Tip:
Highlight text to annotate it
X
สมมุติผมมีเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์สองตัว
สมมุติว่าเวกเตอร์แรกคือ x, เวกเตอร์ที่สองคือ y
ทั้งสองอยู่ในเซตของเรา
ทั้งคู่อยู่ในเซต Rn และมันไม่เป็นศูนย์
มันปรากฏว่า ค่าสัมบูรณ์ของ -- ขอผมใช้
อีกสีนึงนะ
สีนี้สวยหน่อย
ค่าสัมบูรณ์ของดอทโปรดัคระหว่างเวกเตอร์
สองตัว -- จำไว้, นี่คือปริมาณสเกลาร์ --
น้อยกว่าหรือเท่ากับผลคูณของความยาวพวกมัน
และเรานิยามดอทโปรดัค กับความยาว
ไปแล้ว
มันน้อยกว่าหรือเท่ากับผลคูณของความยาว
และยิ่งไปกว่านั้น, โอกาสที่มันจะเท่ากันมี
อย่างเดียว คือ ดอทโปรดัคของเวกเตอร์สองตัว จะเท่ากับ
ความยาวของอันนี้ -- เท่ากับ และ
น้อยกว่าเท่ากับ ใช้ได้ในกรณีนี้ -- ขอผมเขียน
ลองไปนะ -- เมื่อเวกเตอร์ตัวหนึ่งเป็นจำนวนเท่า
ของเวกเตอร์อีกตัว
หรือมันอยู่ในเส้นตรงเดียวกัน
คุณก็รู้, อันนึงเหมือนอีกอันแค่
ยาวกว่าหรือสั้นกว่าเท่านั้น
นั่นคือกรณีเดียวเท่านั้น ที่ x เท่ากับ
สเกลาร์สักตัวคูณ y
อสมการนี้ หรือ ผมบอกได้ว่า สมการ
ของอสมการนี้, มันเรียกว่าอสมการโคชี-ชวอส (Cauchy-Schwarz inequality)
อสมการโคชี-ชวอส
งั้นลองมาพิสูจน์กัน เพราะคุณยังไม่ได้
เจออะไรแบบนี้มาก่อน
คุณไม่ควรเชื่อในทันที
ขอผมสร้างฟังก์ชันตามใจขึ้นมาอันนึง
ขอผมสร้างฟังก์ชัน -- นั่นคือฟังก์ชัน
ของตัวแปรสักตัว, เป็นสเกลาร์ t
ขอผมนิยาม p ของ t เท่ากับความยาวของ
เวกเตอร์ t คูณเวกเตอร์ -- สเกลาร์ t คูณเวกเตอร์
y ลบเวกเตอร์ x
มันคือความยาวของเวกเตอร์นี้
นี่จะเป็นเวกเตอร์อันนึง
ทั้งหมดกำลังสอง
ทีนี้ก่อนจะไปต่อ ผมอยากชี้ให้เห็น
อย่างนึงตรงนี้
หากผมเอาความยาวของเวกเตอร์ใด ๆ, ผมจะทำตรงนี้นะ
สมมุติว่าผมเอาความยาวของเวกเตอร์ v มา
ผมอยากให้คุณยอมรับว่ามันเป็นจำนวนบวก
หรืออย่างน้อย มันต้องมากกว่าเท่ากับ 0
เพราะนี่เท่ากับแต่ละเทอมกำลังสอง
v2 กำลังสอง ไปจนถึง vn กำลังสอง
ทุกตัวเป็นจำนวนจริง
ตอนคุณยกกำลังจำนวนจริง, คุณจะได้ค่า
มากกว่าเท่ากับ 0
ตอนคุณบวกมันเข้า, คุณก็ยังได้อะไรที่
มากกว่าเท่ากับ 0
และคุณหาสแควร์รูทของมัน, สแควร์รูทตัวหลัก
สแควร์รูทเป็นบวก, คุณก็จะได้
อะไรที่มากกว่าเท่ากับ 0 อยู่ดี
ดังนั้นความยาวของเวกเตอร์จำนวนจริงใด ๆ จะมากกว่า
เท่ากับ 0 เสมอ
แล้วนี่ก็คือความยาวของเวกเตอร์จำนวนจริง
นี่จะมากกว่าเท่ากับ 0
ทีนี้, ในวิดีโอที่แล้ว, ผมว่าวิดีโอสองอันที่แล้ว, ผม
ได้แสดงว่าขนาด หรือความยาวของเวกเตอร์
กำลังสอง สามารถเขียนใหม่ในรูปของดอทโปรดัค
