ, คุณจะเห็นว่า
v นั่น, ถ้าผมเรียกนี่ว่า v1, เวกเตอร์ 1, บวกเวกเตอร์ 2, ถ้า
เราเรียกนี่ว่าเวกเตอร์ 2, เท่ากับเวกเตอร์ 3
แล้วเวกเตอร์ 3 เป็นผลรวมเชิงเส้น
ของเวกเตอร์สองตัวที่เหลือนี้
นี่จึงเป็นเซตที่ไม่อิสระเชิงเส้น
และถ้าเราแสดงได้, ลองวาดมันในสเปซสองมิติ,
และนั่นคือแนวคิดทั่วไป -- ขอผมดูหน่อย
ขอผมวาดมันใน R2 นะ
แนวคิดทั่วไปคือว่า ถ้าคุณมีเวกเตอร์สองมิติ
3 ตัว, ตัวหนึ่งจะเกินมา
ทีนี้, พวกมันตัวหนึ่งต้องเกินมาแน่นอน
ตัวอย่างเช่น, ถ้าเราทำ 2, 3, ถ้าเราทำเวเตอร์ 2, 3, นั่นคือ
ตัวแรกตรงนี้
ผมวาดมันในตำแหน่งมาตรฐาน
และผมวาดเวกเตอร์ 7, 2 ตรงนี้, ผมก็แสดงให้คุณเห็นได้
ว่าจุดๆ ใดใน R2 สามารถแทนได้ด้วยผลรวม
เชิงเส้นของเวกเตรอร์สองตัวนี้
เราสามารถทำได้ด้วยการแสดงภาพ
ทำมาแล้วในวิดีโอก่อน, ผมก็สามารถเขียนว่า
สแปนของ v1 กับ v2 เท่ากับ R2
นั่นหมายความว่า, เวกเตอร์ทุกตัว, ทุกตำแหน่งตรงนี้สามารถ
แสดงได้ด้วยผลรวมเชิงเส้นของสองตัวนี้
ทีนี้, เวกเตอรื 9, 5, มันอยู่ใน R2
มันอยู่ใน R2, จริงไหม?
ชัดเจน
ผมวาดมันลงในระนาบนี้แล้ว
มันคือสเปซจำนนวนจริง, สองมิติ
และผมเดาว่า เราเรียกมันว่าสเปซหรือเซต R2 ก็ได
มันอยู่ตรงนี้
อยู่นี่แล้ว
เราก็แค่บอกว่า อะไรก็ตามใน R2 สามารถแสดงเป็น
ผลรวมเชิงเส้นของสองตัวนี้
แน่นอน, นี่อยู่ใน R2, มันจึงสามารถแทนได้
ผลรวมเชิงเส้น
หวังว่า, คุณจะเริ่มเห็นความสัมพันธ์
ระหว่างสแปน กับความเป็นอิสระเชิงเส้น และ
ไม่อิสระเชิงเส้นแล้ว
ลองดูอีกตัวอย่างหนึ่ง
สมมุติว่าผมมีเวกเตอร์ -- ขอผมสร้างเวกเตอร์ใหม่นะ
สมมุติว่าผมมีเวกเตอร์ -- อันนี้จะชัดเจน
หน่อย -- 7, 0 นั่นคือ v1, แล้วผมมี
เวกเตอร์ตัวที่สอง, ซึ่งก็คือ 0, ลบ 1
นั่นคือ v2
ทีนี้, เซตนี้เป็นอิสระเชิงเส้นหรือไม่?
มันเป็นอิสระเชิงเส้นหรือเปล่า?
ทีนี้, ผมสามารถแทนตัวใดตัวหนึ่งนี้
ด้วยผลรวมของอีกตัวหรือเปล่า?
