Tip:
Highlight text to annotate it
X
การพิสูจน์คืออะไร?
และทำไมมันจึงสำคัญนักกับคณิตศาสตร์?
การพิสูจน์มอบรากฐานอันหนักแน่นให้กับนักคณิตศาสตร์
นักตรรกวิทยา นักสถิติ นักเศรษฐศาสตร์ สถาปนิก วิศวกร
และวิชาชีพอื่นๆ เพื่อที่จะสร้างและทดสอบทฤษฎีต่างๆของตนเอง
และมันยอดเยี่ยมอย่างไม่ต้องสงสัย!
ให้ผมเริ่มเล่าจากตอนต้นเลยก็แล้วกัน
ผมขอแนะนำให้คุณรู้จักเพื่อนคนหนึ่งที่ชื่อ อูคลิด
ออกเสียงคล้ายๆกับ "ผมมองคุณอยู่นะ คลิด"
เขาอาศัยอยู่ในกรีซเมื่อราวๆ 2,300 ปีที่แล้ว
และเขาได้รับการยอมรับจากหลายๆคนว่าเป็นบิดาแห่งเรขาคณิต
เพราะงั้น ถ้าคุณสงสัยว่าจะส่งเมลชื่นชมเรื่องนี้ไปที่ไหน
อูคลิดแห่งอเล็คซานเดรีย คือผู้ที่คุณต้องขอบคุณสำหรับข้อพิสูจน์นี้
อูคลิด ไม่ดังเรื่องสร้างหรือค้นพบคณิตศาสตร์จำนวนมากๆ
แต่เขาปฏิวัติวิธีการที่จะเขียน
นำเสนอ และคิดคำนึงถึงคณิตศาสตร์เหล่านั้น
อูคลิด ทำให้คณิตศาสตร์เป็นทางการด้วยการออกกฏต่างๆให้กับมัน
กฏแห่งคณิตศาสตร์เหล่านี้เรียกว่า สัจพจน์
เมื่อคุณมีกฏแล้ว
อูคลิด บอกว่าคุณต้องใช้มันในการพิสูจน์ว่าสิ่งที่คุณคิดเป็นจริง
ถ้าทำไม่ได้ ทฤษฎีบทหรือแนวคิดของคุณ
ก็อาจจะผิด
และถ้าทฤษฎีบทของคุณผิด ทฤษฎีบทต่างๆที่ตามมาและใช้มัน
ก็อาจจะผิดด้วย
คล้ายกับคานที่วางผิดที่หนึ่งแห่ง ทำให้บ้านถล่มได้
และนั่นคือสิ่งที่เรียกว่าการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์
กฏที่คิดมาอย่างดี เพื่อพิสูจน์ความสงสัย ในทฤษฎีบทว่าเป็นจริงหรือไม่
จากนั้นคุณใช้ทฤษฎีบทเหล่านั้นเป็นกลุ่มก้อน
เพื่อสร้างคณิตศาสตร์
ลองมาดูตัวอย่างกันดีกว่า
ผมต้องการพิสูจน์ว่าสามเหลี่ยมสองรูปนี้
มีขนาดและรูปทรงเหมือนกัน
หรืออีกนัยหนึ่ง พวกมันเหมาะเจาะกันพอดี
วิธีหนึ่งที่จะทำได้ก็คือการเขียนข้อพิสูจน์
ที่แสดงให้เห็นว่าด้านทั้งสามของสามเหลี่ยมหนึ่ง
เข้ากันได้กับด้านทั้งสามของอีกสามเหลี่ยมหนึ่ง
เราจะพิสูจน์มันได้อย่างไร?
อย่างแรก เราเขียนสิ่งที่รู้ออกมาก่อน
เรารู้ว่าจุด M คือกึ่งกลางระหว่าง A กับ B
เรายังรู้อีกว่าด้าน AC และ BC นั้นเท่ากัน
คราวนี้มาดูกันว่า จุดกึ่งกลางจะบอกอะไรเรา?