ของเวกเตอร์นั้นกับตัวเอง
งั้นลองเขียนเวกเตอร์นี้ใหม่กัน
ความยาวของเวกเตอร์นี้กำลังสอง เท่ากับ ดอท
โปรดัคของเวกเตอร์นั้นกับตัวเอง
มันก็คือ ty ลบ x ดอท ty ลบ x
ในวิดีโอที่แล้ว, ผมแสดงให้คุณเห็นว่า คุณสามารถมอง
การคูณ หรือทำดอทโปรดัคเหมือนกัน
กับการคูณธรรมดา ในเรื่อง
ของสมบัติการเปลี่ยนกลุ่ม, กระจาย และ
สลับที่
ตอนคุณคูณนี่, คุณก็รู้, คุณอาจ
มองว่านี่เป็นการคูณทวินาม
คุณก็ทำแบบเดียวกับที่คุณคูณ
ทวินาม คูณแบบทั่ว ๆ ไป
ที่สุดแล้วคุณก็แค่ใช้สมบัติการกระจาย
แต่จำไว้, นี่ไม่ใช่การคูณธรรมดา
เรายังคงใช้ดอทโปรดัคอยู่
นี่คือการคูณเวกเตอร์ หรือการคูณเวกเตอร์
แบบนึง
แล้วหากเรากระจายมันออก, นี่จะกลายเป็น ty ดอท ty
ขอผมเขียนออกมานะ
นั่นก็คือ ty ดอท ty
แล้วเราจะได้ ลบ -- ขอผมทำแบบนี้นะ
เราก็ได้ ลบ x คูณ ty นี่
แทนที่จะบอกว่าคูณ, ผมควร
ระวัง ต้องเรียกว่า ดอท
งั้น ลบ x ดอท ty
แล้วคุณก็ได้ ty นี่คูณ ลบ x
แล้วคุณได้ลบ ty ดอท x
สุดท้าย, คุณก็ได้ x ดอทกับตัวเอง
คุณอาจมองมันเป็น ลบ 1x ดอท ลบ 1x
หรือบกว่า บวก ลบ 1x
ผมแค่มองว่านี่เป็นบวก ลบ 1 หรือ บวก ลบ 1
นี่ก็คือ ลบ 1x ดอท ลบ 1x
ลองดูกัน
นี่ก็คือสิ่งที่พจน์นี้กระจาย หรือจัดรูป
ไปเป็นแบบนี้
ผมไม่เรียกนี่ว่าการจัดรูปเท่าไหร่
แต่เราจะใช้ความจริงที่ว่า การเขียนพจน์
พวกนี้สลับที่และเปลี่ยนกลุ่มได้
นี่เท่ากับ y ดอท y คูณ t กำลังสอง
t เป็นแค่สเกลาร์
ลบ -- ที่จริง, นี่คือ 2
สองอย่างนี้เทียบเท่ากัน
มันก็แค่เรียงใหม่ แล้วเราก็เห็นแล้ว
ว่าดอทโปรดัคนั้นเปลี่ยนกลุ่มได้
งั้นนี่ก็แค่ 2 คูณ x ดอท y คูณ t
ผมควรใช้อีกสีนึงนะ
งั้นสองเทอมนี้กลายเป็นเทอมนั่นตรงนั้น
แล้วหากคุณเรียงนี่ใหม่ คุณจะได้ ลบ 1
คูณ ลบ 1
มันตัดกัน, งั้นนี่จะกลายเป็น บวก แล้ว
คุณก็เหลือ บวก x ดอท x
ผมควรใช้อีกสีนึงเหมือนกัน
ผมจะใช้สีส้มนนะ
เทอมพวกนี้สุดท้ายมาอยู่กับเทอมนั่น
แล้วแน่นอน, เทอมนั้นกลายเป็นเทอมนั้น
จำไว้, ที่ผมทำก็แค่ เขียนเทอม
พวกนี้ใหม่ แล้วบอกว่า ดูสิ
นี่ต้องมากกว่าหรือเท่ากับ 0
ผมสามารถเขียนใหม่ตรงนี้ได้
สิ่งนี่ก็ยังเหมือนเดิม
ผมแค่เขียนมันใหม่
นี่ก็ยังมากกว่าเท่ากับ 0 เหมือนเดิม
ทีนี้ลองทำการแทนค่าไปหน่อย เพื่อให้
เทอมที่เรามีสะอาดขึ้นหน่อย
เราจะแทนค่าลงในนี้ทีหลัง
ลองนิยามนี่ว่า a แล้วกัน
แล้วนิยามส่วนนี้ตรงนี้ว่า b
ส่วนทั้งหมดนี่ ลบ 2x ดอท y
ผมจะปล่อย t ไว้
แล้วนิยามนี่ ขอผมกำหนด
ให้นี่ตรงนี้คือ c
x ดอท x คือ c
แล้ว, พจน์เราจะกลายเป็นอะไร?