และที่จริงตอนผมบอกว่าผลรวม, คุณต้อง
ย่อขยายตัวหนึ่ง ให้ได้อีกตัวหนึ่ง, เพราะมันมี
เวกเตอร์แค่สองตัวตรงนี้
ถ้าผมพยายามบวกเวกเตอร์นี้, สิ่งที่
ผมต้องคิดก็มีแค่ เจ้านี่, ที่ผมทำได้เลย
มีแค่ย่อขยายมัน
ทีนี้, ผมทำอะไรไม่ได้
ไม่ว่าผมจะคูณเวกเตอร์นี้ด้วยอะไร, คุณก็รู้,
ค่าคงที่ ใส่เข้าไปเพิ่มหรือยืดหด, เทอมนี้
ตรงนี้จะเป็น 0 เสมอ
มันจะเป็น 0 เสมอ
ไม่มีอะไรที่ผมคูณเจ้านี่แล้ว
จะได้เวกตอร์นี้
เช่นเดียวกัน, ไมว่าผมจะคูณเวกเตอร์นี้ด้วยอะไร,
เทอมบนจะเป็น 0 เสมอ
มันไม่มีทางที่ผมจะได้เวกเตอร์นี้
ทั้งสองตัวนี้, ไม่มีทางที่ผมจะเขียน
ตัวหนึ่งเป็นผลรวมเชิงเส้นของอีกตัว
สองตัวนี้จึงเป็นอิสระเชิงเส้น
และคุณสามารถมองมันได้ถ้าเราวาดกราฟมัน
อันแรกคือ 7, 0, ซึ่งเป็นแบบนั้น
ขอผมใช้สีที่ไม่ใช่สีเหลืองหน่อย
-
7, 0
และอีกอันคือ 0, ลบ 1
ผมว่าคุณคงเห็นได้ชัดเจนว่า ถ้าคุณหาผลรวมเชิงเส้น
ของสองตัวนี้, คุณสามารถ
แทนอะไรก็ได้ใน R2
ดังนั้นสแปนของเจ้านี่, เพื่อให้เราคุ้นกับแนวคิดของเรา
สแปนของ v1 กับ v2, เท่ากับ R2
ทีนี้, ประเด็นที่น่าสนใจอีกอย่าง
ผมบอกว่า สแปนของ v1 กับ v2 คือ R2
ทีนี้ สเแปนของ v1, v2 และ v3
ในตัวอย่างนี้ตรงนี้คืออะไร?
ผมบอกคุณไปแล้ว
ผมได้แสดงไปแล้วว่าเวกเตอร์ตัวที่สาม สามารถ
แทนได้ด้วยผลรวมเชิงเส้นของสองตัวนี้
และที่จริง มันคือสองตัวรวมกัน
ผมวาดมันตรงนี้ได้ด้วย
มันก็แค่เวกเตอร์สองตัวนั้นรวมกัน
แน่นอนมันสามารถแสดงได้ด้วย
ผลรวมเชิงเส้นของสองตัวนั้น
แล้วสแปนของมันคืออะไร?
ทีนี้, ความจริงทีว่า มันเกินมา หมายถึง มัน
ไม่เปลี่ยนสแปนไป
มันไม่ได้เปลี่ยนผลรวมเชิงเส้นที่เป็นไปได้ทั้งหมด
สแปนของมันก็ยังเป้น R2
มันก็แค่มีเวกเตรอ์มากกว่าที่คุณ
ต้องใช้สแปน R2
R2 เป็นสเปซสองมิติ และคุณต้องใช้เวกเตอร์แค่ 2 ตัว
นี่ก็คือวิธีที่ดีกว่า ในการ
หาฐานหลัก, และผมยังไม่ได้นิยามคำว่าฐานหลัก, แต่
ผมอยากใช้มันในบทสนทนา, แล้วมัน
จะเห็นได้ชัดเองเมื่อผมนิยามมันเป็นทางการ
นี่เป็นฐานที่ดีกว่า, หรือนี่ให้ฐาน, คือ
เซตที่พอดี เซตของเวกเตอร์ที่แทน R2 ได้
ในขณะอันนี้, ตรงนี้, มันเกินมา
มันจึงไม่ใช่ฐานหลักสำหรับ R2
ขอผมยกตัวอย่างอีกอันในสามมิติบ้าง
แล้วในวิดีโอหน้า, ผมจะให้นิยาม
อย่างเป็นทางการของความอิสระเชิงเส้น กับไม่อิสระเชิงเส้น
งั้นสมมุติว่าผมมีเวกตอร์ 2, 0, 0
ขอผมบอกแบบเดียวกันที่ผมตั้งตรงนี้:
เวกเตอร์ 2, 0, 0, เวกเตอร์ 0, 1, 0 และเวกเตอร์ 0, 0, 7
-
เราอยู่ใน R3, จริงไหม?