โชคดีที่ ผมรู้คำจำกัดความของจุดกึ่งกลาง
มันคือจุดที่อยู่ตรงกลางนั่นเอง
มันหมายความว่าด้าน AM และ BM มีความยาวเท่ากัน
เมื่อ M อยู่ที่กึ่งกลางระหว่าง A กับ B พอดี
หรือในอีกนัยหนึ่ง ด้านล่างของสามเหลี่ยมทั้งสองของเราเหมือนกัน
เราจะนับนั่นเป็นขั้นตอนที่ 2
เยี่ยม ตอนนี้ผมมีด้านสองคู่ที่เข้ากันได้แล้ว
อันสุดท้ายนี่ง่ายเลย
ด้านที่สามของสามเหลี่ยมทางซ้าย
คือ CM และด้านที่สามของสามเหลี่ยมทางขวาคือ
ก็ CM
พวกมันมีขนาดเดียวกัน
แน่นอน มันสอดคล้องกันโดยตัวมันเอง
มันเรียกว่าคุณสมบัติสะท้อน
ทุกอย่างสอดคล้องกันกับตัวของมันเอง
ผมจะนับนี่เป็นขั้นตอนที่ 3
ไชโย! คุณเพิ่งจะพิสูจน์ได้ว่าด้านทั้งสามของสามเหลี่ยมทางซ้าย
เข้ากันได้กับด้านทั้งสามของสามเหลี่ยมทางขวา
และ สามเหลี่ยมทั้งคู่เข้ากันได้
เพราะทฤษฎีบทการเข้ากันได้ของด้านทั้งสามของสามเหลี่ยม
เมื่อสิ้นสุดการพิสูจน์ ผมอยากจะทำอย่างที่อูคลิดทำ
เขาทำเครื่องหมายท้ายข้อพิสูจน์ด้วยอักษร "ซ.ต.พ." (QED)
ซึ่งมาจากภาษาละตินที่ว่า "quod erat demonstrandum"
ซึ่งแปลตามตัวอักษรว่า
"ซึ่งต้องพิสูจน์" นั่นเอง
แต่ผมแค่คิดถึงมันในเชิงว่า "ดูสิ ฉันทำได้แล้ว"
ผมได้ยินสิ่งที่คุณคิด
ทำไมฉันควรจะเรียนเรื่องการพิสูจน์ล่ะ?
เหตุผลหนึ่งคือพวกมันช่วยให้คุณชนะการถกเถียง
อับบราฮัม ลินคอร์น ผู้นำที่ยอดเยี่ยมตลอดกาลคนหนึ่งของเรา
เคยเก็บหนังสือความรู้เบื้องต้นของอูคลิดไว้ที่หัวเตียง
เพื่อให้จิตใจของเขาเข้าที่เข้าทาง
อีกเหตุผลหนึ่งคือคุณสามารถทำเงินได้เป็นล้านๆ
คุณได้ยินผมแล้วนี่
เงินหนึ่งล้าน
นั่นคือเงินรางวัลที่สถาบันคณิตศาสตร์เคลย์ในแมสซาชูเซต
จะยอมจ่ายให้กับใครก็ได้ที่สามารถ พิสูจน์ทฤษฎีที่ยังไม่ได้รับการพิสูจน์ต่างๆได้
มันเรียกว่า "ปัญหาที่แก้ไม่ตก"
บางส่วนถูกแก้ได้ในระหว่างปี 90 และปี 2000
แต่นอกเหนือจากเงินทองและการถกเถียง
การพิสูจน์อยู่ทุกหนแห่ง
พวกมันซ่อนอยู่ในสถาปัตยกรรม, ศิลปะ, โปรแกรมคอมพิวเตอร์ และการรักษาความปลอดภัยในอินเทอร์เน็ต
ถ้าไม่มีใครเข้าใจหรือสามารถสร้างข้อพิสูจน์ได้
เราคงไม่สามารถขับเคลื่อนโลกของเราไปข้างหน้า
ท้ายที่สุด เราต่างรู้กันว่ามีข้อพิสูจน์อยู้ในขนมพุดดิ้ง (สำนวนฝรั่ง)
และพุดดิ้งนั้นอร่อยเสมอ ซ.ต.พ.