มันกลายเป็น a คูณ t กำลังสอง ลบ -- ผมอยาก
ระวังเรื่องสีหน่อย -- b คูณ t บวก c
และแน่นอน, เรารู้ว่ามันจะมากกว่า
เท่ากับ 0
มันก็เหมือนกับนี่ตรงนี้, มากกว่า
หรือเท่ากับ 0
ผมเขียน p ของ t ตรงนี้ได้
ทีนี้ นี่มากกว่าเท่ากับ 0 สำหรับ t ใด ๆ ก็ตาม
ที่ผมใส่่ลงไปตรงนี้
ผมใส่จำนวนจริง t ใด ๆ ลงไป
ขอผมแทนค่าฟังก์ชันที่ b ส่วน 2a แล้วกัน
ผมทำได้เพราะ a คืออะไร?
ผมต้องตรวจก่อนว่า ผมไม่ได้หารด้วย 0 ตรงไหนเลย
a ก็คือเวกเตอร์นี่ดอทกับตัวเอง
และเราบอกว่านี่คือเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์
นี่ก็คือกำลังสองของความยาว
มันเป็นเวกเตอร์ไม่ใช่ศูนย์,งั้นบางเทอมบนนี้
ต้องเป็นบวก ตอนคุณหาความยาว
สิ่งนี้ก็เลยไม่เป็นศูนย์
นี่เป็นเวกเตอร์ไม่ใช่ศูนย์
แล้ว 2 คูณดอทโปรดัคกับตัวเอง ก็
ไม่เท่ากับศูนย์
เราเลยทำนี่ได้
เราไม่ต้องกังวลเรื่องการหารด้วย 0 ตรงไหนอีก
แล้วนี่เท่ากับอะไร?
นี่จะเท่ากับ -- ผมจะใช้สีเขียวต่อนะ
มันใช้เวลานานไปในการเปลี่ยนสีน่ะ
นี่เท่ากับ a คูณพจน์นี้กำลังสอง
มันก็คือ b กำลังสอง ส่วน 4a กำลังสอง
ผมแค่ยกกำลังสอง 2a แล้วได้ 4a กำลังสอง
ลบ b คูณนี่
งั้น b คูณ -- นี่ก็แค่การคูณธรรมดา
b คูณ b ส่วน 2a
แค่เขียนเทอมธรรมดาตรงนี้
บวก c
และเรารู้ว่าทั้งหมดนั่น ต้องมากกว่าเท่ากับ 0
ทีนี้หากเราจัดรูปนี่หน่อย, เราจะได้อะไร?
ทีนี่ a นี่ตัดกับเลขชี้กำลังตรงนี้ แล้ว
คุณก็ได้ b กำลังสอง ตรงนี้
เราเลยได้ b กำลังสอง ส่วน 4a ลบ b กำลังสอง ส่วน 2a
นั่นคือเทอมนั่นตรงนั้น
บวก c มากกว่าหรือเท่ากับ 0
ขอผมเขียนนี่ใหม่นะ
หากผมคูณทั้งเศษและส่วนด้วย 2
ผมจะได้อะไร?
ผมจะได้ 2b กำลังสอง ส่วน 4a
และสาเหตุที่ผมทำแบบนั้น เพื่อให้ได้
ตัวหารร่วมตรงนี้
แล้วคุณได้ออะไร?
คุณจะได้ b กำลังสอง ส่วน 4a ลบ 2b กำลังสอง ส่วน 4a
แล้วสองเทอมนี้จัดรูปได้อะไร?
ตัวเศษคือ b กำลังสอง ลบ 2b กำลังสอง
มันก็กลายเป็น ลบ b กำลังสอง ส่วน 4a บวก c
มากกว่าเท่ากับ 0
สองเทอมนี้รวมกันเป็นเทอมนี่ตรงนี้
ทีนี้หากเราบวกนี่ทั้งสองข้างของสมการ, เราจะได้
c มากกว่าเท่ากับ b กำลังสอง ส่วน 4a
มันเป็นลบทางซ้ายมือ
หากผมบวกมันทั้งสองข้าง มันจะเป็นบวก
ทางขวามือแทน
เราใกล้ได้อะไรที่หน้าตาเป็นอสมการแล้ว
ลองแทนค่ากลับไปเพื่อดู
ว่าเราได้อะไรตรงนี้
ผมได้แทนค่าอะไรไว้นะ?