แต่ละตัวเป็นเวกเตอรืในสามมิติ
ทีนี้, พวกนี้เป็นอิสระเชิงเส้น
หรือไม่?
โทษที, พวกมันเป็นอิสระเชิงเส้นหรือไม่?
ทีนี้, มันมีทางที่ผลรวมของเวกเตอร์สองตัว
นี้ที่ผมตั้งขึ้นมา มีเทอมไม่เป็นศูนย์ตรงนี้
จะทำให้ได้เวกเตอร์ตัวที่สาม, จริงไหม?
เพราะไม่ว่าผมจะคูณเจ้านี่ด้วยอะไร และ
เจ้านีด้วยอะไร, เทอมสุดท้ายจะต้องเป็น 0
และนี่เป็นเหมือนการบวกทิศใหม่
ให้กับเซตของเวกเตอร์
เช่นเดียวกัน, ไม่มีทางที่ผมจะทำ -- มันไม่มี
ผลรวมของเจ้านี่กับเจ้านี่ใดๆ ที่ทำให้
ผมได้เทอมที่ไม่เป็นศูนย์ตรงนี้
และสุดท้าย, ไม่มีผลรวมของเจ้านี่กับเจ้านี่แบบใดที่ ทำให้
ผมได้เทอมที่ไม่เป็นศูนย์ตรงนี้
ดังนั้นเซตนี้จึงเป็นอิสระเชิงเส้น
-
แล้วถ้าคุณวาดกราฟเจ้านี่ในสามมิติ, คุณจะ
เห็นว่าไม่มีตัวใด -- สามตัวนี้ไม่ได้
อยู่บนระนาบเดียวกัน
แน่นอน, เวกเตอร์สองตัวใดๆ ย่อมอยู่บระนาบเดียวกันได้, แต่ถ้า
คุณวาดกราฟมัน, คูณได้ 2, 0
สมมุติว่านั่นคือแกน x
นั่นคือ 2, 0, 0
คุณมีนี่ 0, 1, 0
บางทีนั่นคือแกน y
แล้วคุณมี 0, 0, 7
มันออกมาเป็นแบบนี้
มันเกือบดูเหมือน, แกนสามมิติ, มัน
เกือบเหมือนเวกเตอร์ i, j, k
มันแค่ยืดหดนิดหน่อย
แต่คุณสามารถแก้มันได้ด้วยการคูณ
ค่าคงที่หดลง, จริงไหม?
เพราะที่เราสนใจก็คือผลรวมเชิงเส้นของเจ้าพวกนี้
ดังนั้สแปนของเวกเตอร์สามตัวนี่ตรงนี้, เนื่องจาก
เราเพิ่มทิศใหม่เข้าไป, มันจึงเป็น R3
-
เอาล่ะ, ผมว่าผมจะปล่อยคุณไปในวิดีโอนี้
ผมสังเกตว่าผมทำวิดีโอยาวขึ้น ยาวขึ้นเรื่อยๆ แล้ว, ผม
ผมอยากกลับมามีนิสัยทำสั้นๆ เหมือนเดิม
ในวิดีโอหน้า, ผมจะให้นิยามอย่างเป็นทางการ
เรื่องความไม่อิสระเชิงเส้น, และเรา
จะทำตัวอย่างเพิ่มเติมกัน
-