มันอยู่ตรงนี้ไง
ที่จริง, เพื่อจัดรูปไปอีก, ขอผมคูณทั้งสองข้าง
ด้วย 4a นะ
ผมบอกว่า a, ไม่ใช่แค่ไม่เป็นศูนย์เท่านั้น
มันยังเป็นบวกด้วย
นี่คือความยาวกำลังสอง
และผมได้แสดงให้คุณเห็นแล้วว่าความยาวของ
เวกเตอร์จำนวนจริงใด ๆ ย่อมเป็นบวก
และสาเหตุที่ผมต้องเสียเวลาแสดงว่า a
เป็นบวก เพราะหากผมใช้มันคูณทั้งสองข้าง
ผมไม่อยากเปลี่ยนเครื่องหมายอสมการ
งั้นขอผมคูณทั้งสองข้างของอันนี้ด้วย a ก่อนที่
ผมจะแทนค่ากลับ
เราก็ได้ 4ac มากกว่าหรือเท่ากับ b กำลังสอง
ได้แล้ว
จำไว้, ผมเสียเวลามาแล้ว
ผมบอกไปว่า a เป็นเลขบวกแน่นอน เพราะมันคือ
ความยาวกำลังสอง y ดอท y คือความยาวของ
y กำลังสอง, มันเลยมีค่าเป็นบวก
มันต้องเป็นบวก
เรากำลังอยู่กับเวกเตอร์จำนวนจริงอยู่
ทีนี้ลองแทนค่าพวกนี้กลับไป
งั้น 4 คูณ a, 4 คูณ y ดอท y
y ดอท y ก็คือ -- ผมเขียนมันตรงนี้ก็ได้
y ดอท y ก็เหมือนกับ ขนาดของ y กำลังสอง
นั่นคือ y ดอท y
นี่คือ a
y ดอท y, ผมแสดงให้คุณเห็นแล้วในวิดีโอก่อน
คูณ c
c คือ x ดอท x
ทีนี้ x ดอท x ก็เหมือนกับ
ความยาวของเวกเตอร์ x กำลังสอง
นี่คือ c
แล้ว 4 คูณ a คูณ c จะมากกว่า
เท่ากับ b กำลังสอง
ทีนี้ b คืออะไร? b ก็คือนี่ตรงนี้
b กำลังสองก็คือ 2 คูณ x ดอท y กำลังสอง
เราเลยได้ผลออกมาแบบนี้
แล้วเราจะทำอะไรกับมันได้?
โอ้ ขอโทษที, ทั้งหมดนี่กำลังสอง
สิ่งนี่ทั้งหมดนี่คือ b
งั้นลองดูว่าเราจะจัดรูปนี่ได้ไหม
เราก็ได้ -- ขอผมเปลี่ยนสีหน่อยนะ
4 คูณความยาว y กำลังสอง คูณความยาว x
กำลังสอง มากกว่าเท่ากับ -- หากเรากำลังสอง
เจ้านี่ตรงนี้, เราจะได้ 4 คูณ x ดอท y
4 คูณ x ดอท y คูณ x ดอท y
ที่จริง, ยิ่งกว่านั้น, ผมยังเขียนแบบนี้ได้
ขอผมเขียนเป็น 4 คูณ x ดอท y กำลังสอง
ตอนนี้เราหารทั้งสองข้างด้วย 4
มันไม่ได้เปลี่ยนเครื่องหมายอสมการ
นั่นก็ตัดกันไป
ตอนนี้เราก็หาสแควร์รูทของ
ทั้งสองข้างของสมการ
สแควร์รูททั้งสองข้างของสมการ --
พวกนี้เป็นค่าบวกหมด, งั้นสแควร์รูทของข้างนี้
คือสแควร์รูทของแต่ละเทอม นั่นมาจาก
สมบัติของเลขชี้กำลัง
ดังนั้นหากคุณหาสแควร์รูทของทั้งสองข้าง คุณจะได้
ความยาวของ y คูณความยาวของ x มากกว่าเท่ากับ
สแควร์รูทของอันนี้
เราก็หาสแควร์รูทที่เป็นบวก
เราจะหาสแควร์รูทที่เป็นบวก
ทั้งสองข้างของสมการนี้
นั่นปกป้องเราจากเรื่องยุ่งยาก
จากอสมการ เครื่องหมายอะไรนั่น
งั้นสแควร์รูทที่เป็นบวก จะเท่ากับค่าสัมบูรณ์
ของ x ดอท y
และผมต้องบอกว่านี่คือ ค่าสัมบูรณ์
ด้วยเพราะเป็นไปได้ที่สิ่งนี่ตรงนี้
จะเป็นค่าลบ
แต่ตอนคุณยกกำลังสองมัน, คุณต้องระดวัง
ตอนคุณหาสแควร์รูท คุณ
ต้องได้ค่าบวกเสมอ
เพราะไม่อย่างนั้น ตอนคุณหาสแควร์รูทตัวหลัก, เรา
อาจทำให้อสมการเพี้ยนไปได้
เราก็หาสแควร์รูทที่เป็นบวก, ก็คือ --
หากคุณใส่ค่าสัมบูรณ์, คุณก็มั่นใจได้
ว่ามันต้องเป็นบวก
และนี่คือผลของเรา
ค่าสัมบูรณ์ของดอทโปรดัค ระหว่างเวกเตอร์ น้อยกว่า
ผลคูณของความยาวเวกเตอร์ทั้งสอง
เราเลยได้อสมการของโคชี - ชวอช มา
สิ่งสุดท้ายที่ผมบอกไว้คือว่า ลองดู, เกิดอะไรขึ้นหาก x
เท่ากับสเกลาร์สักตัวคูณ y?
ในกรณีนี้, ค่าสัมบูรณ์จะเป็นอย่างไร?
ค่าสัมบูรณ์ของ x ดอท y คืออะไร?
มันจะเท่ากับ -- เท่ากับอะไรนะ?
หากเราแทนค่า เท่ากับค่าสัมบูรณ์
ของ c คูณ y
นั่นก็แค่ x ดอท y, ซึ่งเท่ากัน แค่ใช้
สมบัติสับกลุ่ม
มันจะเท่ากับค่าสัมบูรณ์ของ c คูณ -- เราอยากได้
ค่าสัมบูรณ์ เพื่อให้ทุกอย่างเป็นบวก
y ดอท y
ทีนี้ นี่ก็เท่ากับ c คูณขนาดของ y --
ความยาวของ y กำลังสอง
ทีนี่ นั่นก็จะเท่ากับขนาดของ c คูณ -- หรือ
ค่าสัมบูรณ์ของสเกลาร์ c คูณความยาว y ของเรา
นี่ตรงนี้, ผมเขียนนี่ใหม่ได้
ผมหมายถึง คุณสามารถพิสูจน์ด้วยตัวเอง หากคุณไม่เชื่อ
แต่นี่ -- เราสามารถใส่ c ข้างในขนาดได้
มันเป็นแบบฝึกหัดที่ดีให้คุณฝึกพิสูจน์
แต่มันก็ตรงไปตรงมา
คุณแค่ใช้นิยามของความยาว
คูณมันด้วย c
นี่เท่ากับขนาดของ cy คูณ -- ขอผมพูดว่า
ความยาวของ cy คูณความยาว y
ผมลืมเครื่องหมายเวกเตอร์ไว้สักที่ตรงนี้
ได้แล้ว
ตรงนี้, นี่คือ x
นี่ก็เท่ากับความยาวของ x คูณความยาวของ y
ผมได้แสดงส่วนที่สองของอสมการ
โคชี-ชวอชให้ดูแล้ว ว่านี่จะเท่ากัน
พอดีหากตัวใดตัวหนึ่งเท่ากับสเกลาร์คูณอีกตัว
หากคุณไม่ชอบบางขั้น
ที่ผมทำไป, คุณก็ลองฝึกพิสูจน์
มันดู
ตัวอย่างเช่น, ลองพิสูจน์ว่าค่าสัมบูรณ์ของ c คูณ
ความยาวเวกเตอร์ y ก็เหมือนกับ
ความยาวของ c คูณ y
เอาล่ะ, หวังว่าคุณคงเห็นประโยชน์มันนะ
อสมการโคชี-ชวอช นั่น เราจะใช้บ่อยตอนเรา
พิสูจน์ผลอื่น ๆ ในพีชคณิตเชิงเส้น
และในวิดีโอหน้า, ผมจะอธิบายแนวคิด
ว่าทำไมมันถึงเป็นอย่างนั้น เมื่อเทียบ
กับดอทโปรดัค